Presentación Esencial

Ecuaciones de Bessel, Legendre y la ecuación hipergeométrica

ecuaciones diferenciales Jair Garza BNL103220

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¡Vamos!

Y las soluciones de la ecuación de Bessel se establecen de acuerdo a los siguientes casos:

Donde las funciones Jv(x) y J-v(x) se les conoce como funciones de Bessel de primera clase o de primera especie.

Si v≥0, entonces, la serie converge en el intervalo [0, ∞). Entonces para el segundo exponente r2 = -v, se obtiene:

Dicha solución se representa por:

Ahora bien, si se considera c2n y r1 = v una solución en forma de serie de potencias de la ecuación estará dada por:

Para resolver esta ecuación se supone que v≥0, como x = 0 representa un punto singular de la ecuación, entonces, existe al menos una solución de la forma:

Ecuación de Bessel

La ecuacion diferencial de Bessel se representa por:

Como se presentó, la suma de los polinomios va formando más curvas cada vez que aumenta el valor de n.

Los polinomios de Legendre se podrían visualizar de manera gráfica, a continuación se muestra cómo.

Donde los primeros cuatro polinomios de Legendre estarán dados por:

Donde la solución de la ecuación diferencial se establece a través de los polinomios de Legendre.

Ecuación de Legendre

La ecuación de Legendre se representa de la forma:

Es importante destacar que la funciones hipergeométricas son generalizaciones de las series geométricas. Por ejemplo:

Entonces, la solución representa la función hipergeométrica de Gauss, la cual se puede escribir como:

Esta ecuación tiene dos puntos singulares en x = 0 y x = 1. Y la solución está dada por:

Fue introducida por Gauss con la finalidad de encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales a través de series de potencias y se representa como:

Ecuacion hipergeometrica