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Problemas que dieron origen al Cálculo Diferencial
Físico - Matemáticas BELVER
Created on November 26, 2024
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Transcript
El cálculo de la velocidad
La recta tangente
El área bajo una curva
Problemas que dieron origen al Cálculo Diferencial
Los máximos y mínimos
El cálculo de la velocidad
Uno de los dos principales creadores del cálculo diferencial fue Isaac Newton, quien desarrolló tres versiones de su cálculo. Su obra llamada “De Analysi per equationes numero terminorum infinitas” (Del análisis por medio de ecuaciones de un número infinito de términos) es considerada como el fundamento del cálculo, pues ya usa conceptos infinitesimales.
El cálculo de la velocidad
En este libro desarrolla una serie de algoritmos y reduce problemas como la determinación de tangentes, máximos y mínimos, áreas y superficies, curvaturas, longitudes de arcos, centros de gravedad etc., a dos problemas fundamentales:
En su segunda obra respecto del Cálculo “Methodus fluxionum et serierum infinitorum”, escrito hacia 1671 pero publicado en 1736, Newton considera cantidades variables que van fluyendo con el tiempo, a las que llama fluentes. Después se introducen las razones de cambio instantáneas de las fluentes, a las que llama fluxiones, que son las derivadas respecto al tiempo.
El cálculo de la velocidad
En síntesis:el problema del cálculo de la velocidad nos dice que, dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.
Problema 1 Determinación de la velocidad de movimiento en un momento de tiempo dado según un camino dado.Problema 2 Dada la velocidad de movimiento, determinar el camino recorrido en un tiempo dado.
La recta tangente
Para los griegos, el concepto de recta tangente era estático y de naturaleza geométrica, generalmente asociado a las cónicas.
Concoide
Cisoide
La recta tangente
A las secciones cónicas se le suman la cisoide de Diocles y la concoide de Nicomedes, que ya implican un punto en movimiento.
La recta tangente
El concepto de tangente se consideraba como una recta que toca a la curva sin cortarla, pero esa definición solo se aplicaba a la circunferencia.Posteriormente, Arquímedes, a través de un enfoque cinemático logró trazar una tangente a la espiral que lleva su nombre.
La espiral de Arquímedes se forma considerando un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta (vista en amarillo), que gira sobre un punto (en color rojo) de origen fijo a velocidad angular constante. En la imagen puedes apreciar una animación de su trazado y se puede observar la recta tangente a la espiral en color azul turquesa.
La recta tangente
Básicamente, el problema al que se enfrentaron los griegos fue el de encontrar la pendiente de una línea que toca a una curva en movimiento, conocida como línea tangente.
La recta tangente
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) nació en Leipzig (Alemania) en el seno de una piadosa familia luterana; fue un pensador profundo, que tuvo gran interés en desarrollar una notación matemática apropiada para su cálculo; de hecho, su notación (muy superior a la de Newton) es la que usamos actualmente.
La recta tangente
La recta tangente
Cabe señalar que Leibniz no considera la derivada como un proceso que más tarde estudiaremos y que se conoce como “límite”.
Si nos acercamos a ver con detalle un par de puntos consecutivos veremos que se forma un rectángulo particular. Resulta así el triángulo característico de Leibniz.
La recta tangente
Usando un método similar al Método de Exhaución de Eudoxo, que consistía en hallar el área del círculo a través de aproximaciones, matemáticos del siglo XVII, como Fermat, Barrow, Galileo o Keppler, calcularon el área bajo la curva de una función.
El área bajo una curva
En la imagen puedes apreciar que se dibujan rectángulos y la idea es sumar sus áreas. Al igual que en el problema del área del círculo, cuantos más rectángulos se dibujen mejor será la aproximación del área bajo la curva. Este problema corresponde al Cálculo Integral y no se estudiará en este curso.
El área bajo una curva
Ya en el siglo XVII Johannes Kepler hace la observación de que la variación de una función es lenta cerca de un máximo; este comportamiento es fácilmente observable a través del estudio de la derivada de la función.
La historia del problema de determinar cuándo una curva alcanza un máximo o un mínimo suele separarse de la matemática griega, pues esta, tiene mayormente características estáticas y cinemáticas, es decir, describe casos particulares y su enfoque establece relaciones descriptivas entre las propiedades del movimiento, más que entre las causas que lo provocan.
Los máximos y mínimos
En el periodo de 1630 a 1660, los matemáticos comenzaron a usar técnicas en las que ya se aprecia el uso de derivadas; justificadas por el hecho de que daban resultados correctos, por ejemplo, en problemas de óptica o en la determinación de la trayectoria de un cuerpo que se mueve alrededor de un centro y que cae al mismo tiempo hacia ese centro con aceleración constante; sin embargo, no se buscaba un “cálculo diferencial”, simplemente, se buscaban valores máximos o mínimos de forma empírica.
Los máximos y mínimos
En 1637, Fermat escribió una memoria llamada Methodus ad disquirendam maximan et minimam (“Método para la investigación de máximos y mínimos”). En ella se establecía el primer procedimiento general conocido para calcular máximos y mínimos.