El cifrado de Hill (criptografía con matrices)

CRIPTOGRAFÍA

eL CIFRADO DE HILL

El uso del álgebra lineal (matrices) en el cifrado de mensajes.

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

Este método fue inventado por el matemático norteamericano Lester S. Hill en 1929. Vamos a intentar explicarlo mediante una serie de pasos previos. Para entender este procedimiento criptográfico, debemos recordar la congruencia de números, y el producto de matrices. Además debemos explicar el cálculo de matriz inversa y el método de resolver ecuaciones matriciales.

paso 1:

Se asocia cada letra del abecedario con un número. En este ejemplo vamos a usar números comprendidos entre 0 y 26: TABLA ALFANUMÉRICA También se pueden incluir símbolos como el espacio entre palabras, comas, puntos, …

Viendo este cuadro, cualquier otro resultado numérico que no esté en la tabla (mayores de 26, negativos,…) se tendrá que convertir con el (mod 27) usando las congruencias numéricas. Vamos a practicar para recordar cómo se operaba: Ejercicio 1: Realiza las siguientes operaciones con mod 27: a) [13+23 ](mod27) b) [9-21](mod27) c) [2.(-3)](mod27) d) [3.21-4.20](mod27)e) (1/5)(mod27) (3/11)(mod27)

paso 1

RECORDAR el uso de las congruencias

PASO 2:

Este cifrado usa las matrices cuadradas A de orden n como MATRIZ CLAVE, cuya transformación equivale a la ecuación Y=A.X, donde los matrices Y y X son matrices columnas. Veamos el siguiente ejemplo: Elegimos la matriz clave de orden 2 (para que sean más sencillos los cálculos): y las matrices columnas con dos filas: La elección de que sean matrices columnas se debe a que se tiene que poder realizar la operación con matrices Y=A.X. Veamos el siguiente vídeo y así, recordaremos todo esto de nuevo....

PASO 2:

Realizamos la transformación lineal, es decir, efectuamos la operación A.X:

A continuación, vamos a ver quién es X y quién será Y. Para ello, debes inventarte el mensaje original que vas a enviar, por ejemplo, ESTALMAT. A continuación, cifrar (CONVERTIR LETRAS EN NÚMEROS) el mensaje con la tabla alfanumérica anterior. El resultado sería: 4 19 20 0 11 12 0 20 Repartimos el mensaje numérico anterior en matrices columnas 2x1 (serán las X de nuestra ecuación matricial), por ejemplo la primera matriz columna sería:

Como en la matriz Y, existen números mayores de 27, usamos las congruencias para reducirlo: 42=15(mod27). Por lo tanto, la matriz transformada es

Volvemos a usar la tabla alfanumérica para transformar las números en letras: OW.

Ejercicio 2:¿Repetimos el procedimiento con todas las parejas que faltan?

paso 3

Vamos a recordar lo que significa "matriz inversa" y "matriz identidad"

paso 3 (cálculo de matriz inversa)

MÉTODO 1: Realizamos el mismo razonamiento que anteriormente. Como no la conocemos la llamamos:

Karl Friedrich GausSEL PRÍNCIPE DE LAS MATEMÁTICAS

VAMOS A EXPLICARLO MEJOR AQUÍ

PASO 3 (CÁLCULO DE MATRIZ INVERSA)

Método 2: MÉTODO DE GAUSS

Ejercicio 3: A) Calcula la matriz X en el ejercicio del vídeo. B) Repite el procedimiento en la ecuación: X.A-2C=-B

pASO 3: ECUACIONES MATRICIALES

Vamos a explicar cómo se usa la matriz INVERSA. Imaginemos que tenemos una ecuación donde todos los elementos que aparecen son matrices cuadradas de orden 2:A.X+B=C, siendo: ¿Cómo podemos averiguar la matriz X? Escucha la explicación de cómo se puede hacer.

Tendríamos el mensaje completo, lo separamos de dos en dos, por ejemplo OW y le adjudicamos con la tabla original los valores numéricos correspondientes:

paso 4: Descifrando el mensaje

Retomando el paso donde se recibe el mensaje cifrado, realmente nos ha llegado la información en forma de matriz Y en la ecuación Y=AX. Ahora habría que descifrar, es decir, debemos calcular la matriz X, despejándola de la siguiente manera:

Construímos la matriz columna, Y, con estos dos valores numéricos:

Como también sabríamos el valor de la matriz clave, Calculamos la matriz inversa y realizamos la operación para hallar X. Realizamos esta operación con todas las matrices Y que salen de dividir el mensaje encriptado de dos en dos. Y volviendo a usar la tabla alfanumérica, DESCIFRAMOS EL MENSAJE ORIGINAL.

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