geometrie non euclidee

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Geometria non euclidea

La GEOMETRIA SFERICA ha come piano una sfera

Geometrie non euclidee

Non esistono solo geometrie che riguardano le forme su un piano. Le cosiddette geometrie NON EUCLIDEE solo geometrie che hanno una base diversa da quella di Euclide

su un piano questo problema è impossibile, ma su un piano sferico questo è possibile.

Il problema dell'orso

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Ci è stato posto un problema che abbiamo esaminato sul pano e sulla sfera: un orso cammina 100Km verso sud, poi 100Km verso ovest, e poi verso nord ritornando nel punto iniziale, come è possibile?

Noi abbiamo trovato che un triangolo con 2 angoli da 90° può esistere su una sfera ma non su un piano

Forme sulla sfera e sul piano

Successivamente ci è stato proposto di disegnare una forma che può esistere sulla sfera ma non può esistere sul piano.

segmenti

Abbiamo visto che su un piano se si allunga un segmento fino a infinito le 2 parti non si toccheranno mai. Invece in una sfera se si prolunga l'arco a un certo punto si incontrerà

Circonferenza sulla sfera

Una circonferenza su una sfera ha 2 centri e 2 raggi anche di dimensioni diverse

Primo raggio

Secondo raggio

Misurare su una sfera

Per misurare qualunque misura su una fera si misura in gradi. La misura in gradi è il metodo più facile perchè si applica su qualsiasi sfera anche se si hanno raggi diffrenti, se si foss misurata in altro modo si arebbe dovuto scrivere anche la misura del raggio

Rette incidenti

sul piano rette 2 rette incidenti si possono incontrare solo per 0 e 1 punto, non 2 o più di 2. Mentre sulla sfera si possono disegnare linee (circonferenze massime) che hanno solo 2 punti in comune

5° postulato di euclide

Il 5° postulato di euclide dice: data una linea retta ed un punto che non ti appartiene si può sempre disegnare una linea retta passante per il punto che sia parallela alla linea retta data. Invece in una circonferenza è diverso: data una circonferenza massima non esiste nessun punto per cui passa una circonferenza massima parallela perchè non si possono avere 2 circonfernze massime parallele

Questa circonfeneza non è massima

Esistono infinite circonferenze massime passanti per i poliche sono perpendicolari a un altra circonferenza massima

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sul piano 3 rette non possono essere tutte 3 parallele, perchè la terza risulta perpendicolare a una e parallela all'altra

Sulla sfera si riescono ad avere 3 circonferenze massime che hanno angoli di 90°

Sfera

Piana

3 linee parallele tra loro

Nel piano 2 semirette che partono da un punto in comune non si incontrano mai, mentre nella sfera 2 archi di circonferenza massima si incontrano in una coppia di punti opposti e formano un bilatero

Bilatero

Sulla sfera si possono creare dei poligoni che sul piano sono impossibili, come un poligono a 2 lati

HA 2 angoli congruenti

I 2 lati sono linghi 180°

3 linee

3 linee rette sul piano formano 6 regioni ILLIMITATE. Sulla sfera, invece, si formano 6 regioni LIMITATE

Area

Triangoli sferici

Unendo 3 circonferenze massime si possono creare 2 triangoli sferici.

Sfera

In tutti i casi gli angoli rimangono con somma di 180°

Poligoni

Sfera

Mentre sula sfera la somma varia da 180° a 540°. 180° si hanno quando 2 angoli sono vicini allo 0 mentre l'altro è vicino al 180°. mentre 540° si ha quando tutti gli angoli sono di 180° ovvero i lati appartendono tutti a una circonferenza massima

Poligoni

Per tutti gli altri poligoni sulla sfera per trovare la somma massima dei lati di deve fare 180° * numero di lati, mentre per trovare il valore minore si deve fare 180° * (numero di lati - 2)

Se per fare i triangoli si usano circonferenze massime si fomano 2 triangoli opposti, per calcolare l'area si inizia sommando l'area dei bilateri chesi sono formati meno l'area della sfera( che si calcola con 4*π*raggio) tutto diviso 4. Si usa questa formula perché quando si sommano i bilateri ci sono delle parti che si ripetono.

Calcolare l'area