4H - Teoria dei segnali

TEORIA DEI SEGNALI

Cos'è un segnale?

Possiamo definire un segnale come una grandezza elettrica variabile nel tempo, sulla quale viene “caricata” l’informazione. Esiste una grande varietà di segnali, i quali vengono classificati in funzione della variazione delle loro caratteristiche nel tempo: nel caso sia noto l’andamento in ogni istante, il segnale è detto determinato, nel caso invece, l’andamento non sia noto, o se ne conoscano soltanto alcune caratteristiche statistiche, è detto aleatorio. Tipici segnali aleatori sono il rumore e i disturbi di ogni genere che, sovrappo-nendosi al segnale che porta l’informazione lungo la catena di trasmissione, possono dar luogo a interpretazioni errate da parte del ricevitore: pertanto, il solo studio deterministico non è sufficiente a garantire una corretta progettazione dei sistemi di telecomunicazione.

I segnali nelle telecomunicazioni

I segnali sono grandezze elettriche che variano in funzione del tempo e contengono informazioni sullo stato di un fenomeno: esempi di segnali sono le tensioni e le correnti in ingresso e in uscita di un circuito elettrico. Per indicare che un segnale K varia nel tempo, è consuetudine indicarlo con una lettera minuscola utilizzando la seguente forma: k(t), in cui viene esplicitata la sua dipendenza dal tempo; Oltre che in funzione del tempo, un segnale può essere rappresentato in funzione della frequenza (f); il diagramma che ne deriva è denominato spettro ed esprime i va-lori istantanei che il segnale assume in funzione della frequenza.

I segnali nelle telecomunicazioni

L'intervallo: B=fM - fm

è detto larghezza di banda o semplicemente banda del segnale.

tipi di segnali

In base alla tipologia della forma d’onda, un segnale determinato può essere di tipo continuo o discreto: è detto continuo, o analogico, nel caso la sua forma d’onda sia una funzione continua nel tempo, cioè se può assumere in ogni istante qualsiasi valore compreso tra un massimo e un minimo, è detto invece discreto se, a istanti prefissati, può assumere uno tra un numero determinato di valori, detti livelli.

Essendo possibile associare un valore numerico a ogni livello, i segnali discreti vengono anche denominati numerici o digitali.

tipi di segnali: periodici

Un segnale determinato s(t) è detto periodico se, a intervalli di tempo costanti, riprende a variare con le stesse modalità, cioè se esiste un tempo finito T tale che:

La periodicità deriva dalla proprietà di assumere valori uguali a intervalli di tempo T uguali, come mostrato nella figura seguente:

L’intervallo di tempo T è detto periodo del segnale e il numero di periodi al secondo rappresenta la frequenza f, per cui si ha:

tipi di segnali: Aperiodici

Un segnale che non soddisfa l’equazione indicata sotto, cioè che non prevede periodi ripetitivi, è detto aperiodico.

tipi di segnali: sinusoidale

È un segnale periodico e alternativo (valor medio nullo), la cui espressione è del tipo:

dove: • A è il valore massimo o ampiezza del segnale; • ω (omega) è la pulsazione (che si misura in rad/s), funzione della frequenza f secondo la relazione ω = 2πf; • φ (phi) la fase iniziale.

tipi di segnali: sinusoidale

Il valore più grande che una grandezza periodica y(t) può assumere durante un periodo è detto valore massimo (YM), il valore più piccolo è detto valore minimo (Ymin). La differenza tra il valore massimo e quello minimo è detta valore picco-picco (Y pp)

Si può osservare che una grandezza sinusoidale è formata da due semiperiodi, uno positivo e uno negativo, perfettamente uguali. In tal caso il valore assoluto massimo YM coincide con quello minimo Ymin e il valore picco-picco è pari al doppio di YM

tipi di segnali: sinusoidale

Si può osservare che i relativi valori istantanei possono essere ottenuti dalla proiezione sull’asse verticale s(t) di un vettore, avente modulo pari ad A e ruotante con una velocità angolare uguale alla pulsazione ω.

Segnale sinusoidale ottenuto dalla proiezione sull’asse delle ordinate s(t) di un vettore ruotante con velocità angolare ω e ampiezza A

tipi di segnali: sinusoidale

i valori istantanei di una grandezza sinusoidale possono essere ottenuti proiettando su un asse verticale un segmento ruotante in senso antiorario, avente lunghezza uguale a quella della grandezza stessa

È importante sottolineare che quando le grandezze sinusoidali hanno la stessa frequenza, cioè sono isofrequenziali, i vettori che le rappresentano, ruotando nello stesso verso con la stessa velocità angolare, conservano in ogni istante le stesse differenze di fase. Questo significa che le posizioni relative dei diversi vettori sono co- stanti nel tempo, e quindi possono essere considerate immobili in qualsiasi posizione del piano. Quanto sopra detto sarà di grande utilità per lo studio di circuiti elettrici in regime sinusoidale.

PERCHE' STUDIARE I NUMERI COMPLESSI?

Le più importanti grandezze periodiche sono quelle alternate o alternative. Una grandezza periodica si dice alternata quando assume alternativamente valori positivi e negativi, tali che l’area della parte positiva sia uguale all’area della parte negativa: il valore medio è pertanto nullo

Esempio di grandezza alternata: si può osservare che l’area della parte positiva è uguale quella della parte negativa.

I numeri complessi servono, in un contesto di corrente alternata, dove bisogna rappresentare le sinusoidi, che variano in funzione del tempo. L' insieme dei numeri complessi, rappresentata con il simbolo C, comprende l'insieme dei numeri Reali (R) e l'insieme dei numeri immaginari.

I NUMERI COMPLESSI

I numeri complessi nascono dall'esigenza di gestire un tipo di numeri non presenti nell'insieme dei numeri Reali, ovvero: x2 = -4 non esiste in R, in quanto non rappresentabile graficamente sulla retta dei numeri R, in quanto da un quadrato non risulta mai un numero negativo

Un numero complesso è rappresentato da: una parte reale; una parte immaginaria; esempio: a + jb = 3 + j4 (a > parte reale) (jb > parte immaginaria)

I NUMERI COMPLESSI

Alla retta (ascissa) rappresentante i numeri Reali, viene aggiunta, un'altra coordinata (ordinata), ovvero i numeri Immaginari. Il piano che si ottiene è chiamato piano di Gauss

Se ad esempio, sostituiamo la coppia a,b con 3+j2, otterremmo una retta avente coordinata 3 nella parte reale, e cooordinata 2 nella parte immaginaria. I numeri complessi sono rappresentabili in tutti e 4 i quadranti. Ad esempio 2-j1 si collocherà nel 4° quadrante, in quanto la parte immaginaria ha valore negativo.

I NUMERI COMPLESSI: rappresentazioni

Un punto nel piano si può anche individuare anche in base alla distanza dall'origine (modulo) e all'inclinazione (positiva se in senso anti-orario) rispetto all'asse Reale (argomento).

La distanza (modulo) si calcola tramite il Teorema di Pitagora, e l'angolo (argomento) tramite le regole di trigonometria. Esempio: 3 + j4 p = 32 + 42 = 5 p si legge Ro

si legge teta

I NUMERI COMPLESSI: rappresentazioni

Si estrapola il triangolo

Regole

I NUMERI COMPLESSI: dalla forma algebrica alla forma polare

2+ j2 = radice quadrata di 2 * 2<45° il modulo in questo caso è la diagonale di un quadrato. Essendo uguali parte reale e parte immaginaria, il loro rapporto è unitario, e l'arctang di 1 è 45°

Continua....

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