I quadrilateri. Presentazione di Federica Mannaro

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I QUADRILATERI

presentazone di Federica Mannaro 2D

I quadrilateri sono figure geometriche piane, chiuse e formate da quattro lati e quattro angoli. Hanno 2 diagonali e la somma degli angoli interni è sempre 360°.

A

B

C

D

I Quadrilateri definzione

• i lati AB e CD; i lati AD e BC
• gli angoli A e C; gli angoli D e B

Si dicono opposti:

Il Parallelogramma

Un parallelogramma è un quadrilatero in cui i lati opposti sono paralleli e congruenti.Le sue principali proprietà sono:1. gli angoli opposti sono congruenti;2. gli angoli adiacenti sono supplementari;3. le diagonali si intersecano nel loro punto medio.

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A

B

C

D

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AB//CDBC//AD

· gli angoli A e B sono supplementari;· gli angoli A e C cono congruenti.

Condizioni necessarie

1. In un parallelogramma i lati opposti sono congruentiDisegnamo la diagonale AC. I triangoli ABC e ADC hanno:·AC in comune;·poichè AB//CD e AC è una trasversale, gli angoli alterni interni BAC e ACD sono congruenti, analogamente poichè AD//BC anche gli angoli CAD e BCA sono congruenti.I triangoli sono congruenti per il secondo criterio. In particolare AB=CD e AD=BC

2. In un parallelogramma gli angoli opposti sono congruentiDisegnamo la diagonale AC. I triangoli ABC e ADC hanno.·AC in comune;·poichè AD//BC, AB//CD e AC è una trasversale, gli angoli alterni interni CAD e BCA sono congruenti e anche BAC e ACD sono congruenti;·gli angoli BAD e BCD sono congruenti in quanto somme di angoli congruenti.In particolare gli angoli ABC e ADC sono congruenti

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A

B

C

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A

B

C

D

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3. In un parallelogramma le diagonali si tagliano a metàDisegniamo le diagonali AC e BD che si intersecano nel punto M. I triangoli AMB e DMC hanno:·AB è congruente a CD perchè lati opposti del parallelogramma;·gli angoli ABM e CDM sono congruenti perchè angoli alterni interni;·gli angoli BAM e DCM sono congruenti perchè angoli alterni interni.I triangoli AMB e CMD sono congruenti per il secondo criterio. In particolare AM è congruente a MC e BM è congruente a MD

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A

B

C

D

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M

Condizioni sufficienti

1. Se un quadrilatero ha i lati opposti congruenti, è un parallelogramma Tracciamo BD. I triangoli ABD e BDC hanno:·BD in comune;·AB congruente a CD per ipotesi;·AD congruente a BC per ipotesi.I triangoli sono congruenti per il terzo criterio. In particolare:·gli angoli ABD e BDC sono congruenti, da cui AB//CD;·gli angoli BDA e DBC sono congruenti, da cui AD//BC.ABCD ha i lati opposti paralleli, quindi è un parallelogramma

2. Se un quadrilatero ha gli angoli opposti congruenti, è un parallelogrammaLa somma degli angoli interni di un quadrilatero è congruente a 2 angoli piatti.A+B+C+D=360·A+B è congruente a C+B perchè somme di angoli congruenti, quindi A+B=180 da cui BC//AD e C+B=180 da cui AB//CDBC//AD e AB//CD, quindi ABCD è un parallelogramma

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A

B

C

D

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ipotesi:AB=CDAD=BC

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A

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C

D

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3. Se un quadrilatero ha le diagonali che si taglliano a metà, è un parallelogramma I triangoli AMD e BMC hanno:·AM congruente a MC per ipotesi;·BM congruente a MD per ipotesi;·l'angolo AMD congruente a BMC perchè angoli opposti al vertice.I triangoli sono congruenti per i primo criterio. In particolare:· l'angolo MDA è congruente a MBC da cui AD//BC;· l'angolo BAM ècongruente a MCD da cui AB//CD.Avendo i lati opposti paralleli, ABCD è un parallelogramma

4. Se un quadrilatero ha due lati paralleli e congruenti, è un parallelogrammaTracciamo AC. I triangoli ABC e ACD hanno:·AB congruente a CD per ipotesi;·l'angolo BAC congruente a ACD perchè angoli alterni interni;·AC in comune.I triangoli sono congruenti per il primo criterio. In particolare:·l'angolo BCA è congruente a CAD da cui BC//AD.Avendo i lati opposti paralleli, ABCD è un parallelogramma

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A

B

C

D

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M

ipotesi:AM=MCBM=MD

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A

B

C

D

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ipotesi:AB//CDAB=CD