report sugli insiemi - francesco merlino

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Francesco Merlino

RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA

Ad un'azienda di alimentari vengono proposti tre nuovi reparti produzione in cui cimentarsi: cibi vegani, sughi pronti e bibite gassate.In seguito alle votazioni dei 20 responsabili della produzione è sorto che:

• 7 hanno votato il reparto produzione cibi vegani
• 7 hanno votato il reparto produzione sughi pronti
• 5 hanno votato il reparto produzione bibite gassate
• 2 hanno votato il reparto produzione cibi vegani e sughi pronti, ma non il reparto delle bibite gassate
• 1 ha votato il reparto produzione bibite gassate e cibi vegani, ma non il reparto dei sughi pronti
• 2 hanno votato bibite gassate e sughi pronti

Calcola il numero di responsabili che si sono astenuti dalle votazioni...

PRIMO PASSAGGIO

Il primo passaggio sarà quello di individuare gli insiemi e rappresentarli,possiamo quindi chiamare:

• A l'insieme dei responsabili che hanno votato il reparto produzione cibi vegani
• B l'insieme dei responsabili che hanno votato il reparto produzione sughi pronti
• C l'insieme dei responsabili che hanno votato il reparto produzione bibite gassate

Ecco le rappresentazioni dei seguenti insiemi tramite i diagrammi di Eulero-Venn

A B C

SECONDO PASSAGGIO

Dopo aver determinato gli insiemi dobbiamo trovare la loro seguente cardinalità, nonchè il numero di elementi presenti in esso:

• |A| = 7
• |B| = 7
• |C| = 5
• |(A⋂B) - C| = 2
• |(C⋂A) - B| = 1
• |C⋂B| = 2

I numeri negli insiemi non indicano gli elementi ma il loro numero, cioè la loro cardinalità. Da qui, avendo le intersezioni, ci basta solo calcolare i dati mancanti: 8 - 2 - 1 = 5 7 - 2 - 2 = 3 5 - 2 - 1 = 2

TERZO PASSAGGIO

Per rispondere al nostro quesito e trovare il numero di responsabili che si sono astenuti al voto ci basta sottrarre dal totale tutte le cardinalità ottenute dall'insieme: 20 - (4-2-1-3-2-2) = 6

RIEPILOGO TEORICO

Dal punto che non tutte le nozioni sugli insiemi sono state utilizzate nell'esercizio prova ecco alcuni richiami teorici veloci e sintetici: 1) Che cos'è un insieme

• Insieme: Un insieme è una raccolta di oggetti (detti elementi) che possiedono una proprietà comune.
• Elementi: Gli oggetti che compongono l'insieme. Si denotano solitamente con lettere minuscole (ad esempio, 𝑎, 𝑏, 𝑐)
• Cardinalità: La cardinalità di un insieme è il numero di suoi elementi. Se l'insieme ha un numero finito di elementi, si dice che è un insieme finito; se ha un numero infinito di elementi, è un insieme infinito.
• Insieme vuoto: L'insieme che non contiene alcun elemento, denotato con ∅.

RIEPILOGO TEORICO

2) Le rappresentazioni di un insieme

• Grafica: Gli insiemi possono essere rappresentati graficamente, ad esempio mediante diagrammi di Venn.
• Per elencazione: L'insieme viene scritto elencando i suoi elementi tra parentesi graffe. Ad esempio, A={1,2,3}.
• Per la proprietà caratteristica: L'insieme è descritto mediante una proprietà che devono soddisfare i suoi elementi. Ad esempio, B={x∈N∣x è pari}, descrive l'insieme dei numeri naturali pari.

RIEPILOGO TEORICO

3) I sottoinsiemi

• Sottoinsieme: Un insieme B è un sottoinsieme di un insieme A se ogni elemento di B è anche un elemento di A, indicato con B⊆A.
• Inclusione stretta: Un insieme B è incluso strettamente in un insieme A se ogni elemento di B è anche un elemento di A, ma esistono elementi di A che non sono elementi d B, viene indicato con B⊂A.
• Sottoinsieme proprio: È un sottoinsieme che non coincide con l'insieme in cui è contenuto.
• Sottoinsieme improprio: È il caso in cui A=B, cioè l'insieme è un sottoinsieme di se stesso.

RIEPILOGO TEORICO

4)Operazioni con gli insiemi

• Intersezione: L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono ad entrambi, denotato da A ∩ B.
• Disgiunzione: Due insiemi sono disgiunti se non hanno elementi in comune, cioè A ∩ B = ∅.
• Unione: L'unione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono almeno a uno dei due insiemi, denotato da A ∪ B.
• Differenza: La differenza tra due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono a A ma non a B, denotato da A − B.

RIEPILOGO TEORICO

1. Prodotto cartesiano di un insieme

• Prodotto cartesiano: Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B, denotato da A×B, è l'insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) dove a ∈ A e b ∈ B. Ad esempio, A={1,2} e B={x,y}, allora A×B={(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}.

grazie della vostra attenzione

Francesco Merlino