Triangulo de Pascal
Violeta Jurado Contreras
Un poquito de historia
El triángulo de Pascal, es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo las conocieron matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos. Fué Pascal el primero en organizar toda la información de manera conjunta y desarrolló muchas de sus aplicaciones en 1654.
En Italia se le conoce como el triángulo de Tartaglia en honor a un famoso matemático de ese país, autodidacta, pobre y tartamudo, que en el S.XVI también trabajó sobre el triángulo.
Aquí puedes incluir un dato relevante a destacar
¿Qué es?
El triángulo de Pascual es una secuencia triangular de números enteros que comienza con un 1 en el vértice superior y se expande hacia abajo con números calculados a partir de los números de la fila superior.
¿Cómo se calcula?
Cada número en el triángulo es la suma de los dos números directamente arriba de él.
¿Para qué sirve?
2.-Herramientas en probabilidad
1.-Expansión Binomial
Especialmente cuando se trata de eventos binarios como lanzamientos de monedas repetidos varias veces.
Cada fila proporciona los coeficientes para la expansión de un binomio elevado a una potencia n, simplificando el proceso de expansión. Concretamente llamamos Binomio de Newton a (a+b)n y para expandirlo simplemente se mira la fila n+1 en el Triángulo de Pascal. Los números en esa fila serán los coeficientes de la expansión.
Ej: Si se lanza una moneda tres veces, la cuarta fila (1, 3, 3, 1) puede representar las probabilidades de obtener 0, 1, 2 o 3 caras, respectivamente.
3.-Interpretación combinatoria
Los coeficientes del triángulo de Pascal representan el número de combinaciones de k elementos dentro de un conjunto de n elementos en total. Deberíamos mirar la fila n+1 y la columna k+1.
- Identidades notables: (a+b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a-b)2=1a2 - 2ab + 1b2
Ej: en un conjunto de 4 letras: A,B,C,D cogiendo 2 cualesquiera que sean diferentes hay que mirar la fila 5 y la columna 3 del triángulo para descubrir que hay 6 posibles combinaciones.
- Exponentes mayores:
(a+b)4= 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
AB - AC - AD - BC - BD - CD
Relación de Cardano-Vieta
Violeta Jurado Contreras
Un poco de historia
El francés Francois Viete y el italiano Gerolamo Cardano fueron dos matemáticos renacentistas del siglo XVI a los que se considera entre los precursores del álgebra moderna. Curiosamente, Cardano tuvo una enorme controversia con Tartaglia, un matemático al que ya conocemos, acerca de la autoría de una fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado.
¿Qué es?
La Relación de Cardano-Vieta establece una relación entre los coeficientes de un polinomio y las raíces del mismo.
¿Para qué sirve?
Si un polinomio P(x) = anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0 tiene por raíces x1,x2,...,xn, se cumplirá que:
Y aplicada al caso de un polinomio de segundo grado P(x) = a2x2 + a1x + a0 = ax2 + bx + c cuyas raíces fueran x1 y x2 quedaría como:
¿Para qué sirve?
Puede utilizarse para resolver ecuaciones como puede verse en los siguientes ejemplos:
Resolución de ecuaciones 2º grado
x1 + x2 = - b / a
x1·x2 = c / a
1)Resollver la ecuación x2 - 3x + 2 = 0 donde a = 1, b = -3 y c = 2 se tendría:
x1 + x2 = - (-3) / 1 = 3
x1 · x2 = 2 / 1 = 2
Luego x1 = 1 y x2 = 2
2)Resolver la ecuación 2x2 - 5x + 2 = 0 donde a = 2, b = -5 y c = 2 se tendría:
x1 + x2 = - (-5) / 2 = 5 / 2
x1 · x2 = 2 / 2 = 1
Luego x1 = 2 y x2 = 1 / 2
¿Para qué sirve?
Puede utilizarse también para obtener polinomios a partir de sus raíces como vemos a continuación
Obtención de polinomios
x1 + x2 = - b / a
x1·x2 = c / a
1)Encontrar un polinomio que tenga por raíces x1 = 4 y x2 = -6.
Podemos considerar a = 1 y nos quedaría:
4 + (-6) = -b → -2 = -b → b = 2
4·(-6) = c → c = -24
2)Encontrar el polinomio que tiene por raíces x1 = 5 y x2 = -2 sabiendo que a = 4 y nos quedaría:
5 + (-2) = -b / 4 → 3 = -b / 4 → -b = 12 → b = -12
5·(-2) = c / 4 → -10 = c / 4 → c = - 40
El polinomio sería: 4x2 - 12x - 40
¡Espero que hayas aprendidomucho!
Violeta Jurado Contreras4ESO C
Escribe un título genial aquí
La contenido visual es un lenguaje transversal y universal, al igual que la música. Somos capaces de entender imágenes de millones de años atrás, incluso de otras culturas. No nos gusta aburrir. No queremos ser repetitivos. Lo hacemos de manera diferente. Saboteamos el aburrimiento. Creamos lo que el cerebro gusta consumir porque lo estimula.
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Violeta Jurado Contreras, presentación matemáticas
Violeta Jurado Contreras
Created on November 23, 2024
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Triangulo de Pascal
Violeta Jurado Contreras
Un poquito de historia
El triángulo de Pascal, es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo las conocieron matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos. Fué Pascal el primero en organizar toda la información de manera conjunta y desarrolló muchas de sus aplicaciones en 1654. En Italia se le conoce como el triángulo de Tartaglia en honor a un famoso matemático de ese país, autodidacta, pobre y tartamudo, que en el S.XVI también trabajó sobre el triángulo.
Aquí puedes incluir un dato relevante a destacar
¿Qué es?
El triángulo de Pascual es una secuencia triangular de números enteros que comienza con un 1 en el vértice superior y se expande hacia abajo con números calculados a partir de los números de la fila superior.
¿Cómo se calcula?
Cada número en el triángulo es la suma de los dos números directamente arriba de él.
¿Para qué sirve?
2.-Herramientas en probabilidad
1.-Expansión Binomial
Especialmente cuando se trata de eventos binarios como lanzamientos de monedas repetidos varias veces.
Cada fila proporciona los coeficientes para la expansión de un binomio elevado a una potencia n, simplificando el proceso de expansión. Concretamente llamamos Binomio de Newton a (a+b)n y para expandirlo simplemente se mira la fila n+1 en el Triángulo de Pascal. Los números en esa fila serán los coeficientes de la expansión.
Ej: Si se lanza una moneda tres veces, la cuarta fila (1, 3, 3, 1) puede representar las probabilidades de obtener 0, 1, 2 o 3 caras, respectivamente.
3.-Interpretación combinatoria
Los coeficientes del triángulo de Pascal representan el número de combinaciones de k elementos dentro de un conjunto de n elementos en total. Deberíamos mirar la fila n+1 y la columna k+1.
- Identidades notables: (a+b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 (a-b)2=1a2 - 2ab + 1b2
Ej: en un conjunto de 4 letras: A,B,C,D cogiendo 2 cualesquiera que sean diferentes hay que mirar la fila 5 y la columna 3 del triángulo para descubrir que hay 6 posibles combinaciones.
- Exponentes mayores: (a+b)4= 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
AB - AC - AD - BC - BD - CD
Relación de Cardano-Vieta
Violeta Jurado Contreras
Un poco de historia
El francés Francois Viete y el italiano Gerolamo Cardano fueron dos matemáticos renacentistas del siglo XVI a los que se considera entre los precursores del álgebra moderna. Curiosamente, Cardano tuvo una enorme controversia con Tartaglia, un matemático al que ya conocemos, acerca de la autoría de una fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado.
¿Qué es?
La Relación de Cardano-Vieta establece una relación entre los coeficientes de un polinomio y las raíces del mismo.
¿Para qué sirve?
Si un polinomio P(x) = anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0 tiene por raíces x1,x2,...,xn, se cumplirá que:
Y aplicada al caso de un polinomio de segundo grado P(x) = a2x2 + a1x + a0 = ax2 + bx + c cuyas raíces fueran x1 y x2 quedaría como:
¿Para qué sirve?
Puede utilizarse para resolver ecuaciones como puede verse en los siguientes ejemplos:
Resolución de ecuaciones 2º grado
x1 + x2 = - b / a
x1·x2 = c / a
1)Resollver la ecuación x2 - 3x + 2 = 0 donde a = 1, b = -3 y c = 2 se tendría:
x1 + x2 = - (-3) / 1 = 3
x1 · x2 = 2 / 1 = 2
Luego x1 = 1 y x2 = 2
2)Resolver la ecuación 2x2 - 5x + 2 = 0 donde a = 2, b = -5 y c = 2 se tendría:
x1 + x2 = - (-5) / 2 = 5 / 2
x1 · x2 = 2 / 2 = 1
Luego x1 = 2 y x2 = 1 / 2
¿Para qué sirve?
Puede utilizarse también para obtener polinomios a partir de sus raíces como vemos a continuación
Obtención de polinomios
x1 + x2 = - b / a
x1·x2 = c / a
1)Encontrar un polinomio que tenga por raíces x1 = 4 y x2 = -6. Podemos considerar a = 1 y nos quedaría:
4 + (-6) = -b → -2 = -b → b = 2
4·(-6) = c → c = -24
2)Encontrar el polinomio que tiene por raíces x1 = 5 y x2 = -2 sabiendo que a = 4 y nos quedaría:
5 + (-2) = -b / 4 → 3 = -b / 4 → -b = 12 → b = -12
5·(-2) = c / 4 → -10 = c / 4 → c = - 40
El polinomio sería: 4x2 - 12x - 40
¡Espero que hayas aprendidomucho!
Violeta Jurado Contreras4ESO C
Escribe un título genial aquí
La contenido visual es un lenguaje transversal y universal, al igual que la música. Somos capaces de entender imágenes de millones de años atrás, incluso de otras culturas. No nos gusta aburrir. No queremos ser repetitivos. Lo hacemos de manera diferente. Saboteamos el aburrimiento. Creamos lo que el cerebro gusta consumir porque lo estimula.
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