Presentación formas básica

Máximos, Mínimos y Problemas de Optimización.

Semana #4Actividad con el Asesor Academico Virtual (AAV).

Calculo Diferencial e Integral.

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Puntos Críticos y Cambios de Monotonía °Puntos Críticos: Los puntos Los puntos de la derivada f´(x)=0 o donde f´(x) no está definida son llamados puntos críticos. Estos puntos son candidatos para ser máximos o mínimos relativos.°Prueba de la Primera Derivada: Para determinar si un punto crítico es un máximo o mínimo relativo, se puede usar la prueba de la primera derivada:°Si f´(x) cambia de positivo a negativo en c, entonces c es un máximo relativo. °Si f´(x) cambia de negativo a positivo en c, entonces c es un mínimo relativo.

La caracterización de los máximos y mínimos relativos y absolutos, y su relación con las funciones crecientes y decrcientes.

La caracterización de los máximos y mínimos relativos y absolutos es fundamental en el estucio de funciones en cálculo diferencial. A continuación, se explican estos conceptos y su relación con las funciones crecientes y decrecientes.Máximos y Mínimos 1.Máximos Relativos: 2.Mínimo Relativo: 3.Máximo Absoluto: 4.Minimo Absoluto: Relación con Fuciones Crecientes y Decrecientes La relación entre los máximos y mínimos y las funciones crecientes y decrecientes se establece a trvés de la derivada de la función:

• Ecinimía: En la econimía, la función de costo puede tener un mínimo que representa el costo más bajo de producción. Aumentar la producción más allá de este punto puede incrementar los costos.
• Física: En el estudio de la trayectoria de un proyectil es un máximo relativo, y el punto más bajo en su trayectoria es un mínimo relativo.
• Biología: En el crecimiento de poblaciones, puede haber un máximo absoluto, puede haber un máximo absoluto que representa la capacidad de carga del ambiente, y un mínimo que representa el umbral de supervivencia.

Situaciones Reales con Gráficas de máximos y mínimos.

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Ejemplos de Gráficas de Funciones Crecientes y Decrecientes 1.Funcion Creciente: 2.Función Decreciente:

• Primera Derivada: La primera derivada f´(x) de una función proporciona información sobre la pendiente de la función:
• Si f´(x) < 0 en un intervalo, la función es creciente en ese intervalo.
• Si f´(x) < 0 es un intervalo, la función es decreciente en ese intervalo.
• Si f´(x)=0 en un punto, ese punto puede ser un máximo o mínimo relativo.

¿Cómo puedes determinar su una función es creciente o decreciente utilizando la primera derivada de la función?

• Fúnción Creciente: Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) si para cualesquiera x1, x2 en (a,b) tal que x2 < x2, se cumple que f(x1) < f(x2). Esto significa que a medida que x aumenta, f(x) también aumenta.
• Funciones Decreciente: Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si para cualesquiera x1, x2 en (a,b) tal que x1 < x2, se cumple que f(x1) < f(x2). Esto signifca que a medida que x aumenta, f(x) disminuye.

¿Qué características tienen una función creciente y una decreciente?

1.Máximos Relativos: Se encuentran en los puntos donde la curva alcanza n pico local. En la gráfica, esto se ve como un punto más alto que los puntos adyacentes.2.Mpinimos Relativos: Se encuentran en los puntos donde la curza alcanza un valle local. En la gráfica, esto se ve como un punto más bajo que los puntos adyacentes.3.Máximos y Mínimos Absolutos: Se identifican como el punto más alto o más bajo en toda la gráfica, respectivamente.

¿Cómo se pueden identificar los mínimos y máximos a partir de la gráfica de una función?Para identificar máximos y mínimos den la gráfica de una función:

• Máximo Relativo: Un punto c es un máximo relativo de la función f(x) si exite un alrededor de c tal que f(c) es mayor o igual que los valores de f(x) en ese intervalo. Es decir, f(c) ≥ f(x) para x en un intervalo alrededor de c.
• Máximo Absoluto: Un punto c es un máximo absoluto de la función f(x) si f(c) es mayor o igual que todos los valores de f(x) en el dominio de la función. Es decir, f(c) ≥ f(x) para todo x en el dominio de f.

¿Cuál es la diferencia entre un máximo relativo y un máximo absoluto?

El criterio de la primera derivada es una herramienta fundamental en cálculo diferencia que se utiliza para determinar la naturaleza de los puntos críticos de una función, es decir, si estos puntos son máximos o mínimos relativos. A continuación, se detalla este criterio y su aplicación. Criterio de la Primera Derivada 1.Definición de Puntos Críticos: 2.Análisis de la Priera Derivada: 3.Reglas del Criterio: Ejemplo Práctico ¿Qué son los puntos críticos de una función? ¿Cuál es su relación con lo máximos y mínimos? ¿Cómo se utiliza el criterio de la primera derivada para determinar si un punto crítico es un máximo o un mínimo relativo? Busca ejemplos donde se aplique este criterio para encontrar máximos y mínimos. Los puntos críticos son esenciales para identificar máximos y mínimos en una función. El críterio de la primera derivada permite determinar la naturaleza de estos puntos mediante el anñalisis del signo de la derivada en intervalos alrededor de los puntos críticos. Este método es ampliamente utilizado en problemas de optimización y análisis de funciones en diversas aplicaciones.

El criterio de la primera derivada para determinar máximos y mínimos relativos.

El criterio de la segunda derivada para determinar máximos, mínimos relativos, intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.

El criterio de la segunda derivada es una herramienta poderosa en cálculo diferencial que se utiliza para determinar la naturaleza de los puntos críticos de una función, así como para analizar la concavidad de la función y encontrar puntos de inflexión. A continuación, se detalla este críterio y su aplicación. Criterio de la Segunda Derivada Proceso para Aplicar el Criterio de la Segunda Derivada Intervalos de Concavidad Puntos de Inflexión

Ejemplo PracticoConsideremos la función f(x)= x3 - 3x2 + 4. 1.Encontrar la primera derivada:f´(x)= 3x2 - 6x°Puntos críticos: x=0 y x=2.2.Encontrar la segunda derivada:f"(x)=6x - 63.Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos:°Para x=0:f"(0)=6(0)-6=-6 <0 (máximo relativo)°Para x=2:f"(2)=6(2)-6=6 >0 (mínimo relativo)4.Encontrar puntos de inflexión:°Resolvemos f"(x)=0:6x-6=0 ⟹ x=1°Verificamos el cambio de signo:°Para x <1 (por ejemplo, x=0): f"(0)=-6 <0 (cóncava hacia abajo).°Para x >1 (por ejemplo, x=2) f"(2)=-6 >0 (c+oncava hacia arriba).°Por lo tanto, x=1 es un punto de inflexion.

Ejemplo Comparativo

¿Cómo se utiliza el criterio de la segunda derivada para determinar si un punto cr´tico es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión?

Determinación de Intervalos de Concavidad Para determinar los intervalos de concavidad:1. Calcular la Segunda Derivada: Encuentra f"(x).2. Resolver f"(x)=0: Encuentra los puntos críticos de la segunda derivada. 3. Analizar los Signos: Divide la recta numérica en intervalos utilizando los puntos encontrados y elige un valor de prueba en cada intervalo para determinar el signo de f"(x).

¿Cómo se determinan los intervalos de concavidad?

Relación entre Concavidad, Segunda Derivada y Puntos de Inflexión °Concavidad: La concavidad de una función se determina a través de la segunda derivada: °f"(x)>0: La fnción es cóncava hacia arriba. °f"(x)<0: La función es cóncava hacia abajo.°Puntos de Inflexión: Se encuentran en los puntos donde f"(x)=0 y donde hay un cambio de signo en la segunda derivada.

¿Cóm se relaciona la concavidad de una función con la segunda derivada y esta con los puntos de inflexión?

Punto de Inflexión Un punto de inflexión es un punto en la gráfica de una función donde la concavidad cambia. Es decir, la función pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o viceversa. Pra identificar un punto de inflexión, se debe: 1.Encontrar los puntos donde la segunda derivada f"8x)=0 o no está definida. 2.Verificar el cambio de signo de f"(x) alrededor de esos puntos.

¿Qué es un punto de inflexión y cómo se identifica en la gráfica de una función?

¿Qué significa que una función sea cóncava hacia arriba o hacia abajo?

Concavidad de una Función Concavidad Hacia Arriba: Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si, al graficar la función, la curva se "abre" hacia arriba. Esto significa que, si se elige cualquier par de puntos en ese intervalo, la línea que los une estará por encima de la gráfica de la función. Matemáticamente, esto se traduce en que la segunda derivada f"(x)>0 en ese intervalo. Concavidad Hacia Abajo: Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo si la curva se "abre" hacia abajo. En este caso, la línea que une cualquier par de puntos en ese intervalo estará por debajo de la gráfica de la función. Esto se traduce en que la segunda derivada f"(x)<0 en ese intervalo.

Los problemas de optimización son fundamentales en diversas áreas, como la economía y la ingeniería, ya que buscan encontrar el mejor resultado posible bajo ciertas condiciones o restricciones. A continuación, se presenta un análisis de cómo se resuelven estos problemas en ambas disciplinas, junto con ejemplos ilustrativos. Problemas de Optimización en Economía En economía, los problemas de optimización suelen involucrar la maximización de beneficios o la minimización de costos. Los pasos generales para resolver estos problemas son: 1.Definir la Función Objetivo: Esta es la función que se desea maximizar o minimizar. Por ejemplo, en un problema de maximización de beneficios, la función podría ser B(x)=px−C(x), donde p es el precio, x es la cantidad vendida y C(x) es la función de costo. 2.Identificar las Restricciones: Estas son las limitaciones que afectan la función objetivo. Pueden ser restricciones de recursos, presupuestos, o condiciones del mercado. 3.Encontrar los Puntos Críticos: Se calcula la derivada de la función objetivo y se iguala a cero para encontrar los puntos críticos. 4.Evaluar los Puntos Críticos: Se utiliza el criterio de la primera o segunda derivada para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos. 5.Analizar las Soluciones: Se evalúan las soluciones en el contexto del problema y se elige la que mejor satisface la función objetivo bajo las restricciones- Ejemplo en Economía Problema de Optimización en Ingeniería Ejemplo en Ingeniería

Analiza y comprede la forma en la que se resuelve problemas de optimización de distintas áreas, como la Economía o la Ingeniería.

Grafica

I.Determinación de Puntos Críticos1. Encontrar la primera derivada: 𝑦´=dy/dx = 5 - 5x^4 2. Igualar la derivada a cero: 5- 5x^4=0 ⟹1 -x^4 =0 ⟹x^4= 1⟹ x =1 y x=-1 3.Evaluar la segunda derivada: Y”(d^2 y)/〖dx〗^2 =-20x^3 4.Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos: °Para x=1:y"(1)=-20(1)^3=-20<0 (máximo reltivo). °Para x=.1:y"(-1)=-20(-1)^3=20>0(mínimo relativo). 5.Coordenadas de los puntos críticos: °Para x=1:y(1)=5(1)-(1)^5=5-1=4 (máximo relativo en (1,4)). °Para x=-1:y(.1)=5(-1)-(.1)^5=-5+1=-4 (mínimo relativo (-1,-4)). II.Determinación de Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento III.Localización de puntos de inflexión

Situacón Práctica #1Vamos aresolver el problema utilizando la función y= 5x - x^5.

7.Calcular y Sustituyendo x en la ecuación del área: y= 180,000/600=300m8.Verificar la naturaleza del punto crítico Calculamos la segunda derivada: P"= 720,000/x^3Dso que P">0 para x >0, el punto crítico es un mínimo. 9.Resiltados Las dimensiones que requieren la menor cantidad de cerca son: ° x≈600m (lado paralelo al río) ° y=300m (lado perpendicular al río)

Situación Práctica #2

Problema 1: Cercar un Pastizal Enunciado: Un granjero planea cercar un pastizal adyacente a un río que tenga forma rectangular. El pastizal debe tener 180,000 metros cuadrados. ¿Qué dimensiones requerirían la menor cantidad de cerca si ésta no se necesita a lo largo del río? 1.Definicióndel problema °Sea x la longitud del lado paralelo al río y y la longitud del lado perpendicular al río. °El área del paztizal es A=x . y=180,000m^2. °La cantidad de cerca necesaria (perímetro) es P=x+2y (no se necesita cerca a lo largo del río). 2.Función Objetivo Queremos minimizar el perómetro O:P=x+2y3.Expresa y en función de x Usando la ecuación del área:y= 180,000/x4.Sustitución en la función ObjetivoSustituyendo y en la función de perímetro: P=x+2 (180,000/x) =x + 360,000/x 5.Encontrar la derivada Calculamos la derivada de P:P´= 1 -360,000/x^26.Igualar la derivada a ceroPara encontrar los puntos críticos: 1- 360,000/x^2 =0⟹ 360,000/x2= 1 ⟹x^2=360,000 ⟹ x = √360,000≈600m

3.Determinar el intervalo de x Dado que x puede variar entre 0 y 1500 (la distancia río abajo), el costo es una función lineal decreciente. 4.Evaluar los Extremos °Para x =0:C(0)=60,000-20(0)=60,000 dólares °Para x= 1500:C(1500)=60,000-20(1500)=60,000 -30,000=30,000 dólares 5.Conclusión El costo es menor cuando x=1500 m, lo que significa que el cable debe tenderse completamente por tierra, Ruta más económica: Tender el cable completamente por tierra, lo que resulta en un costo de 30,000 dólares.

Problema 2: Tender un CableEnunciado: Se tenderá un cable desde una planta eléctrica ubicada a un lado de un río de 1200 metros de ancho hasta una fábrica situada en la otra orilla, 1500 metros río abajo. El costo de tender el cable por debajo del agua es de 25 dólares por metro, mientras que el costo por tenderlo por tierra es de 20 dólares por metro. ¿Cuál es la ruta más económica para tender el cable? 1. Definici´pon del problema °Sea x la distancia desde la planta eléctrica hasta el punto donde el cable toca la orilla del río (en metros). °La distancia por debajo del agua es 1200 m (ancho del río). °La distancia por tierra es 1500 - x m(distancia río abajo) 2.Función de costo El costo total C se puede expresar como:C= 25⋅1200 +20⋅(1500-x)C=30,000 + 20 (1500-x)=30,000 +30,000-20x= 60,000 - 20x

Gracias.

• Si f´(x) cambia de positivo a negativo en c:
• Entonces f(c) es un máximo relativo.
• Esto significa que la función está aumentando antes de c y disminiyendo despúes de c.
• Si f´(x) cambia de negativo a positivo n c:
• Entonces f(c) es un mínimo relativo.
• Esto signifia que la función está disminuyendo antes de c y aumentando después de c.
• Si f´(x) no cambia de signo en c:
• Entonces c no es un máximo ni un mínimo relativo.

Gráfica: La función es decreciente a medida que x x se aleja de 0 y tiene un máximo en ( 0 , 0 ).

Ejemplo: f ( x ) = − x 2 en el intervalo ( − ∞ , 0 ].

f(c)≤f(x)para x en un intervalo alrededor de c.

Un punto c c es un mínimo relativo de la función f(x) si existe un intervalo alrededor de c c tal que f(c) es menor o igual que los valores de f(x) en ese intervalo. Es decir:

4.Conclusiones: En x = 0 : f ′ ( x ) cambia de positivo a negativo, por lo que x = 0 es un máximo relativo. En x = 2: f ′ ( x ) cambia de negativo a positivo, por lo que x = 2 es un mínimo relativo.

3.Analizar el Signo de la Derivada: Intervalos: ( − ∞ , 0 ), ( 0 , 2 ), y ( 2 , ∞ ). Elegimos x = − 1 x=−1 en (−∞,0): f ′ ( − 1 ) = 3 ( − 1 ) 2 − 6 ( − 1 ) = 3 + 6 = 9 > 0 ( creciente ) Elegimos x = 1 x=1 en ( 0 , 2 ): f ′ ( 1 ) = 3 ( 1 ) 2 − 6 ( 1 ) = 3 − 6 = − 3 < 0 ( decreciente ) Elegimos x = 3 x=3 en ( 2 , ∞ ): f ′ ( 3 ) = 3 ( 3 ) 2 − 6 ( 3 ) = 27 − 18 = 9 > 0 ( creciente )

2.Determinar los Puntos Críticos: 3 x 2 − 6 x = 0    ⟹    3 x ( x − 2 ) = 0    ⟹    x = 0 y x = 2

1.Encontrar la Derivada: f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x

Ejemplo 2: Función Cúbica Consideremos la función f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 4

4.Conclusiones: En x = 2 : f ′ ( x ) cambia de positivo a negativo, por lo que x=2 es un máximo relativo.

Elegimos x = 3 x=3 en ( 2 , ∞ ): f ′ ( 3 ) = − 2 ( 3 ) + 4 = − 2 < 0 ( decreciente )

3.Analizar el Signo de la Derivada: Intervalos: ( − ∞ , 2 ) (−∞,2). Elegimos x=0 en ( − ∞ , 2 ): f ′ ( 0 ) = − 2 ( 0 ) + 4 = 4 > 0 ( creciente )

2.Determinar los Puntos Críticos: − 2 x + 4 = 0    ⟹    x = 2

1.Encontrar la Derivada: f ′ ( x ) = − 2 x + 4

Ejemplo 1: Función Cuadrática Consideremos la función f ( x ) = − x 2 + 4 x + 1 .

Gráfica: La función es creciente a partir de x=0 y tiene un mínimo en ( 0 , 0 ).

Ejemplo: f ( x ) = x 2 en el intervalo [ 0 , ∞ ).

f(c)≥f(x)para todo x en el dominio de f.

Un punto c c es un máximo absoluto de la función f(x) si f(c) es mayor o igual que todos los valores de f(x) en el dominio de la función. Es decir:

Definición: Los puntos críticos de una función f(x) son aquellos puntos en su dominio donde la derivada f ′ (x) es igual a cero o no está definida. Estos puntos son importantes porque pueden indicar la presencia de máximos, mínimos o puntos de inflexión en la gráfica de la función.

Puntos Críticos de una Función

Intervalo (2,∞): Elige x=3: f ′ ( 3 ) = 3 ( 3 ) 2 − 6 ( 3 ) = 27 − 18 = 9 > 0 ( creciente )

Intervalo (0,2): Elige x=1: f ′ ( 1 ) = 3 ( 1 ) 2 − 6 ( 1 ) = 3 − 6 = − 3 < 0 ( decreciente )

Elegimos intervalos para analizar el signo de f ′ (x): Intervalo (−∞,0): Elige x=−1: f ′ ( − 1 ) = 3 ( − 1 ) 2 − 6 ( − 1 ) = 3 + 6 = 9 > 0 ( creciente )

Igualamos la derivada a cero: 3 x 2 − 6 x = 0    ⟹    3 x ( x − 2 ) = 0 Los puntos críticos son x = 0 y= 2 .

1.Encontrar la Derivada: f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x f ′ (x)=3x 2 −6x 2.Encontrar los Puntos Críticos: Igualamos la derivada a cero: 3.Analizar el Signo de la Derivada: 4.Cpnclusiones: °En x=0: f´(x) cambia de positivo a negativo, por lo que x=0 es un máximo relativo.°En x=2: f´(x) cambia de negativo a positivo, po lo que x=2 es un mínimo relativo.

Esto implica que la derivada f ′ ( x ) < 0 en ese intervalo.

f(x 1 ​ )>f(x 2 ​ ).

2.Funciones Decrecientes: Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si para cualesquiera x 1 ​ ,x 2 ​ en (a,b) tal que x 1 ​ <x 2 ​ , se cumple que:

Esto implica que la derivada f ′ ( x ) > 0 en ese intervalo.

f(x 1 ​ )<f(x 2 ​ ).

1. Funciones Crecientes: Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) si para cualesquiera x 1 ​, x 2 ​ en (a,b) tal que x 1 ​ <x 2 ​ , se cumple que:

f(c)≥f(x)para x en un intervalo alrededor de c.

Un punto c c es un máximo relativo de la función f(x) si existe un intervalo alrededor de c c tal que f(c) es mayor o igual que los valores de f(x) en ese intervalo. Es decir:

Estas gráficas y conceptos son fundamentales en diversas disciplinas, ya que permiten anañizar y predecir comportamientos en sistemas reales.

f(c)≤f(x)para todo x en el dominio de f.

Un punto c es un mínimo absoluto de la función f(x) si f(c) es menor o igual que todos los valores de f(x) en el dominio de la función. Es decir:

f ′ (c)=0 (la derivada se anula) o F´(c) no está definida.

Un punto c es un punto crítico de la función f (x) si:

Para determinar si un punto crítico c es un máximo o un mínimo relativo, se analiza el signo de la primera derivada f ′ ( x ) en intervalos alrededor de c.

Los puntos críticos son candidatos para ser máximos o mínimos relativos. Sin embargo, no todos los puntos críticos son necesariamente máximos o mínimos; algunos pueden ser puntos de inflexión donde la función cambia su concavidad sin alcanzar un extremo.

1.Encontrar la Derivada:°Calcular la derivada de la función f(x) para obtener f´(x).2.Determinar los puntos críticos:°Encuentra los puntos resolviendo la ecuación f´(x)=0 y también identificando los puntos donde f´(x) no está definida.3.Analizar el Signo de la Derivada:°Divide la recta numérica en intervalos utilizando los puntos críticos encontrados. °Elige un valor de prueba en cada intervalo y evalúa f´(x) en esos puntos.4.Determinar la Naturaleza de los Puntos críticos:°Si f´(x) cambia de positivo a negativo en un punto crítico c, entonces c es un máximo relativo. °Si f´(x) cambia de negativo a positivo en un punto critico c, en tonces c es un mínimo relativo. °Si f´(x) no cambia de signo, entonces c no es un máximo ni un mínimo relativo.

El criterio de la primera derivada se utiliza para determinar la naturaleza de los puntos críticos. A continuación, se detalla el proceso paso a paso para aplicar este criterio:

Proceso Paso a Paso

1. Definición de Puntos Críticos: Como recordatorio, los puntos críticos de una función f(x) son aquellos puntos donde la primera derivada f´(x) es igual a cero o no está definida.
2. Segunda Derivada: La segunda derivada de una función f(x) es denota como f´(x) y proporciona información sobre la concavidad de la función.

1. Encontrar la Primera Derivada:

°Calcula la primera derivada f´(x)y encuentra los puntos críticos resolviendo f´(x)=0. 2. Encontrar la Segunda derivada:°Calcula la segunda derivada f"(x). 3. Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos: °Para cada punto crítico c: °Si f"(c) >0: La función es cóncava havia arriba en c, lo que indica que c es un mínimo relativo. °Si f"(c) <0: La función es cóncava hacia bajo en c, lo que indica que c es un máximo relativo. °Si f"(c)=0: El criterio es inconcluso; se debe realizar un análisis adicional para determinar la naturaleza del punto crítico.

• Concavidad Hacia Arriba: Una función es cóncaa havia arriba en un intervalo si f"(x) >0 en ese intervalo. Esto significa que la gráfica de la función se "abre" hacia ariba.
• Concavidad Hacia Abajo: Una función es cóncav hacia abajo en un intervalo si f"(x) <0 en ese intervalo. Esto significa que la gráfica de la función se "abre" hacia abajo.

• Un punto de inflexión es un punto en gráfica de la función donde la concavidad cambia. Para encontrar puntps de inflexión:

1.Resuelve f"(x)=0 para encontrar candidatos.2.Verifica el cambio de signo de f"(x) alrededor de esos puntos.

1. Encontrar la Primera Derivada: Calcula f ′ ( x ) y encuentra los puntos críticos resolviendo f ′ (x)=0. 2. Encontrar la Segunda Derivada: Calcula f ′ ′ ( x ) 3. Evaluar la segunda deriada en los puntos críticos:°si f"(c)>0: c es un mínimo relaivo. °si f"(c)<0: c es un máximo relativo. °si d"(c)=0: El criterio es inconcluso; se debe realizar un análisis adicional.

Criterio de la segunda Derivada El criterio de la segunda derivada se itiliza para determinar la naturaleza de los puntos críticos:

1. Encontrar la Primera Derivada: f ′ ( x ) = − 3 x 2 + 6 x °Puntos críticos: − 3 x 2 + 6 x = 0    ⟹    − 3 x ( x − 2 ) = 0    ⟹    x = 0 y x = 2 2. Encontrar la Segunda Derivada: f"(x)=-6x + 6 3.Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos: °Para x=0:f"(0)=.6(0)+6=6>0 (mínimo relativo) °Para x=2: f"(2)=-6(2)+6=-6 <0 (máximo relativo)4. Identificar puntos de inflexión: °Resolvemos f"(x)=0:-6x+6=0 ⟹x=1 °Verificamos el cambio de signo:°Para x <1 (por ejemplo, x=0): f"(0)= 6>0 (cóncava hacia arriba). °Para x > 1 (por ejemplo, x=2): f"(2)=-6 <0 (cóncava hacia abajo).°Por lo tanto, x=1 es un pnto de inflexión.

Consideremos la función f ( x ) = − x 3 + 3 x 2 + 4 .

Problema: Una empres produce un producto y tiene una función de costo C(x)=2x2 + 3x + 5 y una función de ingreso R(x)=10x. ¿Cuántas unidades debe producir para maximizar el beneficio? 1.Función Objetivo: El beneficio B(x)=R(x)-C(x)=10x-(2x2 + 3x + 5)=-2x2 + 7x - 5. 2.Encontrar Puntos Críticos: B´(x)=-4x + 7=0 ⟹ x= 7/4=1.75 3.Evaluar la segunda derivada: B"(x)=-4 < 0 (máximo relativo). 4.Conclusión: La empresa debe producir aproximadamente 1.75 unidades para maximizar el beneficio.

En ingeniería, los problemas de optimización pueden involucrar el diseño de estructuras, la minimización de materiales, o la maximización de la eficiencia de un sistema. Los pasos son similares a los de la economía, pero a menudo incluyen consideraciones adicionales como la seguridad y la funcionalidad. 1.Definir la Función Objetivo: Esta puede ser el costo, el peso, la resistencia, etc. 2.Identificar las Restricciones: Estas pueden incluir límites de materiales, dimensiones, o condiciones de carga. 3.Formular el Problema: A menudo se utiliza programación matemática o métodos de optimización específicos. 4.Resolver el Problema: Se pueden utilizar técnicas como el método de Lagrange, programación lineal, o algoritmos de optimización. 5.Verificar la Solución: Se evalúa la solución en el contexto del diseño o sistema.

Problema: Diseñar un contenedor cilíndrico que contenga un volumen de 1000 cm³ y que minimice el costo de material.1.Función Objetivo: El costo del material se relaciona con el área superficial A del cilindro, que se puede expresar como:A=2πr2 +2πrhdonde r es el radio y h es la altura.2.Restricción: El volumen V del cilindro es: V=πr2h=1000 ⟹ h= 1000/ πr2 3.Sustitución en la Función Objetivo: A=2πr2 + 2πr (1000/πr 2)=2πr 2 + 2000/ r 4.Encontrar puntos críticos:A´(r)= 4πr - 2000/r2=0Resolvoiendo esta ecuación se obtiene el valor de r.5. Evaluar la segunda derivada: A"(r) =4πr + 4000/r3 >0 (mínimo relativo) .Conclusión: Se determina el radio y la atura que minimizan el costo del material.

1. Analizar las primeras derivadas: y´-5 - 5x^4°𝑦′>0(creciente) cuando 5- 〖5x〗^4> 0 ⟹x^4<1⟹-1<x<1 °𝑦′<0(decreciente)cuando 5-〖5x〗^4<0⟹x^4>1⟹x<-1 o x>1 2.Intervalos: °Creciente: (-1,1)°Decreciente: (−∞,−1) ∪(1,∞)Determinación de interalos de concavidad1. Analizar la segunda derivada: y"=-20x^3𝑦′>0(cóncava hacia arriba) cuando -20 x^3> 0 ⟹x<0 𝑦′<0(cóncava hacia abajo)cuando -〖20x〗^3<0⟹x>0 2.Intervalos: °Cóncava hacia arriba: (−∞,0) °Cóncava hacia abajo: (0,∞)

1. Encontrar puntos de inflexión: °Se encuentra donde y"=0: -20x^3=0⟹ x=02. Coordenadas del punto de inflexión: y(0)=5(0)-(0)^5=0 (Punto de inflexión en (0,0))