Presentación Esencial

Ecuaciones de Bessel, Legendre y la ecuación hipergeométrica

ecuaciones diferenciales Jair Garza BNL103220

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¡Vamos!

Ecuación de Bessel

La ecuacion diferencial de Bessel se representa por:

Para resolver esta ecuación se supone que v≥0, como x = 0 representa un punto singular de la ecuación, entonces, existe al menos una solución de la forma:

Y las soluciones de la ecuación de Bessel se establecen de acuerdo a los siguientes casos:

Ahora bien, si se considera c2n y r1 = v una solución en forma de serie de potencias de la ecuación estará dada por:

Si v≥0, entonces, la serie converge en el intervalo [0, ∞). Entonces para el segundo exponente r2 = -v, se obtiene:

Dicha solución se representa por:

Donde las funciones Jv(x) y J-v(x) se les conoce como funciones de Bessel de primera clase o de primera especie.

Ecuación de Legendre

Donde los primeros cuatro polinomios de Legendre estarán dados por:

La ecuación de Legendre se representa de la forma:

Los polinomios de Legendre se podrían visualizar de manera gráfica, a continuación se muestra cómo.

Donde la solución de la ecuación diferencial se establece a través de los polinomios de Legendre.

Como se presentó, la suma de los polinomios va formando más curvas cada vez que aumenta el valor de n.

Ecuacion hipergeometrica

Fue introducida por Gauss con la finalidad de encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales a través de series de potencias y se representa como:

Es importante destacar que la funciones hipergeométricas son generalizaciones de las series geométricas. Por ejemplo:

Esta ecuación tiene dos puntos singulares en x = 0 y x = 1. Y la solución está dada por:

Entonces, la solución representa la función hipergeométrica de Gauss, la cual se puede escribir como: