Infografía Axiomas de Peano

LOS AXIOMAS DEPEANO

Infografía

Primera Definición Formal de los Números Naturales

• Antes de Peano, los números naturales no estaban completamente formalizados en matemáticas. Con los axiomas de Peano, se estableció un sistema axiomático en el cual los números naturales se definen en términos de sucesores y el número 0, lo que llevó a la creación de la teoría de conjuntos y a una comprensión más precisa de los números infinitos.

Introducción

• Giuseppe Peano, fue un matemático y filósofo italiano (1858–1932), conocido por sus contribuciones a la lógica matemática y la teoría de números.
• Desarrolló un sistema formal para los números naturales a partir de axiomas.

Aplicaciones en Computación y Lógica

Base de la Aritmética Moderna

• Los Axiomas de Peano son fundamentales para la teoría de números ordinales y cardinales. Gracias a la noción de "sucesor", podemos construir tanto los números ordinales (que indican el orden en una secuencia) como los números cardinales (que indican la cantidad de elementos en un conjunto) de manera formal.

• Los Axiomas de Peano fueron fundamentales para el desarrollo de la aritmética de los números naturales. Definen los números naturales desde un enfoque formal, sin necesidad de contar con intuiciones previas sobre lo que es "sumar" o "multiplicar". A partir de estos axiomas, podemos deducir todas las propiedades básicas de los números naturales mediante inducción matemática.

AXIOMA

El 1 es un número natural.

AXIOMA

Para cada número natural n, existe un sucesor S(n), que también es un número natural.

AXIOMA

El 1 no es sucesor de ningún número natural.

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AXIOMA

Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

AXIOMA

El principio de inducción.

Relación con el Teorema de Gödel

SHORT

• Estos axiomas son esenciales para entender la teoría de la aritmética y la lógica matemática. Esto está vinculado con el trabajo de Kurt Gödel, quien usó sistemas axiomáticos similares en su famoso Teorema de Incompletitud, que demuestra que en cualquier sistema axiomático suficientemente potente (como los de Peano), siempre habrá proposiciones que no se pueden probar ni refutar dentro del sistema.

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Bibliografía

BIBLIOGRAFÍA

• Kleene, S. C. (1967). Mathematical logic. Wiley.
• Lorenzen, P. (1987). Fundamentals of mathematical logic. (A. J. Koster, Trans.). Dover Publications.