Violeta Jurado Contreras, presentación matemáticas

Triangulo de Pascal

Violeta Jurado Contreras

Un poquito de historia

El triángulo de Pascal, es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo las conocieron matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos. Fué Pascal el primero en organizar toda la información de manera conjunta y desarrolló muchas de sus aplicaciones en 1654. En Italia se le conoce como el triángulo de Tartaglia en honor a un famoso matemático de ese país, autodidacta, pobre y tartamudo, que en el S.XVI también trabajó sobre el triángulo.

Cada número en el triángulo es la suma de los dos números directamente arriba de él.

¿Qué es?

El triángulo de Pascual es una secuencia triangular de números enteros que comienza con un 1 en el vértice superior y se expande hacia abajo con números calculados a partir de los números de la fila superior.

Aquí puedes incluir un dato relevante a destacar

¿Cómo se calcula?

AB - AC - AD - BC - BD - CD

Ej: en un conjunto de 4 letras: A,B,C,D cogiendo 2 cualesquiera que sean diferentes hay que mirar la fila 5 y la columna 3 del triángulo para descubrir que hay 6 posibles combinaciones.

Los coeficientes del triángulo de Pascal representan el número de combinaciones de k elementos dentro de un conjunto de n elementos en total. Deberíamos mirar la fila n+1 y la columna k+1.

3.-Interpretación combinatoria

Ej: Si se lanza una moneda tres veces, la cuarta fila (1, 3, 3, 1) puede representar las probabilidades de obtener 0, 1, 2 o 3 caras, respectivamente.

Especialmente cuando se trata de eventos binarios como lanzamientos de monedas repetidos varias veces.

- Exponentes mayores: (a+b)4= 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

- Identidades notables: (a+b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a-b)2=1a2 - 2ab + 1b2

Cada fila proporciona los coeficientes para la expansión de un binomio elevado a una potencia n, simplificando el proceso de expansión. Concretamente llamamos Binomio de Newton a (a+b)n y para expandirlo simplemente se mira la fila n+1 en el Triángulo de Pascal. Los números en esa fila serán los coeficientes de la expansión.

2.-Herramientas en probabilidad

¿Para qué sirve?

1.-Expansión Binomial

Relación de Cardano-Vieta

Violeta Jurado Contreras

Un poco de historia

El francés Francois Viete y el italiano Gerolamo Cardano fueron dos matemáticos renacentistas del siglo XVI a los que se considera entre los precursores del álgebra moderna. Curiosamente, Cardano tuvo una enorme controversia con Tartaglia, un matemático al que ya conocemos, acerca de la autoría de una fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado.

Y aplicada al caso de un polinomio de segundo grado P(x) = a2x2 + a1x + a0 = ax2 + bx + c cuyas raíces fueran x1 y x2 quedaría como:

Si un polinomio P(x) = anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0 tiene por raíces x1,x2,...,xn, se cumplirá que:

¿Para qué sirve?

¿Qué es?

La Relación de Cardano-Vieta establece una relación entre los coeficientes de un polinomio y las raíces del mismo.

Luego x1 = 2 y x2 = 1 / 2

x1 · x2 = 2 / 2 = 1

x1 + x2 = - (-5) / 2 = 5 / 2

2)Resolver la ecuación 2x2 - 5x + 2 = 0 donde a = 2, b = -5 y c = 2 se tendría:

Luego x1 = 1 y x2 = 2

x1 · x2 = 2 / 1 = 2

x1 + x2 = - (-3) / 1 = 3

1)Resollver la ecuación x2 - 3x + 2 = 0 donde a = 1, b = -3 y c = 2 se tendría:

x1·x2 = c / a

x1 + x2 = - b / a

¿Para qué sirve?

Puede utilizarse para resolver ecuaciones como puede verse en los siguientes ejemplos:

Resolución de ecuaciones 2º grado

El polinomio sería: 4x2 - 12x - 40

5·(-2) = c / 4 → -10 = c / 4 → c = - 40

5 + (-2) = -b / 4 → 3 = -b / 4 → -b = 12 → b = -12

2)Encontrar el polinomio que tiene por raíces x1 = 5 y x2 = -2 sabiendo que a = 4 y nos quedaría:

4·(-6) = c → c = -24

4 + (-6) = -b → -2 = -b → b = 2

1)Encontrar un polinomio que tenga por raíces x1 = 4 y x2 = -6. Podemos considerar a = 1 y nos quedaría:

x1·x2 = c / a

x1 + x2 = - b / a

¿Para qué sirve?

Puede utilizarse también para obtener polinomios a partir de sus raíces como vemos a continuación

Obtención de polinomios

¡Espero que hayas aprendidomucho!

Violeta Jurado Contreras4ESO C

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