"Secciones Crónicas" - Proyecto Final

5 to. Tetramestre de Bachillerato

Secciones Crónicas

Matemáticas IV

1. Circunferencia

Una circunferencia es una figura geométrica en la que todos los puntos están a la misma distancia de un punto central llamado centro. Se obtiene cuando el plano corta el cono de manera perpendicular a su eje.

Matemáticamente, su ecuación general en el plano es: (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2(x−h)2+(y−k)2=r2 donde (h,k)(h, k)(h,k) es el centro de la circunferencia y rrr es el radio.

EJEMPLO DE CIRCUNFERENCIA

2. ELIPSE

Una elipse es una curva cerrada que se obtiene cuando el plano corta el cono en un ángulo oblicuo, pero sin llegar a ser paralelo a la base del cono. Los puntos de una elipse cumplen con la propiedad de que la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La ecuación general de una elipse con centro en (h,k)(h, k)(h,k) es: (x−h)2a2+(y−k)2b2=1\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1a2(x−h)2​+b2(y−k)2​=1 donde aaa y bbb son los semiejes de la elipse (distancias desde el centro hasta los extremos).

EJEMPLO DE UNA ELIPSE

3. Parábola

La parábola se obtiene cuando el plano corta el cono de manera paralela a una de sus generatrices (las líneas que generan el cono). La parábola tiene una propiedad importante: la distancia de cualquier punto de la parábola a un punto fijo llamado foco es igual a la distancia de ese punto a una línea llamada directriz.

Su ecuación general es: y−k=a(x−h)2y - k = a(x - h)^2y−k=a(x−h)2 donde (h,k)(h, k)(h,k) es el vértice de la parábola y aaa controla su apertura.

Ejemplo de Parábola

4. Hipérbola

Una hipérbola se obtiene cuando el plano corta el cono en un ángulo mayor que el de la elipse, de tal manera que corta ambas "mitades" del cono. Una hipérbola tiene dos ramas, y la diferencia de las distancias desde cualquier punto de la hipérbola a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Su ecuación general es: (x−h)2a2−(y−k)2b2=1\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1a2(x−h)2​−b2(y−k)2​=1 La hipérbola tiene dos ejes, el eje mayor y el eje menor, que definen su forma y tamaño.

Ejemplo de hipérbola

Aplicaciones de las Secciones Cónicas

Gracias

Las secciones cónicas tienen muchas aplicaciones en la vida diaria y en diferentes campos científicos

CIRCUNFERENCIA

Se encuentra en objetos cotidianos como ruedas, platos y es crucial en el diseño de engranajes.

Las órbitas de los planetas y satélites son elípticas, con el Sol o la Tierra en uno de los focos.

Elipse:

PARÁBOLA

Es común en trayectorias de proyectiles, antenas parabólicas y reflectores.

Hipérbola:

Se utiliza en diseño de órbitas espaciales, en sistemas de navegación y en cálculos de movimiento relativo.

Las secciones cónicas son muy útiles en la modelación matemática de fenómenos naturales, y su estudio permite a los estudiantes entender tanto las propiedades geométricas como las aplicaciones prácticas en la vida real.

Conclusión