Informe Tech

Equipo 3

Oswaldo Juarez Perez Jesus Ceron Ramirez Cristina Tejada Sandoval

Presentaciòn

Rotacional del campo vectorial

Divergencia del campo vectorial

Propiedades gradiente

Gradiente

Campo escalar

Campo vectorial

Operador nabla

Derivada direccional

ÍNDICE

Campo escalar

01

Campo escalar

01

Es una función matemática que asigna un valor escalar a cada punto de una región en el espacio. Los campos escalares se utilizan para describir magnitudes que no tienen dirección, sino solo magnitud, como la temperatura, la presión, o la densidad en un sistema físico.

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Presión atmosférica: La presión atmosférica 𝑃 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) P(x,y,z) en la atmósfera es un campo escalar que varía con la altitud y otras condiciones meteorológicas.Intensidad luminosa: La intensidad de luz 𝐼 (𝑥,𝑦,𝑧) en una habitación iluminada puede depender de la posición respecto a las fuentes de luz y se representa como un campo escalar.

Ejemplos de Campos Escalares

01

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Campo vectorial

03

Campo vectorial

02

Un campo vectorial en el espacio tridimensional es una función F(x,y,z)=F x (x,y,z)i+F y (x,y,z)j+F z (x,y,z)k, donde 𝐹𝑥,𝐹𝑦,F x ,F y , y 𝐹𝑧F z son las componentes del vector en las direcciones 𝑖,𝑗,𝑘i,j,k, respectivamente, y dependen de las coordenadas 𝑥,𝑦,𝑧x,y,z.

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Ejemplos de Campos Vectoriales

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• Campo eléctrico: El campo eléctrico generado por una carga eléctrica o un conjunto de cargas se representa por un campo vectorial 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧)E(x,y,z), donde cada vector indica la fuerza que experimentaría una carga de prueba en ese punto.
• Fuerza gravitacional: El campo gravitacional 𝑔(𝑥,𝑦,𝑧)g(x,y,z) en una región del espacio indica la fuerza gravitacional que experimentaría una masa en cada punto.

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Operador nabla

03

Operador nabla

03

El operador nabla, denotado por ∇, es un operador diferencial en cálculo vectorial que actúa sobre campos escalares y vectoriales para generar derivadas o transformaciones útiles en diversas aplicaciones físicas y matemáticas. Dependiendo de cómo se use, ∇ puede producir el gradiente, la divergencia o el rotacional.

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• Divergencia (
• ∇⋅𝐹∇⋅F): La divergencia de un campo vectorial
• 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)=𝐹𝑥𝑖+𝐹𝑦𝑗+𝐹𝑧𝑘F(x,y,z)=F x​ i+F y​ j+F z​ k es un campo escalar que mide la "fuente" o "hundimiento" del campo en cada punto.

∇⋅F= ∂x/∂F x + ∂y/∂F y + ∂z/∂F z ​Ejemplo: Si F=x 2 i+y 2 j+z 2 k, entonces: ∇⋅F=2x+2y+2z.

Ejemplos operador nabla

03

• Gradiente (∇𝑓∇f): El gradiente de un campo escalar
• 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)f(x,y,z) es un campo vectorial que apunta en la dirección de máxima tasa de cambio de 𝑓f y cuya magnitud es la rapidez de ese cambio.

∇f= ∂x∂f i+ ∂y∂f j+ ∂z∂f k.Ejemplo: Sif(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 , entonces: ∇f=2xi+2yj+2zk.

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Derivada direccional

04

Definicion

04

La derivada direccional de una función escalar 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)mide la tasa de cambio de f en la dirección de un vector dado 𝑣. Es una extensión de la derivada parcial, ya que permite calcular el cambio de𝑓 no solo a lo largo de los ejes coordenados, sino en cualquier dirección arbitraria.

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Ejemplos practicos

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• Temperatura en una región: Si la temperatura en un punto de una habitación está dada por
• 𝑇(𝑥,𝑦)=20−𝑥2−𝑦2T(x,y)=20−x 2 −y 2 , la derivada direccional indica cómo cambia la temperatura al moverse en una dirección específica desde un punto.
• Velocidad en un fluido:
• Si f(x,y,z) representa la velocidad del flujo de un fluido, la derivada direccional en una dirección dada indica la rapidez con la que cambia la velocidad del flujo en esa dirección.

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Gradiente

05

Gradiente

05

El gradiente de una función escalar 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)es un operador vectorial que resulta de aplicar el operador nabla (∇) a 𝑓. El gradiente apunta en la dirección de mayor incremento de 𝑓 y su magnitud representa la tasa de cambio más rápida en esa dirección.

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Ejemplo con tres variables: Si 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥2+2𝑦2+3𝑧2 , encuentra el gradiente. Solución: ∇𝑓=∂𝑓/∂𝑥𝑖+∂𝑓/∂𝑦𝑗+∂𝑓/∂𝑧𝑘=2𝑥𝑖+4𝑦𝑗+6𝑧𝑘 ​

Ejemplos de Gradiente

05

Ejemplo básico: Si f(x,y)=x 2 +y 2 , encuentra el gradiente.Solución: ∇𝑓=∂𝑓/∂𝑥𝑖+∂𝑓/∂𝑦𝑗=2𝑥𝑖+2𝑦𝑗.En cualquier punto (x,y), el vector ∇𝑓 apunta hacia la dirección de mayor incremento de 𝑓(𝑥,𝑦).

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Propiedades gradiente

06

Definicion

06

El gradiente de una función escalar 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) es un vector que describe cómo cambia 𝑓 en el espacio. Apunta en la dirección del mayor aumento de 𝑓 y su magnitud es la rapidez de cambio en esa dirección.

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Linealidad: Si 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2f(x,y)=x 2 y 𝑔(𝑥,𝑦)=𝑦2g(x,y)=y 2 , y queremos )∇(3f+2g): .∇(3f+2g)=3∇f+2∇g=3(2xi)+2(2yj)=6xi+4yj.

Ejemplos

06

Dirección del máximo cambio: Si 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2+𝑦2, su gradiente es:∇𝑓=2𝑥𝑖+2𝑦𝑗. En el punto (1,1)(1,1), ∇𝑓=2𝑖+2𝑗, que apunta en la direcci ón (1,1) (1,1). Esta es la dirección en la que 𝑓 aumenta más rápido.

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Rotacional del campo vectorial

07

Definicion

07

El rotacional de un campo vectorial 𝐹es otro campo vectorial que mide la circulación o la rotación local de 𝐹 en un punto. En términos físicos, describe qué tan "rotatorio" o "vortical" es el campo. Es especialmente útil en fluidos y electromagnetismo.

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Ejemplo 1: Cálculo Básico del RotacionalDado el campo vectorial F=yi+zj+xk, calcula ∇×𝐹. Solución: El rotacional es: Expandiendo el determinante: ∇×𝐹=𝑖(∂𝑥∂𝑦−∂𝑧∂𝑧)−𝑗(∂𝑥∂𝑥−∂𝑦∂𝑧)+𝑘(∂𝑧∂𝑥−∂𝑦∂𝑦). ​Resolviendo las derivadas parciales: ∇×F=i(0−1)−j(1−0)+k(0−1)=−i−j−k.

Ejemplos

07

Ejemplo 1: Campo de FlujoSea 𝐹=−𝑦𝑖+𝑥𝑗+0𝑘F=−yi+xj+0k, que representa un flu jo rotacional (flujo circular en el plano 𝑥𝑦xy). Calcula ∇×𝐹∇×F. Solución: Expandiendo el determinante: ∇×F=i( ∂y∂0 − ∂z∂x )−j( ∂x∂0 − ∂z∂(−y) )+k( ∂x∂x − ∂y∂(−y) ). Resolviendo las derivadas parciales: ∇×𝐹=𝑖(0−0)−𝑗(0−0)+𝑘(1−(−1))=2𝑘 .El resultado es 2𝑘, lo que indica que el flujo rota alrededor del eje 𝑧.

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Divergencia del campo vectorial

08

Definicion

08

La divergencia de un campo vectorialF es una medida de la tasa neta de salida o entrada de un flujo desde un punto. En términos simples, indica si un punto en el espacio actúa como una "fuente" (flujo que sale) o un "sumidero" (flujo que entra) del campo.

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Ejemplo 2: Campo RotacionalSea F=−yi+xj+0k. Encuentra ∇⋅F. Solución: La divergencia es 0, lo que indica que el campo no tiene fuentes ni sumideros y es incompresible.

Ejemplos

08

Ejemplo 1: Campo RadialSea F=xi+yj+zk. Encuentra ∇⋅F. Solución: La divergencia es 3 3, lo que indica que en cualquier punto del espacio, el campo tiene una fuente constante

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