Método de Gauss-Jordan: ecuaciones lineales y matrices

GAUSS-JORDAN

Método de Gauss-Jordan: ecuaciones lineales y matrices

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Carl Friedrich Gauss

Wilhelm Jordan

¿En qué consiste el método de Gauss-Jordan?

El método de eliminación de Gauss-Jordan consiste en obtener la matriz identidad que contiene la solución de las ecuaciones lineales a través de las operaciones elementales entre renglones.

¿Y qué es una matriz?

• Es un arreglo rectangular de números.
• Una matriz con m renglones y n columnas se llama matriz de m x n.

La matriz para el método de Gauss-Jordan se forma con los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones a resolver.

A continuación, se describen los pasos para realizar el método:

Secuencia del método de Gauss-Jordan

Ahora revisa cómo realizar los pasos descritos a detalle:

PASO 1

PASO 2

PASO 3

Ya con la matriz aumentada se realizan las operaciones elementales entre renglones para obtener la matriz identidad, en donde se obtienen los resultados de las variables buscadas.

Armar la matriz de coeficientes.

Armar la matriz aumentada identificando la columna de renglones o filas para realizar las operaciones elementales entre renglones.

Paso 1 Matriz de coeficientes

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Ya no llamaremos a las variables 𝒙, 𝒚, 𝒛 como comúnmente lo hacemos, ya que podemos llegar a tener sistemas con más de tres incógnitas.

Paso 2 Matriz aumentada

Es una representación de la matriz de coeficientes integrando la columna de renglones (R).

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Paso 2 Matriz aumentada

La matriz identidad de 3x3 es aquella que en la diagonal tiene solamente “1” .

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Paso 3 Operaciones elementales entre renglones

De acuerdo con las propiedades de las ecuaciones equivalentes y a las propiedades de suma y resta de ecuaciones, solamente podemos realizar las siguientes operaciones entre los renglones de la matriz para realizar la eliminación de Gauss-Jordan. A continuación, se detallan:

• Multiplicar (o dividir) un renglón por un número constante diferente de cero.
• Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
• Intercambiar dos renglones.

A la aplicación de estas operaciones se le conoce como reducción por renglones.

Paso 3 Operaciones elementales entre renglones

Después pasamos a la segunda columna, y también obtenemos el 1 ( a 22) primero y después los ceros en sus respectivas posiciones ( a 12, a32 ).

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Recomendaciones para realizar el método de eliminación de Gauss-Jordan

Si el sistema tuviera diferente número de ecuaciones e incógnitas, se sigue el mismo procedimiento.

Ejemplo método Gauss-Jordan

A continuación, se muestra un ejemplo aplicación del método Gauss-Jordan

Ver ejemplo

Ejemplo de aplicación del método Gauss-Jordan

Ejemplo de aplicación del método Gauss-Jordan

Ejemplo de aplicación del método Gauss-Jordan

Ejemplo de aplicación del método Gauss-Jordan

Ejemplo de aplicación del método Gauss-Jordan

Ejemplo de aplicación del método Gauss-Jordan

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Ejemplo de aplicación del método Gauss-Jordan

Ejemplo de aplicación del método Gauss-Jordan

Con práctica podrás realizar más de una operación por matriz.

¡Felicidades!

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Referencias

• Del Valle, J. (2011). Álgebra lineal para estudiantes de ingeniería y ciencias. México: McGraw-Hill. [Versión en línea]. Recuperado de la base de datos elibrocatedra.
• Gutiérrez, E. y Ochoa, S. (2015). Álgebra lineal y sus aplicaciones. México: Grupo Editorial Patria. [Versión en línea]. Recuperado de la base de datos elibrocatedra.
• Guzmán F. (2015). Álgebra Lineal: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. [Versión en línea] Recuperado de la base de datos elibrocatedra.
• Haeussler E. y Richard, S. (2003). Matemáticas para administración y economía (10ª ed.). México: Pearson Educación.
• Hernández, M. (2018). Álgebra lineal: ejercicios de práctica. México: Grupo Editorial Patria. Recuperado de la base de datos elibrocatedra.
• Lay, D. (2013). Álgebra lineal para cursos con enfoque por competencias (A. García, Trad.). México: Pearson Educación. [Versión en línea]. Recuperado de la base de datos elibrocatedra.