Presentación Deportes Extremos

Marcos Daniel Gomez Perez 23240008itzel guadalupe saavedra hernandez 23240033

• Campo Escalar
• Campo Vectorial
• Operador Nabla
• Derivada Direccional
• Gradiante
• Propiedades Gradiante
• Rotacional del Campo Vectorial
• Divergencia del Campo Vectorial

Presentacion Calculo

Zair Rodriguez Garcia 23240083angel raciel Benitez Garcia 23240007

Campo Escalar en una Placa de Metal (Temperatura): En una placa rectangular, la temperatura varía según ϕ ( x , y ) = 10 − x 2 − y 2 ϕ(x,y)=10−x 2 −y 2 . Esto describe un punto central caliente ( x = 0 , y = 0 x=0,y=0) y temperaturas decrecientes hacia los bordes. Campo Escalar de Gravedad en 3D: El potencial gravitacional alrededor de un planeta es ϕ ( x , y , z ) = − G M x 2 + y 2 + z 2 ϕ(x,y,z)=− x 2 +y 2 +z 2​GM​, donde G G es la constante gravitacional y M M la masa del planeta. Este campo escalar es útil para calcular fuerzas gravitacionales.

Ejemplos de Campos Escalares

Donde n es la dimensión del espacio y ϕ representa el campo escalar.

ϕ:R n →R,ϕ(x,y,z,…)=valor escalar

Matemáticamente, un campo escalar se expresa como:

Campo Escalar

Un campo escalar es una función que a cada punto del espacio le asigna un valor de una magnitud escalar, definida por un número (su magnitud) con su signo, y su unidad. Suponga que a cada punto (x, y, z) de una región en el espacio le corresponde un número (escalar) Φ(x, y, z). Entonces Φ se denomina función escalar de posición, y decimos que se ha definido un campo escalar Φ.

Este modelo describe cómo un objeto masivo genera un campo gravitacional, con vectores que apuntan hacia el origen y cuya magnitud disminuye con la distancia.

Campo gravitacional (aproximación 2D):F(x,y)= (x 2 +y 2 ) 3/2 −x i ^ −y j ^​​

F(x,y)=2 i ^

Flujo uniforme hacia la derecha: F ( x , y ) = 2 i ^

F(x,y,z)=P(x,y,z) i ^ +Q(x,y,z) j ^​+R(x,y,z) k ^

Este campo vectorial representa un flujo constante en la dirección positiva del eje x, independientemente de la posición y

Ejemplos con interpretación

Los campos vectoriales se utilizan en física e ingeniería para modelar fenómenos como flujos de fluidos, campos eléctricos y magnéticos, y fuerzas en dinámica

donde P ( x , y ) P(x,y) y Q ( x , y ) Q(x,y) son funciones escalares que dependen de las coordenadas x x e y y, y i ^ i ^ y j ^ j ^​son los vectores unitarios en las direcciones x x e y y, respectivamente. En 3D, se generaliza a:

F(x,y)=P(x,y) i ^ +Q(x,y) j ^

Campo Vectorial

Un campo vectorial es una función que asocia un vector a cada punto en un espacio (puede ser el plano 2D o el espacio 3D). Matemáticamente, un campo vectorial en 2D se expresa como:

Temperatura en una Ciudad: Supongamos que tienes una función 𝑇 ( 𝑥 , 𝑦 ) que representa la temperatura en una ciudad en función de las coordenadas ( 𝑥 , 𝑦 ) . Si quieres saber cómo cambia la temperatura si te mueves hacia el norte, usarías la derivada direccional. Si el vector unitario en la dirección norte es 𝑢 = ( 0 , 1 ) , la derivada direccional te indicará si la temperatura aumenta o disminuye al moverte hacia el norte y a qué velocidad.

Superficie Montañosa: Imagina que estás en una montaña y tienes una función 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) que representa la altura de la montaña en cualquier punto ( 𝑥 , 𝑦 ) . Si quieres saber cómo cambia la altura si te mueves en una dirección específica, como hacia el noreste, usarías la derivada direccional. Si el vector unitario en la dirección noreste es 𝑢 = ( 1 2 , 1 2 ) , la derivada direccional te dirá si la montaña se eleva o desciende en esa dirección y a qué ritmo.

Ejemplos:

Derivada Direccional

La derivada direccional mide la tasa de cambio de una función escalar f ( x , y , z ) en la dirección de un vector dado. Es una extensión del concepto de derivada que considera no solo cambios en los ejes coordenados, sino también en cualquier dirección arbitraria.

donde: ∇ f ( x , y , z ) es el gradiente de la función f. u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) es un vector unitario que define la dirección. El producto escalar ⋅ implica

son las derivadas parciales respecto a las coordenadas 𝑥, y, 𝑧.

donde:

Operador Nabla

El operador nabla (denotado como ∇) es un operador vectorial fundamental en cálculo vectorial. Se utiliza para describir varios conceptos clave en física y matemáticas, como el gradiente, la divergencia y el rotacional, dependiendo de cómo se aplique a una función o campo. El operador nabla se representa como:

en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales. Es como un "vector" cuyos componentes son derivadas parciales con respecto a las coordenadas espaciales.

GRADIANTE

un gradiente se refiere a un vector que representa la dirección y la magnitud de la mayor tasa de cambio de una función en un punto dado. En términos más simples, el gradiente te indica la dirección en la que debes moverte para aumentar (o disminuir) más rápidamente el valor de una función. Matemáticamente, si tienes una función 𝑓(x,y), su gradiente se denota como ∇𝑓 se calcula como

En pocas palabras, el gradiente te da una "brújula" de cómo la función cambia en su punto más rápido. El gradiente de una función f que se denota como ∇𝑓 es la colección de todas las derivadas parciales en forma de vector. Definición:

El vector gradiente en un punto es normal a la curva de nivel correspondiente a ese punto.

La dirección de máximo decrecimiento de f en el punto (a,b) viene dada por −∇f(a,b). El valor mínimo de la derivada direccional es −|∇f(a,b)|.

Propiedades del gradiente

Si z=f(x,y) es una función de dos variables se define el gradiente de f en el punto (a,b) como el vector:

La dirección de máximo crecimiento de f en el punto (a,b) viene dada por ∇f(a,b). El valor máximo de la derivada direccional es |∇f(a,b)|.

Rotacion de campo vectorial

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un intervalo abierto de R 3 {R} ^{3}} que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Aquí, Δ S es el área de la superficie apoyada en la curva C {, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a Δ S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

Por tanto, la divergencia en r=0 es

El volumen de este cubo es:

En el artículo sobre flujo de un campo vectorial se ve que si consideramos una superficie cúbica de arista 2𝑎 en torno al origen de coordenadas, el flujo del vector de posición a través de esta superficie es

Vamos a calcular la divergencia de A=r en r =0.

Divergencia de un campo vectorial

Se define la divergencia de un campo vectorial 𝐴 en un punto 𝑟 como el límite

donde el límite se toma sobre volúmenes τ cada vez más pequeños que tienden al punto r La divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar. Esta cantidad es independiente de la sucesión de volúmenes que se tomen con tal de que converjan en el mismo punto de manera uniforme.