Presentación Mondrian

Estadistica

¿Qué es la Estadistica?

Es una rama de las matemáticas que te permite recopilar, organizar y analizar datos según la necesidad que tengas, por ejemplo: obtener un resultado, comparar información, tomar mejores decisiones, entre muchas cosas más.

¿para que sirve Estadistica?

La estadística sirve para conocer comportamientos, aspectos de la industria y tendencias en el mercado. Ese es el caso de Netflix, la plataforma de películas y series que reúne datos de sus usuarios para saber cuál es el contenido que más les gusta. Así, pueden decidir cuál será la película del momento o qué serie lanzarán el próximo mes.

La estadística se utiliza en investigaciones médicas para comprobar la eficacia de un medicamento, en la economía para saber cuáles productos son los más consumidos, en la educación para conocer cuántas personas están estudiando en tu país. En fin, en diferentes campos y situaciones en las que es necesario interpretar grandes cantidades de información.

Te permite resumir grandes cantidades de información, hacer comparaciones y predecir resultados.

Es muy útil al momento de tomar decisiones acertadas o responder preguntas sobre cualquier objeto de estudio.

Ventajas de la estadística

Si existen ideas o afirmaciones con pocos argumentos, puedes apoyarte en la estadística para justificarlas.

Es una gran herramienta para dar conclusiones objetivas en las investigaciones.

Mapa de objetos de aprendizaje

Recoleccion de datos

Variables

Estadistica

Inferencial

Descriptiva

tecnicas de recoleccion de datos

Las técnicas de recolección de datos son un conjunto de diferentes herramientas que permiten recopilar información de forma hábil y eficaz con fines de investigación y análisis. Los proyectos de investigación suelen incluir la combinación de múltiples técnicas de recolección de datos para garantizar la validez y confiabilidad de una investigación. El uso de múltiples técnicas y fuentes de recolección de datos refuerza la credibilidad de los resultados y permite incluir diferentes interpretaciones y significados en el análisis de los datos. El término “técnicas de recolección de datos” suele utilizarse tanto para referirse a métodos de recolección de datos como a las diversas técnicas que forman parte de estos..

Evaluar las técnicas que se tienen al alcance y su relevancia con respecto al objetivo de investigación es uno de los pasos más importantes de la recolección de datos. La elección de las técnicas de recolección de datos más adecuadas es crucial para preservar la integridad de la investigación, independientemente del tema de estudio o del método de investigación preferido para definir los datos (cuantitativo, cualitativo). Es menos probable que se produzcan errores cuando se utilizan las técnicas de recolección de datos adecuadas (ya sean nuevas, versiones actualizadas de las mismas o ya disponibles).

Importancia del uso de técnicas de recolección de datos

8 técnicas de recolección de datos más importantes

Cuestionarios o encuestas

Los cuestionarios son una de las técnicas de recolección de datos más utilizadas, ya que pueden llevarse a cabo tanto física como digitalmente para recopilar datos cuantitativos a través de encuestas y datos cualitativos a través de entrevistas y encuestas cualitativas. Los cuestionarios son una parte fundamental de las encuestas, y debido a que son baratos de crear y responder, son una opción muy accesible tanto para los investigadores como para sus corresponsales o encuestadores de campo.Por lo general, los cuestionarios se utilizan para recoger respuestas sobre un acontecimiento o tema. Las respuestas recogidas pueden servir de base para la mejora de productos, matrices de toma de decisiones o estudios posteriores.

8 técnicas de recolección de datos más importantes

Observaciones

Las técnicas de recolección de datos más sencilla y directa parten de la observación, y pueden ser: Observación cualitativa u observación cuantitativa. Observación participante o no participante.La forma más común de observación en el contexto de la recolección de datos consiste simplemente en observar los comportamientos o acciones de un sujeto en un entorno específico para comprenderlos y registrar lo observado. En el mundo en línea de hoy en día, un ejemplo del acto de observación puede incluir ver a la gente interactuar con productos, sitios web y servicios en tiempo real.

8 técnicas de recolección de datos más importantes

Entrevista estructurada, semi-estructurada o no estructurada

Una entrevista se define exactamente como un encuentro formal entre dos individuos en el que el entrevistador hace preguntas al entrevistado para recabar información. Existen diferentes tipos de entrevista:

• Estructurada: Es aquella que se compone de un cuestionario con una lógica diseñada especialmente para responderse de manera concreta.
• Semi-estructurada: Es una técnica de recolección de datos en la cual se utiliza una serie de preguntas guía para orientar el tema de la conversación, pero no necesariamente se sigue al pie de la letra.
• No estructurada: Es un tipo de entrevista en la cual no se sigue un cuestionario o guía de preguntas, sino que busca generar una conversación espontánea en torno al tema de interés. Generalmente se usa en la investigación exploratoria para identificar temas que puedan ser de valor para los sujetos, sin el sesgo de las teorías de investigación.

8 técnicas de recolección de datos más importantes

Grupo de discusión y focus groups

Otra técnica de recolección de datos es la realización de grupos de discusión, el cual busca propiciar una situación en la que se refleje el contexto social en el que se desarrollan las perspectivas y opiniones de las personas.Un grupo de discusión es un tipo de conversación similar a una entrevista que tiene lugar en un grupo de seis a doce personas que comparten un interés, característica o necesidad común. Las técnicas de los grupos de discusión o focus groups pueden ser entrevistas en grupo, grupos de expertos, grupos delphi, focus groups online, etc.

8 técnicas de recolección de datos más importantes

Seguimiento transaccional

El seguimiento de transacciones es una técnica de recolección de datos que se basa en las compras realizadas para obtener información. Con cada compra realizada por un cliente, los investigadores y vendedores pueden acceder a los datos de sus sitios web, de un proveedor de servicios externo o de su sistema de punto de venta de comercio electrónico en tienda. A partir de ahí, se pueden rastrear diferentes formas y cantidades de datos, lo que les permite crear mejores planes de marketing y productos, y dirigirse a los clientes ideales.

8 técnicas de recolección de datos más importantes

Seguimiento en redes sociales

El social listening o monitorización de redes sociales es una técnica de recolección de datos similar al seguimiento de transacciones. Sin embargo, en lugar del historial de transacciones de un cliente, este tipo de técnica se centra en el seguimiento de su historial y huella en las redes sociales. Muchas plataformas y empresas lo utilizan para hacer un seguimiento de la participación de los usuarios en diferentes publicaciones en línea y comprender mejor qué productos y servicios les interesan, así como qué consideran importante para ellos.

8 técnicas de recolección de datos más importantes

Panel de encuestas

Un panel de encuestas puede proporcionar estadísticas relacionadas con la tasa de respuesta, la tasa de finalización, los filtros basados en la demografía, las opciones de xportación y uso compartido, etc.Una vez recopilados los datos, el software para encuestas puede generar varios tipos de informes y ejecutar algoritmos analíticos para descubrir información oculta.

8 técnicas de recolección de datos más importantes

Análisis textual o de contenido

El análisis de texto o de contenido es una técnica de recolección y análisis que se utiliza como parte de los métodos de recolección de datos secundarios. Esta técnica permite investigar los cambios en los puntos de vista oficiales, institucionales u organizativos sobre un tema o área específicos, para documentar el contexto de ciertas prácticas o para investigar las experiencias y perspectivas de un grupo de individuos que, por ejemplo, han participado en una reflexión escrita. La pregunta de investigación guiará el desarrollo de una tabla o esquema de codificación para el análisis, que se aplicará iterativamente a los documentos seleccionados.

Es una característica de la población o de la muestra, cuya medida puede cambiar de valor.

¿Qué es una variable?

Discretas: es como un saltamontes, avanza a saltos y deja sus huellas en unos puntos determinados. Se obtienen de contar.Continuas: es como un caracol que va dejando un rastro continuo tras de sí. Se obtienen de medir

TTipos de variables

Variables

Por su posicion respecto a otras variables

Por su naturaleza

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Variables

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Estadistica descriptiva

Ayuda a organizar una gran cantidad de datos a través de métodos, tablas y gráficos que te permiten presentar los resultados de forma ordenada. En este curso te mostramos algunas de estas herramientas.

Elementos de la estadistica descrptiva

La estadística descriptiva utiliza varios elementos clave para ofrecer un análisis completo y detallado: Medidas de tendencia central: Estos son valores que representan un «centro» o punto medio de un conjunto de datos. Los más comunes son: Media: Es el promedio de los datos. Mediana: El valor central cuando los datos están ordenados. Moda: El valor que más se repite. Conoce más detalles de la media, mediana y moda.

Elementos de la estadistica descrptiva

Medidas de dispersión: Ayudan a describir la variabilidad de los datos. Las más utilizadas son: Rango: La diferencia entre el valor máximo y mínimo. Desviación estándar: Indica cuánto se alejan, en promedio, los datos de la media. Varianza: Es el promedio de los cuadrados de las diferencias respecto a la media.

Elementos de la estadistica descrptiva

Representación gráfica: Los datos también se pueden visualizar mediante diferentes gráficos que permiten identificar patrones de manera más clara. Entre los más comunes están: Histogramas: Muestran la distribución de los datos por intervalos. Diagramas de barras: Comparan frecuencias o proporciones de diferentes categorías. Diagramas circulares: Representan porcentajes de un total.

Estadistica descriptiva

Es una herramienta poderosa en la toma de decisiones basadas en datos. Es un proceso que permite hacer generalizaciones precisas sobre una población a partir de una muestra.

Importancia de la estadística inferencial

Permite hacer generalizaciones precisas sobre una población a partir de una muestra. En muchas situaciones, es imposible medir o analizar todos los elementos de una población. La estadística inferencial nos permite inferir las características de la población a partir de una muestra representativa, lo que hace que sea más fácil tomar decisiones basadas en datos y hacer predicciones. Ayuda a tomar decisiones informadas. Proporciona un marco para evaluar la confianza en nuestras inferencias y predicciones. Esto nos permite reducir el riesgo de tomar decisiones incorrectas o basadas en suposiciones equivocadas.

Principales usos de la estadística inferencial

En investigación científica. En negocios En salud En política

Tipos de estadística inferencial

Pruebas de hipótesis. Probar hipótesis y extraer generalizaciones sobre la población a partir de los datos de la muestra son ejemplos de estadística inferencial. Es necesario crear una hipótesis nula y una hipótesis alternativa y, a continuación, realizar una prueba estadística de significación.

Tipos de estadística inferencial

Análisis de regresión. El análisis de regresión se realiza para calcular cómo cambiará una variable en relación con otra. Pueden utilizarse numerosos modelos de regresión, como la regresión lineal simple, la lineal múltiple, la nominal, la logística y la ordinal.

Media, moda y mediana

La media, mediana y moda hacen parte de las Medidas de Tendencia Central (MTC), usadas en estadística para identificar cuáles son las tendencias en un conjunto de datos o hacia dónde se inclina o agrupa más la información. Las MTC también son utilizadas para presentar resultados de datos muy extensos, como los estudios que incluyen grandes poblaciones, por ejemplo. Gracias a estas medidas, también se pueden proyectar límites o valores hacia los que tiende a inclinarse la variable que estás analizando.

Ejemplo : El salón de clasesAquí tienes una lista con las edades de quince niños que hacen parte de un coro. Como ves, los números son muy variados y están un poco desordenados.Lo mejor es organizarlos, ya sea de forma vertical u horizontal, así será más fácil calcular las tendencias.

La media

Es el valor promedio del grupo datos, es decir, la cifra que se obtiene al sumar todos los datos y dividir el resultado entre la cantidad de los mismos.

Paso 1:La suma de 8 + 14 + 9 + 12 + 14 y los demás números, es igual a 172.

Paso 2:Ahora, este resultado hay que dividirlo por la cantidad de datos. Sabemos que tenemos las edades de 15 niños, entonces 172 dividido en 15 es igual a 14, 466666...Para obtener un número más corto lo que puedes hacer es aproximar. Como el seis es un número mayor a 5, automáticamente el cuatro se aproxima a 5 y así obtienes la media, que es 11,5.

La mediaNa

Calcular la mediana es mucho más fácil porque es justo el valor central, es decir, el que se encuentra en la mitad de la lista. Paso 1:Lo único que debes hacer es organizar los datos de menor a mayor o de mayor a menor.

Paso 2: Identifica cuál número ocupa el puesto del centro. En este caso la mediana es 12.Si la cantidad de datos que tienes es impar, como en este ejemplo que son 15 edades, es más fácil identificar el puesto de la mitad. Pero, si llegas a tener un conjunto de datos par, haz lo siguiente

Paso 3:Imagina que en la lista no hay 15 edades, si no 16. Ubica los valores de la mitad y súmalos: 11 + 12 = 23 Paso 4: Divide el resultado en dos. 23 ÷ 2 = 11,5La mediana es de 11,5.

La moda

Es el número que más se repite. Observar esta lista de datos e identifica la cifra que más aparece. Si elegiste el 12 es correcto. La moda es 12, porque se repite 5 veces, mientras que el catorce, que es otra cifra que aparece mucho, solo está tres veces. Si tuvieras dos datos que se repiten la misma cantidad de veces, se denomina bimodal.

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representacion grafica y tabular

Para representar de forma tabular una variable cualitativa, se colocan en una columna cada una de las categorías que toma la variable. Después, en una segunda columna, se ubica la frecuencia con la que los datos caen en cada categoría. Para ejemplificar esta forma de representación considera el siguiente ejemplo:

Representación tabular y gráfica de una variable cualitativa

Leticia leyó un artículo en el que se mencionaba a Facebook como la red social más utilizada en México en el 2018, seguida por YouTube, Instagram, Twitter, Google+, Pinterest, LinkedIn y Taringa. Para corroborar esta información, Leticia decidió hacer un estudio. Como lo que interesa es conocer la red social más utilizada, para cada individuo esta puede ser cualquiera de las redes sociales existentes, entre las cuales no hay un orden definido, por lo que la variable de estudio es cualitativa nominal. Para recolectar los 7 datos, Leticia decidió hacer una encuesta rápida, en la cual sólo incluyó la pregunta ‘¿Cuál es la red social que más utilizas?’, y como opciones sólo las redes sociales mencionadas en el artículo. Una vez aplicada la encuesta, Leticia decidió organizar los datos en una tabla como la que se muestra a continuación:

ejemplo

Redes sociales

ejemplo

Redes sociales

De acuerdo con los datos de la Tabla 1.1, la red social preferida en el grupo de Leticia es Facebook, ya que tiene la mayor frecuencia (11 alumnos), lo cual coincide con lo publicado en el artículo. Después le siguen YouTube (10), Instagram (6), Twitter (4), Pinterest (3), Google+ (3), Taringa (2) y LinkedIn (1). Una forma más clara y rápida de analizar el conjunto de datos, y obtener el resultado anterior, es mediante el uso de representaciones gráficas. En el caso de una variable cualitativa, como la del ejemplo, el gráfico de barras es el más utilizado.

ejemplo

Redes sociales

Gráfico de barras

ejemplo

Redes sociales

De acuerdo con los datos de la tabla, la red social preferida en el grupo de Leticia es Facebook, ya que tiene la mayor frecuencia (11 alumnos), lo cual coincide con lo publicado en el artículo. Después le siguen YouTube (10), Instagram (6), Twitter (4), Pinterest (3), Google+ (3), Taringa (2) y LinkedIn (1). Una forma más clara y rápida de analizar el conjunto de datos, y obtener el resultado anterior, es mediante el uso de representaciones gráficas. En el caso de una variable cualitativa, como la del ejemplo, el gráfico de barras es el más utilizado.

ejemplo

Redes sociales

Otro gráfico utilizado para analizar el comportamiento de variables cualitativas es el desectores (pastel). En este tipo de gráfico, el total de datos se representa mediante un círculo, el cual sedivide en un número de sectores igual a la cantidad de categorías. Cada categoría corresponde a un sector, cuya amplitud se determina por la frecuencia de la categoría.

ejemplo

Redes sociales

Gráfico de sectores o de pastel

ejemplo

Redes sociales

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Cuando se trata de una variable cuantitativa, la tabla de distribución de frecuencias, elhistograma y los polígonos de frecuencias son las representaciones que se utilizan paraanalizar este tipo de variable. Asimismo, la manera de construir estas representaciones diferirá si la variabilidad en los datos es poca o mucha. Para ejemplificar este último caso, considera la siguiente situación.

Representación tabular y gráfica de una variable cuantitativa

Sofía está planeando comprar un teléfono celular. Entre sus opciones están las marcas Ultraphone y Superphone. No obstante, ha observado que uno de los principales problemas que tienen sus compañeros es con la duración de la batería, por lo que tiene pensado elegir la marca que le ofrezca un mayor tiempo de duración.

ejemplo

Duración de la batería del celular

a) ¿De qué manera Sofía puede determinar qué marca de celular ofrece una mayor duración de la batería?b) Sofía le pide a cinco de sus amigos que tienen un celular de la marca Ultraphone, y a otros cinco que poseen uno de la marca Superphone, que registren el tiempo (en horas) que dura la batería de sus celulares con una sola carga durante 10 días. Transcurrido este tiempo, sus compañeros le proporcionan los datos que se muestran en las Tablas 1.2 y 1.3. A partir de esta información, ¿qué celular ofrece el mayor tiempo de duración de la batería?

ejemplo

Duración de la batería del celular

ejemplo

Duración de la batería del celular

ejemplo

Duración de la batería del celular

Tabla de distribución de frecuencias

ejemplo

En el ejemplo, la variable de estudio es el tiempo que dura la batería de cada marca de celular, medido en horas, con una sola carga. Como se puede observar en la Figura 1.1, esta variable es cuantitativa continua, ya que puede tomar un número infinito de valores diferentes en los reales.

Duración de la batería del celular

Tabla de distribución de frecuencias

ejemplo

Al trabajar con este tipo de variable, es conveniente agrupar los datos en clases (o intervalos), las cuales se obtienen al dividir el rango de la variable en el número de clases deseado. Para ejemplificar esto, considera los datos ordenados de la Tabla 1.4 que corresponden al tiempo de duración de la batería del celular Ultraphone.

Duración de la batería del celular

Tabla de distribución de frecuencias

Tabla de distribución de frecuencias

ejemplo

El rango se define como la diferencia entre el valor máximo (X𝑚á𝑥 ) y el valor mínimo (x𝑚í𝑛). En la Tabla 1.4, el tiempo mínimo de duración de la batería del celular Ultraphone es X𝑚í𝑛 = 4.5 horas, y el tiempo máximo es X𝑚á𝑥 = 41 horas. De esta manera, el rango se determina de la siguiente forma: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = Xmá𝑥 − X𝑚í𝑛 = 41 − 4.5 = 36.5.

Duración de la batería del celular

Tabla de distribución de frecuencias

ejemplo

El número de clases se calcula mediante la regla de Sturges: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 = 1 + 3.32𝑙𝑜𝑔(𝑛), donde n es el número de datos, que en el ejemplo es de 50. Así, el número de clases es: * 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 = 1 + 3.32𝑙𝑜𝑔(50) = 6.64 ≈ 7.Una vez determinado el número de clases, lo siguiente es calcular su amplitud. *𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =

Duración de la batería del celular

Tabla de distribución de frecuencias

ejemplo

El número de clases se calcula mediante la regla de Sturges: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 = 1 + 3.32𝑙𝑜𝑔(𝑛), donde n es el número de datos, que en el ejemplo es de 50. Así, el número de clases es: * 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠 = 1 + 3.32𝑙𝑜𝑔(50) = 6.64 ≈ 7.Una vez determinado el número de clases, lo siguiente es calcular su amplitud. *𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =

Duración de la batería del celular

Tabla de distribución de frecuencias

ejemplo

Duración de la batería del celular

Si la parte decimal de la amplitud es mayor que cero y menor que .5, la amplitud se redondea a .5; si es mayor que .5, se redondea al entero siguiente.

Tabla de distribución de frecuencias

Debido al redondeo de la amplitud, es necesario hacer un ajuste para determinar en qué valor inicia la primera clase y en cuál termina la séptima. Para ello, se calcula en cuánto se ha excedido el rango, se divide el exceso entre dos, y una parte se resta al valor mínimo y la otra se suma al valor máximo:

Tabla de distribución de frecuencias

ejemplo

De esta manera, nuestra primera clase inicia en 3.5 horas y la séptima termina en 42 horas. El límite superior de cada clase se obtendrá al ir sumando la amplitud (5.5 horas) al límite inferior correspondiente:

Duración de la batería del celular

Tabla de distribución de frecuencias

ejemplo

Determinadas las clases, lo que sigue es contar la frecuencia de los valores que se ubican en cada clase (𝑓𝑖). Por convención, si algún valor coincide con el límite superior de una clase, dicho valor se incluye en esta clase.

Duración de la batería del celular

Tabla de distribución de frecuencias

ejemplo

La Tabla 1.5 muestra cómo se distribuye el tiempo de duración de la batería del celular Ultraphone; poco más de la mitad de las veces, el tiempo de duración de la batería estuvoentre 9.0 y 20.0 horas (16 entre 9 y 14.5 horas, y 13 entre 14.5 y 20.0 horas). Fueronpocas las veces en las que el tiempo de duración superó estos valores, siendo pococomún que la batería durara más de 31 horas.

Duración de la batería del celular

Tabla de distribución de frecuencias

Teoría de conjuntos

Elementos básicos

un conjunto es una colección bien definida de objetos distintos.Por ejemplo, podemos definir el conjunto de los números 2,4,6 y 8, e identificarlo con la letra A. En símbolos, se escribe: A = {2, 4, 6, 8}Las llaves (“{” y “}”) son los símbolos reservados para la definición de un conjunto.

Los objetos que forman un conjunto se llaman los elementos del conjunto. Se dice de ellos que pertenecen al conjunto. Que un objeto x pertenezca a (=sea elemento de) un conjunto C se nota x ∈ C, y que no pertenezca a C se nota x 6 ∈ C.En el ejemplo anterior, 2 ∈ A (2 es un elemento de A, pertenece a A) pero 3 6 ∈ A (3 no pertenece a A). Hay que hacer bien la distinción entre un conjunto y sus elementos. Por ejemplo, 1 (número) es distinto de {1} (conjunto). Especialmente, no tiene sentido “2 ∈ 1”. En cambio “2 ∈ {1}” es una proposición bien formada (y falsa).

Ejemplo 1.2.1.{(1, 2), (3, 2), (1, 1)} un conjunto de pares de números{x, y, z} un conjunto de variables{exp, cos} un conjunto de funciones{{1}, {1, 2}, {2, 5}} un conjunto de conjuntos{1, exp, {1}, {1, 2}} un conjunto de varios tipos de objetos

Conjunto y orden o repetición de los elementosLa definición de un conjunto no toma en cuenta ningún orden de sus elementos. El conjunto A del ejemplo anterior pude igualmente definirse como {2, 6, 4, 8}, o {8, 6, 4, 2}, o . . . Las colecciones ordenadas de objetos se llaman sucesiones y se suelen notar con paréntesis, como por ejemplo (2, 4, 6, 8) (una sucesión con cuatro términos), o (2, 6, 4, 8) (una sucesión distinta de la anterior).Observar que, por definición, un conjunto tiene sus elementos distintos, por lo cual es incorrecto escribir {2, 4, 2}. En cambio, una sucesión puede tener elementos repetidos: (2, 4, 2) es una sucesión bien definida.

Conjuntos finitos y conjuntos infinitosUn conjunto puede ser finito o infinito. El número de elementosde un conjunto finito se llama su cardinal, y se nota con doble barra | | o con #. Por ejemplo, si A = {2, 4, 6, 8} entonces |A| = 4 (“A tiene cuatro elementos” o “A tiene cardinal cuatro”) . Se puede notar también #A = 4.

Definir un conjunto por una propiedad característica de suselementos En vez de definir un conjunto dando la lista explicita de sus ele-mentos, se puede definir dando una propiedad característica de sus elementos. Por ejemplo:Sea B el conjunto de todos los números enteros pares n que cumplen n ≥ 2 y n < 9.Esta definición se escribe con símbolos de la manera siguiente:B = {n | n es un entero y n ≥ 2 y n < 9}

Explicación:Las llaves “{” y “}” indican que se va a definir un conjunto.“{n | . . .}” se lee “el conjunto de los n tal que . . . ” y a continuación se da la propiedad característica de los elementos del conjunto. Mencionar que la letra n no juega ningún papel particular, y se puede igualmente definir B como, por ejemplo:B = {w | w es un entero y w ≥ 2 y w < 9}

Explicación:Las llaves “{” y “}” indican que se va a definir un conjunto.“{n | . . .}” se lee “el conjunto de los n tal que . . . ” y a continuación se da la propiedad característica de los elementos del conjunto. Mencionar que la letra n no juega ningún papel particular, y se puede igualmente definir B como, por ejemplo:B = {w | w es un entero y w ≥ 2 y w < 9}

El conjunto vacío El conjunto más pequeño de todos es { }, el conjunto vacío. Es el conjunto sin ningún elemento. Se suele notar con ∅. Su cardinal es 0. Tiene muchas descripciones: para una propiedad dada que nunca se da, es el conjunto de los elementos que cumplen esta propiedad. Por ejemplo:∅ = {x | x ∈ N y x + 1 = x}, ∅ = {x | 0 = 1}.

Producto cartesiano de dos conjuntos Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de todos lospares ordenados (a, b) donde a está en A y b en B se denomina producto cartesiano de A por B, y se nota A × B

Ejemplo Si A = {1, 2, 3} y B = {a, e}, entonces el producto cartesiano A × B = {(1, a), (1, e), (2, a), (2, e), (3, a), (3, e)}. Podemos representarlo mediante una tabla: Esto nos deja ver claramente que, si los conjuntos A y B son finitos, entonces |A × B| = |A| · |B| (el cardinal del producto artesiano es el producto de los cardinales).

SUbconjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es un subconjunto deB si todo elemento de A es también elemento de B. Se nota A ⊂ B cuando A es un subconjunto de B (la notación debe evocar “A es más pequeño que B”), y A 6 ⊂ B cuando no lo es.

Ejemplo

• {1, 2} ⊂ {1, 2, 3} pero {1, 4} 6 ⊂ {1, 2, 3} ya que 4 6 ∈ {1, 2, 3}.
• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
• ∅ ⊂ {1, 2}. De hecho, ∅ es un subconjunto de todos los conjuntos

Para decir que A es un subconjunto de B, se dice también que A es una parte de B, que A esta contenido en B, que A esta incluido en B, o que B contiene A

Operaciones con conjuntos

Unión

Consideramos como ejemplo para las definiciones que siguen X = {1, 2, 3} e Y = {1, 3, 5, 7}.

La unión A ∪ B de dos conjuntos A y B es el conjunto de los ob-jetos que pertenecen a (por lo menos) uno de los dos conjuntos.Ejemplo: X ∪ Y = {1, 2, 3, 5, 7}.

Intersección

A ∩ B de dos conjuntos A y B es el conjunto delos objetos que pertenecen a sendos conjuntos A e B. Ejemplo:X ∩ Y = {1, 3}.

Diferencia

A \ B (“A menos B”) es el conjunto de los objetos quepertenecen a A pero no a B. Ejemplo: X \ Y = {2}, Y \ X = {5, 7}.Se nota también a veces A − B

EDiagramas de Venn

Al trabajar con conjuntos es ilustrativo representarlos en un diagrama, esto nos ayuda a ver con más objetividad la situación que se aborda. Generalmente se utilizan regiones del plano representadas por figuras cerradas. Por convención, se acostumbra representar al conjunto universal U con un rectángulo.

Cualquier conjunto, deberá quedar incluido dentro del área del rectángulo.Estos diagramas se llaman diagramas de Venn.

Si U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {1, 2, 3, 4, 5} El diagrama de Venn es:

En estos diagramas, se utilizan colores o sombreadospara destacar algún conjunto de interés. En el diagra-ma de la derecha se ha coloreado el conjunto A

La representación de dos conjuntos presenta alguna de las siguientes opciones

Cuando A y B no tienen elementos comunes. A y B se llaman conjuntos mutuamente excluyentes, disjuntos o ajenos.

La representación de dos conjuntos presenta alguna de las siguientes opciones

Cuando A y B tienen al menos un elemento común.

La representación de dos conjuntos presenta alguna de las siguientes opciones

Cuando todos los elementos del conjunto B pertenecen al conjunto A

Ejemplos

a) Los conjuntos:A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {2, 4, 6, 8}quedan representados:U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

El diagrama ilustra que loselementos 2 y 4 pertenecen a ambos conjuntos

b) Los conjuntos:U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {6, 7}quedan representados:

El diagrama ilustra que losconjuntos A y B no tienenelementos comunes. Son conjuntos disjuntos, ajenos o mutuamente excluyentes.

c) Los conjuntos:U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {3, 5}quedan representadosonjuntos:

El diagrama ilustra que A contiene a B, o lo que es lo mismo, todo elemento de B es elemento de A. B ⊂ A

Dados dos conjuntos A y B, la intersección de A y B, que se escribe A ∩ B, es el conjunto formado por todos aquellos elementos que son comunes a A y a B. En forma simbólica: A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B} En un diagrama de Venn:

Intersección

Ejmplo:.Si A = {1, 2, 4, 8, 16} y B = {2, 5, 8, 11, 14}A ∩ B = {2, 8} Para formar el diagrama de Venn, primero se localizan los elementos de la intersección y después se completa cada conjunto.

Dados dos conjuntos A y B, la intersección de A y B, que se escribe A ∩ B, es el conjunto formado por todos aquellos elementos que son comunes a A y a B. En forma simbólica: A ∩ B = {x/x ∈ A y x ∈ B} En un diagrama de Venn:

Complemento

Ejmplo:.Si A = {1, 2, 4, 8, 16} y B = {2, 5, 8, 11, 14}A ∩ B = {2, 8} Para formar el diagrama de Venn, primero se localizan los elementos de la intersección y después se completa cada conjunto.

Si tenemos un conjunto universal U y A un subconjunto de U, el conjunto formado por todos aquellos elementos de U que no pertenecen a A, se llama complemento de A y se denota como A' o bien como Ā. Simbólicamente: Visto en un diagrama de Venn:

Complemento

Ejmplo:.Sea U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {2, 3, 4, 9}a) Determina el complemento de A.

Solucióna) Complemento de A: Está formado por los elementos que están en U y no pertenecen a A; estos elementos son: 0, 1, 5, 6, 7, 8. Entonces: A' = {0, 1, 5, 6, 7, 8} También leemos A'como “no está enA”

Si tenemos un conjunto universal U y A un subconjunto de U, el conjunto formado por todos aquellos elementos de U que no pertenecen a A, se llama complemento de A y se denota como A' o bien como Ā. Simbólicamente: Visto en un diagrama de Venn:

Diferencia

La diferencia del conjunto A y el conjunto B, se denota A − B y es el conjunto formado por los elementos que están en A pero no están en B. A − B = {x/x ∈ A y x ∉ B}

Asimismo B − A = { x/x ∈ B y x ∉ A}

Ejemplo: Sean los conjuntos: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, b, f, g} y B = {f, g, h}La diferencia A − B es: A − B = {a, b, f, g} − {f, g, h} = {a, b}Asimismo: B − A = {f, g, h} − {a, b, f, g} = {h}

El conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B o a los dos se llama unión de A y B; se le designa mediante A ∪ B y se define como: A ∪ B = {x/x ∈ A o x ∈ B o ambas cosas a la vez}

Unión

El conjunto A ∪ B está representado en la región sombreada del siguiente diagrama:

Ejemplo: 1) Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c} la unión de ambos seráA ∪ B = {1, 2, 3, 4, a, b, c}

Ejemplo:2) Si A = {1, 2, 4, 8, 16} y B = {2, 5, 8, 11, 14} entoncesA ∪ B = {1, 2, 4, 5, 8, 11, 14, 16}Los elementos comunes a ambos conjuntos no deben repetirse

PProbabilidad deExperimentos compuestos

Todos las situaciones correspondieron a experimentos simples, es decir, experimentos que se realizan en una sóla etapa.

Sin embargo, por lo general, los problemas de probabilidad involucran dos o más etapas. Cada etapa puede considerarse como un experimento, perocada resultado estará formado por una pareja, una triada, etcétera

Por ejemplo, si se lanzan dos monedas, un resultado posible es: (a, s)

Nos indica que cayó águila en elprimer lanzamiento, y sello en el segundo.

(a, s) o simplemente as

Si se lanzan tres dados un resultado posible es: (1,3, 3)

Nos indica que cayó uno en el primer lanzamiento, tres en el segundo y otro tres en el tercero.

(1, 3, 3) o simplemente 133

El diagrama de árboL

El diagrama de árbol, es una técnica de enumeración sistemática de cada uno de los resultados de un experimento compuesto. Por tanto, con la ayuda de esta herramienta, podemos determinar tanto el total de resultados posibles n(S) de un experimento, como el número de resultados favorables n(A) a cualquier suceso A de interés. De este modo podremos aplicar la fórmula de Laplace:

El procedimiento a seguir, lo explicaremos a través de ejemplos. Distinguiremos entre dos tipos de experimentos: experimentos que consisten en accionar “un objeto generador”, y experimentos de muestreo o selección de una población.

Parte I. Experimentos a partir de un objeto generador.

Al lanzar simultáneamente dos monedas ( o una moneda dos veces en forma consecutiva), ¿es más fácil obtener una águila y un sello, o dos águilas?

Primer paso: Descripción del experimento.• El experimento consiste en el lanzamiento de dos monedas simultáneamente (o una moneda dos veces en forma consecutiva). Se trata de un experimento compuesto de dos experimentos simples, o de dosetapas.• Hay un “objeto generador”: la moneda, con dos opciones: a o s.• Primer experimento o primer etapa: Lanzar la primera moneda.• Opciones: {a, s}

Parte I. Experimentos a partir de un objeto generador.

• Segundo experimento o segunda etapa: Lanzar la segunda moneda.Opciones: {a, s}• Algunos resultados: as, aa, ss... ¿Son todos?

Parte I. Experimentos a partir de un objeto generador.

Segundo paso. Establece el espacio muestral.¡Haz un diagrama de árbol! Analiza la forma de razonar para construir este diagrama de árbol:

Parte I. Experimentos a partir de un objeto generador.

Parte I. Experimentos a partir de un objeto generador.

El diagrama de árbol para el experimento de lanzar dos monedas es: ¿Resultados equiprobables? ¿Resultados equiprobables? Si la moneda es “honesta”, los resultados a y s en cada lanzamiento, son igualmente probables. Por lo tanto, los resultados son equiprobables. ¿Resultados equiprobables? Por lo tanto: n(S) = 4

Parte I. Experimentos a partir de un objeto generador.

El diagrama de árbol para el experimento de lanzar dos monedas es: ¿Resultados equiprobables? ¿Resultados equiprobables? Si la moneda es “honesta”, los resultados a y s en cada lanzamiento, son igualmente probables. Por lo tanto, los resultados son equiprobables. ¿Resultados equiprobables? Por lo tanto: n(S) = 4

Parte I. Experimentos a partir de un objeto generador.

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