Cuaderno de Bitácora

Cuaderno deBitácora

El Navigium Curvarum

ÍNDICE

7. Perdidos en alta mar.

8. El rescate en la tempestad.

1. Las aves migrantes.

9. Una puerta nueva para el capitán.

2. Al abordaje con la naturaleza del oleaje.

10. El hambre acecha.

3. La hermosa vista del cometa que lo peta.

11. Estamos a la deriva.

4. Un dulce tesoro.

12. El final del viaje.

5. La Trisección Secreta en la Cambusa.

6.Trisectando al peligro.

Espiral cuya fórmula sea semejante a la ecuación de una recta.

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16 de mayo de 1898

sobre los campos cercanos, cientos de aves se movían en perfecta sincronía, dibujando patrones hipnóticos en el aire. Sus trayectorias circulares parecían responder a un diseño que no podía ser producto del azar. Curioso por entender este fenómeno, propuse acercarnos para observar más de cerca y registrar sus movimientos. El matemático, fascinado por las aves, empezó a trazar un boceto inicial de sus trayectorias. Después de unos minutos de observación, señaló que cada ave parecía obedecer un patrón donde la distancia al centro del vuelo dependía de forma cuadrática del ángulo que describen en su movimiento.

Tras días de navegación tranquila, decidimos aprovechar el buen tiempo y hacer una parada en la Isla Rocosa, un lugar que prometía calma y algo de tierra firme para el descanso de la tripulación. El sol brillaba con fuerza, y las brisas cálidas arrastraban el aroma de flores silvestres que cubrían el paisaje. Sin embargo, los rastros del ciclón de marzo aún eran evidentes: árboles jóvenes inclinados hacia un lado parecían recordar con precisión el paso del viento implacable. Caminaba junto a algunos de mis hombres y un visitante al que encontramos en la isla, un matemático con el que intercambiamos historias. Fue durante esta charla que algo insólito captó nuestra atención:

Tras algunas discusiones, me explicó que las trayectorias podían modelarse matemáticamente como una espiral de Fermat, cuya fórmula es: donde a es una constante que define la separación entre los giros de la trayectoria. Nuestro primer cálculo consideró que la constante a era de 2 metros y que las aves comenzaban a moverse desde el punto central, aumentando su ángulo progresivamente. Al observar el vuelo de una de las aves, nos planteamos lo siguiente:

¿A qué distancia se encontraría la ave tras completar un giro de 90º (θ=π/2)? Si el vuelo continuaba por un ángulo mayor, como 180º (θ=π), ¿cómo variaría el radio?

Al finalizar nuestras observaciones, nos percatamos de que había un pintor retratando esta maravillosa escena, así que le preguntamos si nos vendía la pintura. Era una representación precisa de la espiral que seguían las aves, y su simetría era tan hermosa que decidimos guardarla en este cuaderno como recuerdo.

También hago un esbozo de cómo sería la espiral resultante, y así no olvidarme, lo empezaré a hacer para no olvidarme del aspecto de nuevas y curiosas espirales.

Espiral cuyo radio aumenta proporcional a la raíz de θ.

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14 de julio de 1898

Me acerqué a él y, tras unos minutos de conversación, él comenzó a explicar lo que veía: las olas no eran simplemente ondas que se desplazaban al azar, sino que cada una de ellas seguía un patrón curvado, un patrón que recordaba una espiral en su forma. La observación inicial fue simple, pero fascinante. Nos dimos cuenta de que las olas se desplazaban con una tendencia a acercarse al centro de la región en la que se formaban, disminuyendo gradualmente su radio conforme se acercaban al punto central. Parecía que existía una relación matemática entre las vueltas de la ola y la distancia que recorría.

El viento soplaba suavemente y las olas chocaban contra el casco del barco con un ritmo casi hipnótico. A medida que nos alejábamos de la costa, una sensación extraña se apoderaba de la tripulación: el mar parecía moverse de una manera ordenada, casi como si las olas siguieran una secuencia precisa, una que podíamos intuir, pero no comprendíamos del todo. Obsequiando a los marineros con una breve pausa, me dirigí a la cubierta, donde uno de los navegantes, un hombre que se dedicaba al estudio de la mecánica de fluidos, estaba observando con atención el patrón que seguían las olas en el horizonte.

Siguiendo las recomendaciones del navegante, comenzamos a trazar algunas de las trayectorias observadas. Notamos que, con cada vuelta hacia el centro, la distancia entre las olas se reducía proporcionalmente. La forma que tomaban las olas frente a nosotros correspondía perfectamente a una espiral que se comprime hacia su origen, similar a cómo las espirales de algunos tornados o vórtices se acercan al centro con cada giro. El patrón observado se ajustaba bien a una espiral hiperbólica, una espiral en la que la distancia entre las curvas disminuye de manera exponencial conforme el ángulo cambia.

Para ilustrar el fenómeno, comenzamos a realizar algunos cálculos. Decidimos que la constante a sería 10 metros, y al observar el movimiento de una de las olas en particular, calculamos la distancia r para un ángulo de θ=π/2 (un cuarto de vuelta). La distancia resultante fue de 20 metros. Después, para un ángulo de θ=π (media vuelta), la distancia era de 10 metros, y así sucesivamente. Lo más sorprendente fue que, mientras más cerca se encontraban de la región central, las olas se comprimían con una rapidez asombrosa. A medida que el ángulo θ aumentaba, las olas se comprimían aún más, reduciendo significativamente la distancia entre ellas.

Este patrón nos recordó la rápida concentración de energía en ciertos fenómenos naturales, como las tormentas que se acercan al centro de un ciclón. Pensando en el patrón observado, nos preguntamos cómo cambiaría la distancia entre las olas si la constante a fuera mayor o menor. ¿Cómo afectaría esto a la velocidad con la que las olas se acercan al centro de la espiral? Si a fuera mayor, ¿se generarían olas más grandes al principio?

Espiral cuyo radio aumenta inversamente proporcional a θ.

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23 de julio de 1898

La cola del cometa, con su forma delicada pero persistente, parecía responder a un patrón geométrico. Su estructura se hacía más estrecha y menos densa cuanto más lejos estaba del núcleo, como si el material eyectado se dispersara siguiendo un principio natural de proporción inversa. Algo en esa configuración despertó mi curiosidad matemática, y rápidamente empecé a hacer anotaciones en mi cuaderno. Al analizar la forma de la cola, deduje que podría aproximarse a la espiral de Lituus, una espiral inversamente proporcional al ángulo del giro. Su fórmula en coordenadas polares es:

El cielo comenzaba a teñirse de tonos anaranjados y púrpuras mientras el sol descendía sobre el horizonte. Estábamos en mar abierto, lejos de la contaminación lumínica de cualquier puerto, cuando uno de los vigías del barco señaló algo en el cielo que llamó nuestra atención: un cometa, con su brillante núcleo y una cola larga que se extendía en un arco amplio hacia el infinito. Era un espectáculo impresionante y, para nuestra suerte, las condiciones eran ideales para observarlo con claridad. Me acerqué con un telescopio rudimentario que habíamos improvisado a lo largo de nuestros viajes, buscando captar más detalles del fenómeno.

Si en otro cometa la constante a fuese mayor debido a una mayor cantidad de material inicial eyectado, ¿cómo cambiaría la forma y la longitud de la cola? Al finalizar nuestras observaciones, el pintor de a bordo que trajimos retrató el panorama desde un bote, para que nos quedemos con un recuerdo de este momento.

A medida que reflexionábamos sobre el fenómeno, comencé a plantearme ciertas preguntas: Si al inicio de la cola, cuando el ángulo θ era de 30º (π/6) medimos que el radio era de 5 kilómetros, ¿qué valor tendría la constante a en este caso? Si el ángulo de dispersión aumentara a 45º (π/4), ¿cuál sería el radio aproximado? Para un ángulo mayor, como 90º (π/2), ¿cuánto se reduciría el radio? Y si el ángulo llegara a 180º (π), ¿cómo se comportaría la distancia radial? Al aumentar el ángulo indefinidamente, ¿hasta qué punto podría ser visible el material del cometa antes de que desaparezca por completo a simple vista?

4. Un dulce tesoro

13 de septiembre de 1898

Tras una mañana de trabajo agotador, la tripulación recibió una recompensa inesperada: un trozo de tarta que había sobrado del banquete del capitán. Como era de esperar, más de uno quería su parte, pero con solo un pedazo disponible, la disputa por quién recibiría más amenazaba con estallar en pleno mar. Para mantener la paz y asegurar un reparto justo, propuse una solución matemática: usar la trisección de ángulos para dividir el trozo de tarta en tres partes exactamente iguales ya que eran tres marineros los que querían el dulce tesoro. Este método, conocido por su precisión, sería la clave para resolver el dilema sin favoritismos.

¿Cuál es el término para dividir un ángulo en 3 partes iguales?

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28 de septiembre de 1898

práctica. No obstante, había un obstáculo formidable: el cocinero. Hombre de carácter iracundo, no toleraba que nadie tomara provisiones sin su permiso, y su temperamento hacía que enfrentarse a él fuese más peligroso que una tormenta en alta mar.

Tras el éxito obtenido al dividir equitativamente el trozo de tarta, la tripulación, entusiasmada con su nueva habilidad, decidió llevar la trisección de ángulos con mayor precisión, para ello, considerarón la espiral de Arquímedes. Sabían que en futuras maniobras de navegación, como esquivar arrecifes o trazar rutas precisas, este método podría ser crucial. Sin embargo, antes de confiar sus vidas en dicha espiral, necesitaban perfeccionar la técnica. Fue así como, en la tranquilidad de la noche, los marineros planearon su incursión a la cambusa, con el fin de usar los quesos redondos almacenados como material de

¿Qué espiral nos sirve para trisecar un ángulo con exactitud?

Solo escribir el nombre.

19 de noviembre de 1899

ángulos, utilizando la espiral de Arquímedes. Esta técnica, que consiste en dividir nuestro rumbo en tres trayectorias equidistantes, tenía la intención de esquivar los peligros que nos acechaban, reduciendo la posibilidad de encontrarnos con cualquiera de las amenazas en su totalidad. A las 8:30 am, trazamos nuestra primera desviación, ajustando el rumbo en un ángulo preciso hacia la derecha, siguiendo el patrón geométrico de la espiral. La segunda dirección nos llevó ligeramente hacia el noreste. Este patrón triangular, aunque arriesgado, nos ofrece la mejor oportunidad de evitar las múltiples amenazas que acechaban en cada dirección.

El día comenzó con cielos densamente nublados y un olor moderado que hacía crujir suavemente las velas. Avanzamos con cautela, conscientes de que nos adentrábamos en las temidas aguas del Estrecho de las Sombras. Esta ruta ha sido durante siglos sinónimo de muerte, por sus tres amenazas más mortales: piratas furtivos, los arrecifes invisibles bajo la superficie, aguas infestadas de remolinos gigantes y la leyenda que, con el paso de los años, ha cobrado vida propia: el Kraken, el más temible de los monstruos marinos. Con conocimiento de estos riesgos, se decidió aplicar un método que habíamos ensayado en travesías anteriores: la trisección de

21 de noviembre de 1899

ángulos, utilizando la espiral de Arquímedes. Esta técnica, que consiste en dividir nuestro rumbo en tres trayectorias equidistantes, tenía la intención de esquivar los peligros que nos acechaban, reduciendo la posibilidad de encontrarnos con cualquiera de las amenazas en su totalidad. A las 8:30 am, trazamos nuestra primera desviación, ajustando el rumbo en un ángulo preciso hacia la derecha, siguiendo el patrón geométrico de la espiral. La segunda dirección nos llevó ligeramente hacia el noreste. Este patrón triangular, aunque arriesgado, nos ofrece la mejor oportunidad de evitar las múltiples amenazas que acechaban en cada dirección.

El día comenzó con cielos densamente nublados y un olor moderado que hacía crujir suavemente las velas. Avanzamos con cautela, conscientes de que nos adentrábamos en las temidas aguas del Estrecho de las Sombras. Esta ruta ha sido durante siglos sinónimo de muerte, por sus tres amenazas más mortales: piratas furtivos, los arrecifes invisibles bajo la superficie, aguas infestadas de remolinos gigantes y la leyenda que, con el paso de los años, ha cobrado vida propia: el Kraken, el más temible de los monstruos marinos. Con conocimiento de estos riesgos, se decidió aplicar un método que habíamos ensayado en travesías anteriores: la trisección de

22 de noviemrbe de 1899

La decisión no era fácil. La tripulación, cansada de la monotonía del mar y deseosa de pisar tierra firme, veía con buenos ojos el camino más corto. Pero yo sabía que la velocidad no siempre es sinónimo de éxito en el mar; a veces, la paciencia y la prudencia son los mejores aliados del navegante. Tras discutir nuestras opciones con el timonel y el contramaestre, sopesamos los riesgos y las ventajas. El consenso fue claro: la seguridad de la tripulación y del barco debía prevalecer. Elegimos el camino más largo, confiando en que las provisiones y el ánimo resistirán la extensión del viaje.

Durante la travesía nos percatamos que algunas de estas rutas prometían una travesía más corta, caminos que nos llevarían rápidamente a nuestro destino esquivando los peligros que nos acechaba. Sin embargo, el precio de esta rapidez era navegar por zonas donde la posibilidad de encuentros con remolinos gigantes o con el mismísimo Kraken no podía ser descartada. Por otro lado, había rutas más largas, serpenteantes, que nos llevaban lejos de cualquier posible amenaza, asegurando una navegación tranquila y constante, pero a costa de retrasar nuestra llegada varios días.

El mar, siempre sabio en su silencio, parecía aprobar nuestra decisión. Y así, con las velas firmes y el rumbo trazado, seguimos adelante, dejando que el tiempo y el océano nos guiarán con su interminable lección de paciencia.

7. Perdidosen alta mar

30 de noviembre de 1898

Hoy, con pesar, debo anotar en este cuaderno lo que temíamos desde hace días: estamos perdidos en alta mar. Las olas golpean el casco del Navigium, y aunque el cielo está despejado, la incertidumbre pesa sobre nosotros. Hace meses que partimos del último puerto y, aunque hemos seguido el rumbo con cuidado, nuestros métodos no bastan para saber con certeza dónde nos encontramos. Algunos marineros han logrado obtener nuestra latitud con precisión. Utilizamos el sextante para medir el ángulo de elevación de un astro sobre el horizonte. Este ángulo es crucial, pues nos permite determinar cuán al norte o al sur nos encontramos en relación

con el ecuador. Para la medición, debemos esperar el momento preciso: si es de día, observamos el sol cuando alcanza su punto más alto en el cielo, al mediodía. Si es de noche, buscamos la estrella polar, que permanece casi fija en el cielo y es visible únicamente en el hemisferio norte. Medimos el ángulo entre el horizonte y el astro, tomando nota con el mayor cuidado posible. Con este ángulo, consultamos las tablas de navegación, que nos indican la altura esperada del sol o la estrella polar en nuestra latitud de referencia (como el puerto de partida) en esa fecha específica. Al comparar el ángulo medido con el esperado, calculamos la diferencia que nos separa de esa latitud

La garra del león

2 de diciembre de 1898

bsae. Sin embargo, la longitud se nos escapa como arena entre los dedos. No tenemos manera de calcular la distancia exacta que nos separa del meridiano de partida. Sin un método fiable para conocer la longitud en alta mar, cualquier error nos desvía a lo desconocido.

Las olas golpeaban con furia, y el desánimo se había adueñado de mi tripulación. La incertidumbre sobre nuestra posición nos carcomía como un gusano al madero. Pero en medio de esa nube de desesperación, uno de mis muchachos, con el rostro iluminado por la chispa de un recuerdo, mencionó algo que había escuchado antes de zarpar. Contó que había oído a otros marineros hablar de cómo calcularon su longitud con solo dos horas, aunque no logró captar cómo lo hicieron. Fue en ese instante cuando una idea relampagueó en mi mente. ¡Eureka! Recordé un viejo librillo de navegación que había llegado a mis manos hace más de una década, un regalo olvidado en los recovecos del barco

Decía que contenía secretos de la época de la conquista, aunque nunca había prestado atención a sus páginas amarillentas. Con renovada esperanza, ordené a la tripulación buscar entre los baúles, cofres y estanterías. Tras horas de rebuscar, allí estaba, cubierto de polvo, como un tesoro esperando ser descubierto. Al abrirlo, supe que no era casualidad. En sus páginas se explicaba lo que el marinero apenas recordaba: Por cada 15 grados que uno se desplaza hacia el Este, el tiempo avanza una hora con respecto al lugar de partida; hacia el Oeste, se pierde una hora. Si pudiéramos conocer la hora exacta en dos puntos distintos del mundo, podríamos

calcular la distancia en longitud que nos separa de ellos. Hasta ahora, esto era un enigma para mí, pero ahora veo su potencial. Aquí en alta mar, podemos determinar la hora local observando al sol, especialmente cuando alcanza su punto más alto al mediodía y usando el reloj de sol. Pero para calcular nuestra posición exacta, necesitamos algo más: la hora de un punto fijo, como el puerto de partida. Si tuviéramos un modo de conocer esa hora mientras navegamos, podríamos trazar nuestra longitud con la misma precisión con la que calculamos la latitud. Este descubrimiento podría cambiarlo todo.

¿Qué podrían usar los navegantes para conocer la hora del puerto?

Todos tenemos uno en casa

Este desconcierto nos ha puesto a prueba, pues aunque los cálculos parecían correctos, la realidad del mar no siempre sigue la lógica. Quizás, en nuestra búsqueda por resolver el enigma de la longitud, estamos pasando por alto algún detalle esencial.

¿De qué medida del movimiento pendular depende el periodo?

Recuerda que hemos visto 3 medidas.

¿Acaso su péndulo se movía de forma diferente? La idea de que un objeto tan pequeño pudiera guardar el poder de transformar nuestra travesía era tan fascinante como inquietante. Si lográramos confirmar su exactitud, este reloj podría convertirse en nuestra estrella guía, permitiéndonos calcular no solo el paso de las horas, sino también nuestra posición en el vasto océano. Pero hasta entonces, debía ser examinado con rigor. La precisión, en estas circunstancias, no es un lujo; es una cuestión de vida o muerte.

¿Cómo se llama el péndulo cuyo periodo no depende de la amplitud?

Del griego: "El mismo tiempo".

¿Qué propiedad de la cicloide hace isócrono al péndulo cicloidal?

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22 de diciembre de 1898

subirse. Sin embargo, el oleaje los empujó cada vez más lejos del Navigium. Desde la cubierta, los veíamos desaparecer y reaparecer entre las olas, sus voces apenas audibles por encima del estruendo de la tormenta. Mientras la tripulación luchaba por mantener el Navigium a flote, los náufragos, ahora todos reunidos en la barca, se encontraron en una situación crítica. Las olas gigantescas los llevaban hacia el abismo de agua y espuma. Si querían sobrevivir, debían regresar al barco. Pero había un problema: para acercarse necesitaban descender de la cresta de la ola lo más rápido posible, evitando ser arrastrados aún más lejos.

El día amaneció con cielos pesados y un viento que, aunque al principio parecía inofensivo, pronto se convirtió en un rugido implacable. Antes de que pudiéramos reaccionar, una gran tempestad nos envolvió. Las olas, altas como montañas, azotaban el Navigium con una furia desmedida. Los hombres corrían a asegurar las velas y reforzar el timón, pero en un instante de horror, una enorme ola golpeó el costado del barco, barriendo a cuatro marineros por la borda. Sin tiempo para dudar, arrojamos una pequeña barca al agua, esperando que los náufragos pudieran alcanzarla. Contra todo pronóstico, lograron aferrarse a ella y

La cuadratura del círcculo

¿Cómo podrán los náufragos ser más veloces que las olas? Desde aquí, sobre la cubierta, siento el peso de su destino. Su suerte está en nuestras manos, y aunque la tempestad nos embiste sin tregua, no podemos abandonarlos a su suerte. Debemos hallar la manera más eficaz de sortear estas colosales fuerzas y gritarles la solución. El océano no concede segundas oportunidades; su salvación depende de nuestra rapidez y astucia. En medio del caos y el estruendo del océano, mientras nos esforzábamos por pensar en una solución, fue el contramaestre quien, con voz rasgada por el viento, gritó algo que nos dejó perplejos: "¡La curva braquistócrona!" Al principio, sus palabras parecieron un desvarío más de la desesperación.

Pero insistió, aferrado al pasamanos, sus ojos brillando con la intensidad de alguien que ha visto una chispa de esperanza. "La curva más rápida no es la recta," explicó rápidamente, "sino una curva, como un arco que aprovecha la gravedad y la pendiente. Si los náufragos dirigen la barca por esa trayectoria al descender la ola, llegarán al barco más rápido que enfrentando el oleaje de frente." En medio de la tormenta, la idea resonó con claridad. Aunque el mar no es una superficie sólida, la lógica detrás de la braquistócrona tenía sentido. Si los hombres en la barca podían remar hacia un punto más bajo de la ola, tomando una trayectoria curva,aprovecharían la velocidad de la caída y el impulso de la pendiente para alcanzar

la base antes de que la ola siguiente los empujara más lejos. La idea del contramaestre, aunque brillante, dejó una duda profunda en mi mente: ¿pero cuál era exactamente esa famosa curva? ¿Cómo podríamos aplicarla en medio de la furia del océano? Una pregunta más urgente me asaltó: ¿acaso había algo en la bodega del Navigium que nos pudiera ayudar a entender mejor esa trayectoria?

En griego "brachistos" significa el más ...

Recuerda el origen de braquistócrona.

Debo pedirle al contramaestre y al navegante que revisen estos dibujos conmigo. Si hay algo que hemos aprendido, es que la seguridad de nuestra tripulación depende de nuestra habilidad para entender y aplicar el conocimiento correctamente, y no podemos permitirnos errores en una situación como la de ayer.

De las trayectorias anteriores ¿cuántas son cicloides?

Pon únicamente un número.

28 de diciembre del año 1898

inesperadas. Cuando el barco caía siempre elegíamos el camino más rápido hacia el fondo: la curva braquistócrona, esa misma que toma la forma de la cicloide. Los marineros creen que esta curva nos salvó, ¿Casualidad? Quizás. Pero, yo no tengo razones para dudar de ellos. Por eso, he decidido que mi puerta del camarote será un homenaje a esta curva. Será un símbolo de los conocimientos que hemos adquirido y de la sabiduría que el mar nos ha regalado. La puerta será rectangular, como cualquier otra, pero con una forma de cicloide perfecta en la parte superior. El carpintero ya está manos a la obra, pero se ha encontrado con un problema: ¿cuánta madera necesitaremos?

Esta travesía nos ha puesto a prueba una y otra vez, y puedo decir con orgullo que hemos sobrevivido gracias al ingenio humano y a una curva que parece guiarnos en cada paso: la cicloide. Fue la cicloide la que nos ayudó a calcular nuestra posición cuando todo parecía perdido. Con el reloj isócrono en nuestras manos, aprendimos que al medir el tiempo con los ciclos tautócronos podíamos determinar nuestra longitud en el océano y corregir el rumbo antes de perdernos para siempre. No solo eso. En las peores tormentas, cuando las olas parecían decididas a tragarnos, fuimos testigos de cómo las leyes de la naturaleza toman las formas más

El mar de Europa (Jupiter)

Yo no soy hombre de números, pero sé que él tendrá que calcular el área de todo el diseño, incluyendo esa curva en la parte superior. No es un cálculo sencillo, pero confío en que lo resolverá. Después de todo, si la cicloide nos ha guiado en el mar, ¿cómo no iba a hacerlo en tierra firme? Pronto, esa puerta se abrirá y cerrará con el mismo ritmo que nos marcó el camino hacia la salvación. Y cada vez que pase a través de ella, recordaré que en el océano, la supervivencia no depende solo del coraje, sino también de la capacidad de comprender las formas que nos rodean.

Carretera de corazones

El área de la cicloide es 3 veces el área de la...

... que la genera.

15 de enero del año 1899

1necesario para cocinar? La tripulación está lista para intentarlo. Según estos antiguos cálculos, la parábola tiene una propiedad única: cualquier rayo de luz que llegue paralelo a su eje principal será reflejado hacia un punto especial llamado foco. Si logramos diseñar una parábola y dirigirla hacia el sol, podríamos concentrar suficiente calor para hacer fuego. La idea es simple, pero el mar no perdona errores. Cada marinero deberá poner manos a la obra para crear un reflector parabólico con los materiales que tenemos a bordo. ¡Nuestra supervivencia depende de nuestra habilidad para usar las matemáticas! El éxito de esta operación no solo nos

Nuestra tripulación, acostumbrada a los vientos y las tormentas, se enfrenta ahora a un enemigo mucho más silencioso: el hambre. Tras semanas navegando por aguas desconocidas, nuestras cerillas se han agotado y no tenemos más recursos para encender fuego. El menú a bordo consiste en pescado crudo y galletas duras… y ya nadie aguanta más. Pero este capitán no se rinde. Entre nuestros mapas y diarios, encontré algo que puede ser nuestra salvación: ¡una antigua fórmula matemática! Habla de una curva mágica, la parábola, capaz de atrapar los rayos del sol y concentrarlos en un único punto, generando calor. ¿Podrá ayudarnos a encender el fuego

Instrucciones para la navegación

1y llenar nuestros estómagos; también será un recordatorio de que las matemáticas no solo están en los libros, sino que pueden ser la clave para sobrevivir incluso en los lugares más inhóspitos. La tripulación está ansiosa, algunos escépticos, otros emocionados. Pero una cosa es segura: si esta fórmula funciona, nuestra historia quedará grabada en la leyenda pirata como la del barco que hizo fuego con el poder de las matemáticas. El desafío es grande, pero confío en vosotros. Vamos, camaradas, ¡a conquistar el fuego con la curva mágica! Que las matemáticas iluminen nuestra travesía.

1. Dibujar la curva mágica : En la cubierta, trazaremos una parábola utilizando una regla y cuerdas. La fórmula a seguir será algo como: y= ½ · x2 Teniendo la ecuación de una parábola en la forma y = a (x - h)2 + k , entonces el foco está en (h , k + 1/(4a)). En nuestro caso estará en (0,½). 2. Construir el reflector : En un cartón recortaremos la forma de una parábola, esto lo haremos unas 4 veces. Seguidamente los colocaremos cruzándose entre ellos, como si de dividir una pizza se tratará. Con esto tendremos la estructura,

solo faltará de metal pulido cubrir la superficie. 3. Alinearnos con el sol : Una vez terminado, orientaremos la parábola hacia el astro rey. En el foco colocaremos pequeños trozos de madera seca o cualquier material inflamable. 4. Esperar al milagro : Si los cálculos son correctos y el cielo está despejado, deberíamos ver humo en pocos minutos. ¡Con un poco de paciencia, el fuego no tardará en aparecer!

¿Cuál es la propiedad de la parábola que permite cocinar?

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Tras observar el mapa local nos hemos percatado de tres torres de las que podrían proceder. El Faro del Kraken, la Torre de las Sombras y la Atalaya de la Sirena. Cada torre emite un sonido diferente: un grave resonar del Faro del Kraken, un eco vibrante de la Torre de las Sombras, y un tono agudo de la Atalaya de la Sirena. Aunque el método parece más propio de hechiceros que de piratas, nuestra tripulación está decidida a desentrañar el misterio. ¡La ciencia y la astucia nos salvarán de la deriva! Nuestro navegante nos indica que midiendo la diferencia de tiempo entre la llegada de cada sonido dentro de dos hipérbolas nos podremos hallar. Basta localizar los puntos donde ambas coinciden y vuala nuestra posición podemos hallar.

27 de enero del año 1899

¡Estamos envueltos en una niebla tan densa que el horizonte ha desaparecido por completo! El timonel apenas puede distinguir el mástil, y nuestra brújula se extravió en la tormenta de anoche. Sin estrellas ni referencias visuales, hemos quedado a merced del mar. Sin embargo, nuestra suerte no está completamente echada. Entre el pánico y el horror tres sonidos somos capaces de diferenciar. Estas señales, aunque invisibles a nuestros ojos, son audibles en la distancia, y un navegante asegura que podemos usar sus diferencias de tiempos para triangular nuestra posición.

1. Medir la diferencia de tiempo de llegada del sonido entre la Torre del Kraken y la Torre de las sombras, la de la torre de las sombras con la Atalaya de las sirenas y la torre del Kraken con la atalaya de las sirenas. En este caso resulta de 118.5 segundos en el primer caso y 45.5 segundos en el segundo y de 164 segundos en el tercer caso 2. Multiplicar dichas diferencias por la velocidad del sonido para obtener las distancias. 3. SIguiendo el mapa de abajo, representar en geogebra los puntos de dicho mapa

4.Hallar las fórmulas de las hipérbolas con focos en cada caso e intersecarlas. Hacer la representación e intersección en geogebra.

Instrucciones para la tripulación:

¿Cuáles son las coordenadas del barco?

Redondea la solución de geogebra

16 de marzo del año 1899

Amanece tras una larga noche, el sonido de los tres campanarios nos ha ayudado a orientarnos al fin. Ese navegante, Loran, ha hecho un trabajo increíble con las hipérbolas para encontrarnos en alta mar. Tras el largo viaje y todas las dificultades asumidas hemos llegado a nuestro destino final. La isla donde dicen se encuentra el corazón del mar. Un cristal legendario que, según la mitología, otorga el poder de calmar cualquier tormenta y proteger a quien lo posea de los peligros del océano. Nuestro cartógrafo más especialista ha conseguido dibujar el siguiente mapa, y ahora las pistas encontradas en el tesoro empiezan a tener sentido. Ahora para llegar al lugar pertinente solo falta atracar y descifrar el acertijo que se nos propone.

Pista 1: El inicio del viaje "Comienza tu búsqueda en el árbol más alto, donde el sol al atardecer lanza su halo. Mide bien la distancia hacia otro punto, pues allí te espera el siguiente asunto."

Pista 2: Un naufragio olvidado "Desde el árbol camina en línea recta, cien pasos al sureste en la tierra seca. Allí encontrarás restos de madera, pero tu destino aún no espera."

Pista 3: La cueva sombría "Gira ahora hacia el oeste con cuidado, 170 pasos más hasta el terreno rocoso. En una cueva oscura encontrarás, otra pista que más te guiará."

18 de marzo del año 1899

Amanece tras una larga noche, el sonido de los tres campanarios nos ha ayudado a orientarnos al fin. Ese navegante, Loran, ha hecho un trabajo increíble con las hipérbolas para encontrarnos en alta mar. Tras el largo viaje y todas las dificultades asumidas hemos llegado a nuestro destino final. La isla donde dicen se encuentra el corazón del mar. Un cristal legendario que, según la mitología, otorga el poder de calmar cualquier tormenta y proteger a quien lo posea de los peligros del océano. Nuestro cartógrafo más especialista ha conseguido dibujar el siguiente mapa, y ahora las pistas encontradas en el tesoro empiezan a tener sentido. Ahora para llegar al lugar pertinente solo falta atracar y descifrar el acertijo que se nos propone.

¿Cuáles son las coordenadas del corazón del mar?

Redondea la solución de geogebra

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El Navigium Curvarum

Origen de la cicloide

La aparición de la curva cicloide por primera vez en la escena matemática no tiene una fecha clara. Debemos notar que esta curva no había sido considerada previamente por los matemáticos de la Grecia Clásica. Parece ser que el filósofo y teólogo francés Charles de Bouvelles (1471-1553) fue pionero en trabajar con la curva cicloide, orientando sus estudios sobre dicha curva en relación con el problema de la cuadratura del círculo.