razones trigonométricas

Razones trigonométricas

en el plano cartesiano

¡Comencemos!

Matemáticas II - Semana 10

Razones trigonométricas

Es la brújula para ubicarnos en el plano cartesiano.

Circulo unitario

Es la base de construcción de las funciones trigonométricas.

Identidades fundamentales

Permiten transformar expresiones trigonométricas.

Funciones de numeros reales

Nos ayudan a entender y modelar el mundo real.

¡Transformemos!

¡Comprendamos!

¡Conozcamos!

¡Exploremos!

Este mapa es tu universo matemático, y tú eres un intrépido navegante y descubres que las estrellas no están colocadas al azar, sino que éstas siguen patrones y tienen relaciones sorprendentes. Para entenderlos, necesitarás una brújula especial: las razones trigonométricas.

Conocer las razones trigonométricas te permitirá en esta aventura navegar con precisión al calcular distancias, ángulos y ubicaciones exactas dentro del plano cartesiano, resolver problemas de manera creativa.

Razones trigonométricas

Imagina que te encuentras en un extenso mapa, un plano cartesiano infinito, donde cada punto es una estrella y cada línea, un camino por explorar.

¡La aventura te espera!

Prepárate para este emocionante viaje en donde tendrás grandes descubrimientos y desafíos que resolverás con tu brújula trigonométrica.

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas para ángulos en posición normal

Signos de valores de las razones trigonométricas

Ángulos positivos y negativos

Razones trigonométricas de -θ en términos de θ

Razones trigonométricas de ángulos cuadrantes

Ángulos coterminales

Ángulo de referencia

Razones trigonométricas

Es como un mapa donde podemos ubicar cualquier ángulo y encontrar sus razones trigonométricas.

El círculo unitario es un círculo con centro en el origen de un sistema de coordenadas y radio igual a 1.

Imagina un reloj gigante, pero en vez de números, tiene una infinidad de puntos alrededor de su borde. Cada punto representa un ángulo. Este mágico reloj es lo que llamamos el círculo unitario.

El círculo unitario

• Comprender las propiedades de las funciones trigonométricas: El círculo unitario nos ayuda a visualizar la periodicidad y las simetrías de las funciones seno y coseno.

• Encontrar valores exactos de razones trigonométricas: Para ángulos especiales, como 30°, 45° y 60°, podemos encontrar sus razones trigonométricas directamente en el círculo unitario.

• Visualizar las razones trigonométricas: Al ubicar un ángulo en el círculo unitario, podemos ver directamente las coordenadas del punto correspondiente, que representan el coseno y el seno del ángulo.

El círculo unitario es la brújula para los trigonometristas, ya que permite:

El círculo unitario

Valor de las razones para ángulos cuadrantes

Estas identidades nos permiten simplificar expresiones trigonométricas complejas y resolver ecuaciones trigonométricas.

Estas relaciones son tan importantes que las llamamos identidades trigonométricas fundamentales.

Las identidades trigonométricas fundamentales son como las reglas del juego del círculo unitario. Son ecuaciones que siempre son verdaderas para cualquier ángulo.

Imagina que el círculo unitario es un libro lleno de secretos. Estos secretos son las relaciones que existen entre las diferentes razones trigonométricas.

Identidades trigonométricas fundamentales

Esto es especialmente útil cuando estamos resolviendo problemas de trigonometría más complejos.

Las identidades trigonométricas fundamentales son como las herramientas de un carpintero. Nos permiten transformar una expresión trigonométrica en otra equivalente, pero más sencilla de manejar.

Identidades en forma de cociente

Identidades pitagóricas

Identidades para razones trigonométricas del ángulo doble

Identidades para razones trigonométricas de suma y diferencia de ángulos

Identidades recíprocas

Identidades trigonométricas fundamentales

Las funciones trigonométricas de números reales son como las huellas que dejan las olas en el agua. Son funciones que asignan a cada número real un valor específico, que representa la altura de la ola en ese punto.

Imagina que el círculo unitario es un pequeño estanque. Las olas que se crean en este estanque son como las funciones trigonométricas. Estas ondas se extienden más allá del estanque y viajan a través de todo, como un número real.

Funciones de números reales

"a cada número real t le corresponde un ángulo cuya medida es t radianes"

Para realizar la transición de ángulos a números reales se establece en primer término la regla de correspondencia que menciona lo siguiente:

Las funciones trigonométricas de números reales son fundamentales en muchos campos, como la física, la ingeniería y las matemáticas puras. Nos permiten modelar fenómenos periódicos, como el movimiento ondulatorio, las mareas y los ciclos estacionales.

Funciones de números reales

El seno y el coseno están estrechamente relacionados con el círculo unitario, mientras que la tangente se define en términos del seno y el coseno.

Las funciones seno, coseno y tangente son como las notas musicales que componen una melodía. Son funciones que describen patrones repetitivos y ondulatorios.

Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente

Imagina un océano infinito, con olas que se elevan y caen en un patrón repetitivo. Estas olas son como las funciones seno y coseno. Su movimiento suave y ondulatorio crea una danza constante. La tangente, por su parte, es como un rayo de sol que atraviesa estas olas, creando patrones más complejos y dinámicos.

Funciones de números reales

Función seno

Función cotangente

Función tangente

Función cosecante

Función secante

Función coseno

El ángulo de referencia es el ángulo agudo formado entre el lado terminal de cualquier ángulo y el eje x más cercano. Es como una brújula que nos indica la dirección más corta para llegar al eje x y se representa con el símbolo θr.

Ángulo de referencia

Imagina que estás en un laberinto y necesitas encontrar la salida. Para orientarte, buscas un punto de referencia, como una pared o una columna. El ángulo de referencia es como ese punto de referencia en el plano cartesiano.

El ángulo de referencia es importante para simplificar los cálculos en trigonometría, si conocemos el ángulo de referencia y el cuadrante en el que se encuentra nuestro ángulo original, se puede determinar el signo de las razones trigonométricas y encontrar su valor exacto.

Un ángulo positivo es como un bailarín que gira hacia la izquierda, en sentido contrario a las manecillas del reloj. Un ángulo negativo, por otro lado, es como un bailarín que gira hacia la derecha, en el sentido de las manecillas del reloj.

Ángulos

positivos y negativos

Imagina que el plano cartesiano es una gran pista de baile. Cada punto es un bailarín, y el origen es el centro de la pista. Los ángulos en el plano cartesiano son como los giros que dan los bailarines. Pero ¿qué pasa si un bailarín gira hacia la izquierda y otro hacia la derecha? ¡Eso es lo que ocurre con los ángulos positivos y negativos!

Son ángulos especiales porque sus razones trigonométricas tienen valores muy sencillos de recordar.

Razones trigonométricas

para ángulos cuadrantes

Los ángulos cuadrantes son aquellos cuyos lados terminales coinciden con uno de los ejes coordenados.

Un ángulo está en posición normal o estándar en un sistema de coordenadas cartesianas cuando su vértice se ubica en el origen de ese sistema, uno de sus lados, el lado inicial, está fijo y coincide con el eje x positivo y el otro lado, denominado lado terminal, rota o gira en el plano hasta alcanzar su posición final.

Esto permite

Razones trigonométricas

para un ángulo en posición normal

El ángulo en posición normal es aquel cuyo vértice coincide con el origen del reloj y uno de sus lados coincide con el eje positivo de las x. Es como si estuvieras mirando el reloj desde arriba y giraras una manecilla.

• Analizar cualquier ángulo, incluso ángulos mayores de 360 grados.
• Modelar fenómenos físicos, como el movimiento circular, o analizar la forma de ondas.
• Conectar la trigonometría con otras áreas de las matemáticas.

Al igual que en un espejo, las razones trigonométricas de un ángulo negativo son como el reflejo de las razones trigonométricas del ángulo positivo correspondiente. Algunas se mantienen iguales, mientras que otras cambian de signo. Esto se debe a la simetría del círculo unitario y a la definición de las razones trigonométricas.

Definición de las

razones trigonométricas del ángulo -θ en terminos de θ

Imagina que el plano cartesiano es un espejo gigante. Cuando te paras frente a él, ves tu reflejo, pero invertido. Lo mismo ocurre con los ángulos. Si giramos un ángulo en una dirección y luego lo giramos en la dirección opuesta, obtenemos un ángulo negativo.

Son ángulos en posición normal que comparten el mismo lado terminal. Es decir, si dibujas ambos ángulos en el plano cartesiano, sus lados finales coincidirán exactamente.

Los ángulos coterminales son como amigos que siempre se encuentran en el mismo lugar, aunque hayan tomado caminos diferentes para llegar allí.

Ángulos coterminales

Imagina que estás dando vueltas en una rueda de la fortuna. Cada vez que completas una vuelta, llegas al mismo punto de partida. Los ángulos coterminales son como esas vueltas en la rueda de la fortuna.

• Los puntos de partida: Son los valores a partir de los cuales podemos calcular las razones trigonométricas de cualquier otro ángulo.
• Los límites de las funciones trigonométricas: Nos ayudan a entender cómo se comportan las funciones seno, coseno y tangente en los extremos de cada cuadrante.
• La base para resolver ecuaciones trigonométricas: Conocer estos valores nos permite encontrar soluciones exactas a muchas ecuaciones trigonométricas.

Estos valores son:

Los valores de las razones trigonométricas para los ángulos cuadrantes (0°, 90°, 180°, 270°) son como los ladrillos básicos con los que construimos todo el edificio de la trigonometría.

Imagina que el círculo unitario es un edificio. Los ángulos cuadrantes son como los pilares que sostienen este edificio. Estos ángulos especiales tienen valores de seno, coseno y tangente que son fundamentales para entender toda la trigonometría.

Valor de las razones

para ángulos cuadrantes

Imagina que nuestro plano cartesiano está dividido en cuatro grandes regiones, como una pizza cortada en cuatro porciones iguales. Estas regiones se llaman cuadrantes. Cada cuadrante tiene su propia personalidad, y esta personalidad influye directamente en el signo de las razones trigonométricas.

Continuando nuestro viaje por el plano cartesiano, nos encontramos con un nuevo misterio: ¿Por qué los valores de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) a veces son positivos y otras veces negativos?

Signo de valores

de las razones trigonométricas

Al igual que un detective resuelve un misterio, tú podrás descubrir las reglas de cada cuadrante y determinar el signo de cualquier razón trigonométrica, simplemente conociendo en qué cuadrante se encuentra el ángulo.