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Ecuaciones Diferenciales

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Las ecuaciones de Bessel, de Legendre y la ecución hipergeométrica son ejemplos clásicos de ecuaciones diferenciales especiales que aparecen en diversos contextos de la física y las matemáticas aplicadas. Estas son las diferencias, propiedades y aplicaciones de cada una

Ecuaciones de Bessel

Características

• Es una ecuación diferencial de segundo orden.
• Sus soluciones son las funciones de Bessel de primer tipo 𝐽𝜈 (𝑥) y segundo tipo 𝑌𝜈 (𝑥), útiles en problemas radiales.

Aplicaciones Fenómenos con simetría cilíndrica

• Propagación de ondas en fibras ópticas.
• Vibraciones de membranas circulares (tambor).
• Resolución de problemas en coordenadas polares o cilíndricas en ecuaciones de Laplace y Helmholtz.

Características

• También es una ecuación de segundo orden.
• Sus soluciones son los polinomios de Legendre (𝑃𝑛 (𝑥)) y, en casos generalizados, las funciones asociadas de Legendre.

Ecuaciones de Legendre

Aplicaciones Problemas en geometrías esféricas

• Resolución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas.
• Armónicos esféricos usados en análisis de campos gravitacionales y electromagnéticos.
• Expansión de funciones en series para problemas de potencial.

Aplicaciones Aparición en sistemas cuánticos (mecánica cuántica)

• Oscilador armónico cuántico.
• Ecuación radial en el átomo de hidrógeno.
• Modelos matemáticos en estadística y combinatoria.

Ecuación hipergeométrica

Características

• Es una ecuación diferencial más general que incluye como casos particulares las de Bessel y Legendre.
• Sus soluciones son las funciones hipergeométricas 2𝐹1 (𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑥).

Comparación de las tres ecuaciones