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Sistemas numéricos

Curso Profissional de Informática-Sistemas Disciplina: Programação de Sistemas de InformaçãoNádia Couto nº1211D

- Explique como cada sistema funciona, incluindo os símbolos e regras de representação dos números.

Indice

- Sistema decimal (base 10)

Sistema octal (base 8)

Sistema hexadecimal (base 16)

- Sistema binário (base 2)

Info

Introdução

Os sistemas numéricos são fundamentais para a representação e manipulação de números em diferentes contextos, como na matemática, ciência e computação. O sistema decimal (base 10) é o mais comum e utilizado no dia a dia, consistindo em 10 símbolos (0 a 9), com cada posição representando uma potência de 10. Ele é baseado na nossa contagem natural, facilitando cálculos simples e complexos. O sistema binário (base 2) é utilizado na computação, representando números apenas com dois símbolos: 0 e 1. Cada dígito, ou "bit", corresponde a uma potência de 2. Este sistema é essencial para a operação de computadores, que utilizam circuitos elétricos com dois estados (ligado e desligado). O sistema octal (base 8) usa oito símbolos (0 a 7) e é uma forma compacta de representar números binários, agrupando três bits em cada dígito octal. Já o sistema hexadecimal (base 16) utiliza 16 símbolos (0-9 e A-F), sendo comum em programação e na representação de dados binários de forma mais legível, agrupando quatro bits em cada dígito hexadecimal. Cada sistema tem suas regras específicas de representação e conversão, com aplicações distintas dependendo do contexto.

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Sistema decimal (base 10)

O sistema decimal (ou sistema de base 10) é o sistema numérico mais utilizado no dia a dia, tanto na matemática quanto na vida cotidiana. Ele é baseado em dez símbolos distintos: os números de 0 a 9. A base 10 significa que cada posição de um número representa uma potência de 10, e o valor de um número depende de sua posição dentro da sequência. Por exemplo, no número 3567, o 7 está na posição das unidades (10⁰), o 6 está na posição das dezenas (10¹), o 5 na posição das centenas (10²) e o 3 na posição dos milhares (10³). Cada dígito no sistema decimal tem um valor que é multiplicado por uma potência de 10 de acordo com sua posição. A soma desses valores resulta no número total. No exemplo do número 3567, temos: - 3 × 10³ = 3000 - 5 × 10² = 500 - 6 × 10¹ = 60 - 7 × 10⁰ = 7 Somando tudo, 3000 + 500 + 60 + 7 = 3567. Esse sistema é usado globalmente e é natural para os seres humanos devido à nossa contagem de 10 dedos. Ele é também fundamental em várias áreas, como a matemática, economia, engenharia, e ciência. Para a realização de operações matemáticas básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão, o sistema decimal é intuitivo e fácil de entender, sendo o mais adaptado à maioria das situações cotidianas.

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Sistema binário (base 2)

O sistema binário(base 2) é um sistema numérico que utiliza apenas dois símbolos: 0e 1. É fundamental na computação, pois os computadores operam com circuitos eletrónicos que só podem ter dois estados: ligado (1) ou desligado (0). Cada dígito do sistema binário é conhecido como bit (binary digit), e um conjunto de 8 bits forma um byte, a unidade básica de armazenamento de dados nos computadores. No sistema binário, cada posição de um número representa uma potência de 2, tal como no sistema decimal, onde cada posição representa uma potência de 10. Por exemplo, o número binário 1011 pode ser interpretado da seguinte forma: - 1 × 2³ = 8 - 0 × 2² = 0 - 1 × 2¹ = 2 - 1 × 2⁰ = 1 Somando os resultados: 8 + 0 + 2 + 1 = 11 no sistema decimal. O sistema binário é utilizado para simplificar a representação e manipulação de informações dentro de computadores, uma vez que os dispositivos de hardware trabalham com sinais elétricos que podem estar em dois estados: ligado e desligado. Além disso, o binário é a base para outras operações em computação, como as operações lógicas e aritméticas. Sua conversão para outros sistemas numéricos, como o decimal ou hexadecimal, é um processo fundamental para interpretar e trabalhar com dados em várias plataformas.

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Sistema octal (base 8)

O sistema octal(base 8) é um sistema numérico que utiliza oito símbolos para representar os números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. A base 8 significa que cada posição de um número octal representa uma potência de 8. Este sistema é uma forma compacta de representar números binários, pois cada dígito octal corresponde exatamente a três dígitos binários. A razão para isso é que 8 é igual a 2³, ou seja, cada grupo de três bits binários pode ser representado como um único dígito octal. Por exemplo, o número binário 1011011 pode ser agrupado em três bits (da direita para a esquerda): 1 011 011, e cada grupo é convertido para o correspondente octal: 1 (001), 3 (011), 3 (011), resultando em 133. Este sistema é frequentemente utilizado em áreas da informática, especialmente quando se trata de sistemas de arquivos e permissões em sistemas Unix e Linux, pois simplifica a representação de números binários longos. Além disso, o sistema octal tem uma utilidade histórica em computadores mais antigos que usavam uma representação baseada em 3 bits. A conversão de números octais para decimais é feita multiplicando cada dígito por potências de 8, de acordo com a posição em que ele se encontra. Por exemplo, para o número octal 257, a conversão seria: 2 × 8² + 5 × 8¹ + 7 × 8⁰ = 2 × 64 + 5 × 8 + 7 × 1 = 159.

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Sistema hexadecimal (base 16)

O sistema hexadecimal (base 16) é um sistema numérico que utiliza 6 símbolos para representar números: os dígitos de 0 a 9 e as letras de A a F. Cada símbolo representa um valor único, onde os números de 0 a 9 mantêm o seu valor habitual e as letras A, B, C, D, E e F correspondem aos valores decimais de 10, 11, 12, 13, 14 e 15, respetivamente. Este sistema é amplamente utilizado na computação e programação, especialmente para representar números binários de forma mais compacta e legível. Cada dígito hexadecimal corresponde a 4 bits (um nibble), o que torna a conversão entre binário e hexadecimal mais simples. Por exemplo, o número binário 1111 1010 pode ser representado como FA no sistema hexadecimal, uma forma muito mais prática e concisa. A base 16 é útil em áreas como a representação de cores em design gráfico e web, onde os valores RGB (vermelho, verde e azul) são frequentemente expressos em hexadecimal. Também é usado na representação de endereços de memória em informática, onde torna a leitura e escrita de valores binários mais eficientes e acessíveis. A conversão entre hexadecimal e outros sistemas numéricos, como binário ou decimal, é direta, dado que cada dígito hexadecimal equivale a 4 bits ou um número de 0 a 15, o que facilita o processamento e visualização de grandes volumes de dados numéricos.

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Explique como cada sistema funciona, incluindo os símbolos e regras de representação dos números.

1. Sistema Decimal (Base 10):O 7 está na posição das unidades (10⁰);O 6 está na posição das dezenas (10¹);O 5 está na posição das centenas (10²);O 3 está na posição dos milhares (10³);2. Sistema Binário (Base 2):1 × 2³ = 8;1 × 2² = 4;0 × 2¹ = 0;1 × 2⁰ = 1;3. Sistema Octal (Base 8):1 × 8¹ = 8;5 × 8⁰ = 5;4. Sistema Hexadecimal (Base 16);2 × 16¹ = 32;F (15) × 16⁰ = 15;

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Demonstre como realizar conversões entre os sistemas numéricos apresentados (exemplo: decimal para binário, binário para hexadecimal, etc.).

1. Conversão de Decimal para Binário:13 ÷ 2 = 6, resto 1;6 ÷ 2 = 3, resto 0;3 ÷ 2 = 1, resto 1;1 ÷ 2 = 0, resto 1;2. Conversão de Binário para Decimal:1 × 2³ = 8;1 × 2² = 4;0 × 2¹ = 0;1 × 2⁰ = 1;3. Conversão de Decimal para Octal:13 ÷ 8 = 1, resto 5;1 ÷ 8 = 0, resto 1;4. Conversão de Octal para Decimal:1 × 8¹ = 8;5 × 8⁰ = 5;5. Conversão de Decimal para Hexadecimal:13 ÷ 16 = 0, resto 13 (representado por D)

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2. Conversão de Binário para DecimalPassos:- Multiplique cada dígito binário por a potência de 2 correspondente à sua posição. - Some os resultados. Processo:O número binário 101011 pode ser expandido como: - 1 × 2⁵ = 32 - 0 × 2⁴ = 0 - 1 × 2³ = 8 - 0 × 2² = 0 - 1 × 2¹ = 2 - 1 × 2⁰ = 1 Somando os resultados: 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = **43** (decimal).3. Conversão de Decimal para OctalPassos:Divida o número por 8 e anote os restos.Continue dividindo o quociente por 8 até o quociente ser 0.Leia os restos de baixo para cima.Processo:43 ÷ 8 = 5, resto 35 ÷ 8 = 0, resto 5Lendo os restos de baixo para cima, o número octal é 53.

Demonstre como realizar conversões entre os sistemas numéricos apresentados (exemplo: decimal para binário, binário para hexadecimal, etc.).

1. Conversão de Decimal para Binário:Passos:Divida o número por 2 e anote os restos.Continue dividindo o quociente por 2 até o quociente ser 0.Leia os restos de baixo para cima.Processo:43 ÷ 2 = 21, resto 1;21 ÷ 2 = 10, resto 1;10 ÷ 2 = 5, resto 0;5 ÷ 2 = 2, resto 1;2 ÷ 2 = 1, resto 0;1 ÷ 2 = 0, resto 11. Conversão de Decimal para Binário Passos:- Divida o número por 2 e anote os restos. - Continue dividindo o quociente por 2 até o quociente ser 0. - Leia os restos de baixo para cima. Processo:- 43 ÷ 2 = 21, resto 1;- 21 ÷ 2 = 10, resto 1;- 10 ÷ 2 = 5, resto 0;- 5 ÷ 2 = 2, resto 1;- 2 ÷ 2 = 1, resto 0;- 1 ÷ 2 = 0, resto 1;Lendo os restos de baixo para cima, o número binário é **101011**..

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6. Conversão de Hexadecimal para DecimalPassos:Multiplique cada dígito hexadecimal por a potência de 16 correspondente à sua posição.Some os resultados.Processo:O número hexadecimal 2B pode ser expandido como:2 × 16¹ = 32;B (11) × 16⁰ = 11;7. Conversão de Binário para HexadecimalPassos:Agrupe os bits em blocos de 4 (da direita para a esquerda).Converta cada grupo de 4 bits para o correspondente em hexadecimal.Processo:O número binário 101011 é agrupado como: 0010 10110010 (binário) = 2 (hexadecimal)1011 (binário) = B (hexadecimal)O número hexadecimal é 2B.

Demonstre como realizar conversões entre os sistemas numéricos apresentados (exemplo: decimal para binário, binário para hexadecimal, etc.).

4. Conversão de Octal para Decimal.Passos:Multiplique cada dígito octal por a potência de 8 correspondente à sua posição.Some os resultados.Processo:O número octal 53 pode ser expandido como:5 × 8¹ = 403 × 8⁰ = 3Somando os resultados: 40 + 3 = 43 (decimal).5. Conversão de Decimal para Hexadecimalpassos:Divida o número por 16 e anote os restos.Continue dividindo o quociente por 16 até o quociente ser 0.Se o resto for maior que 9, use as letras A-F para representá-los.Leia os restos de baixo para cima.Processo:43 ÷ 16 = 2, resto 11 (11 em hexadecimal é "B")2 ÷ 16 = 0, resto 2Lendo os restos de baixo para cima, o número hexadecimal é 2B..

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8. Conversão de Hexadecimal para BinárioExemplo: Converter 2B (hexadecimal) para binário.Passos:Substitua cada dígito hexadecimal por seu equivalente binário de 4 bits.Processo:2 (hexadecimal) = 0010 (binário)B (hexadecimal) = 1011 (binário)O número binário é 00101011.

Demonstre como realizar conversões entre os sistemas numéricos apresentados (exemplo: decimal para binário, binário para hexadecimal, etc.).

BIografia: https://chatgpt.com/c/673dc1db-80c4-8009-b81f-a1bde5a36952

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