Longitud, dirección, distancia, ángulo y propiedades de los vectores

Longitud, dirección, distancia, ángulo y propiedades de los vectores

Comencemos

Longitud, dirección y distancia

Longitud (o magnitud) de un vector

¿Qué es? Es la medida del tamaño o intensidad de un vector. Visualmente, es la longitud de la flecha que representa al vector. ¿Cómo se calcula? En R² (plano): Para un vector v = (x, y), la longitud se calcula usando el Teorema de Pitágoras: ||v|| = √(x² + y²) En R³ (espacio): Para un vector v = (x, y, z), la fórmula se generaliza a: ||v|| = √(x² + y² + z²) ¿Qué representa? Representa la distancia desde el origen (0,0) hasta la punta del vector.

Distancia entre dos puntos

Relación entre longitud, dirección y distancia

Dirección de un vector

¿Qué es? Indica hacia dónde apunta el vector. Se puede describir mediante un ángulo con respecto a un eje de referencia (usualmente el eje x positivo). ¿Cómo se calcula? Ángulo: Se utiliza la función tangente: tan(θ) = y/x, donde θ es el ángulo. Luego, se aplica la función arcotangente para obtener el ángulo. Vector unitario: Un vector unitario (de longitud 1) que apunta en la misma dirección se obtiene dividiendo el vector por su longitud: u = v/||v||. ¿Qué representa? La dirección nos indica hacia dónde se dirige el cambio o la fuerza representada por el vector.

Ejemplo

Ángulo entre vectores en R²

1. Producto escalar (producto punto): El producto escalar de dos vectores u = (x₁, y₁) y v = (x₂, y₂) se define como: u · v = x₁x₂ + y₁y₂ 2. Normas de los vectores: La norma (o longitud) de un vector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. ||u|| = √(x₁² + y₁²) ||v|| = √(x₂² + y₂²) 3. Relación entre el producto escalar y el ángulo: Existe una relación directa entre el producto escalar y el coseno del ángulo θ entre los vectores: u · v = ||u|| ||v|| cos(θ) 4. Cálculo del ángulo: Despejando θ de la ecuación anterior, obtenemos: cos(θ) = (u · v) / (||u|| ||v||) θ = arccos[(u · v) / (||u|| ||v||)]

Ángulo entre vectores en R²

¿Qué es? Es la medida de la separación entre dos vectores. Visualmente, es el ángulo que forman al colocar sus orígenes en el mismo punto. ¿Cómo se calcula? Para calcular el ángulo entre dos vectores, u y v, en R², utilizamos el producto escalar y las normas de los vectores.

Interpretación geométrica

Aplicaciones

Norma, propiedades

¿Qué es la norma de un vector?

La norma de un vector, a menudo denotada como ||v||, es una medida de la "longitud" o "magnitud" de ese vector. Intuitivamente, es la distancia desde el origen hasta la punta del vector cuando lo representamos gráficamente.

Tipos de normas

Propiedades de la norma

Interpretación geométrica

La norma cumple con ciertas propiedades que la hacen una herramienta útil en muchos contextos:

Positividad: La norma de cualquier vector es siempre mayor o igual a cero: ||v|| ≥ 0. Además, la norma es cero solo si el vector es el vector nulo (v = 0). Homogeneidad: Si multiplicamos un vector por un escalar c, la norma del nuevo vector es el valor absoluto de c por la norma del vector original: ||cv|| = |c| ||v||. Desigualdad triangular: La norma de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de las normas de cada vector: ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||. Esta propiedad es análoga a la desigualdad triangular para los lados de un triángulo.

Aplicaciones de la norma

Ejemplo

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Distancia entre dos puntos

¿Qué es? Es la longitud del segmento que une dos puntos. ¿Cómo se calcula? En R²: Para dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), la distancia es: d(A,B) = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] ¿Qué representa? Representa la separación entre dos puntos en el espacio.

Relación entre longitud, dirección y distancia

Distancia y longitud: La distancia entre dos puntos es igual a la longitud del vector que va de un punto al otro. Dirección y distancia: La dirección de un vector indica cómo se mueve uno de los puntos hacia el otro.

Ejemplo práctico

Imagina que estás caminando desde tu casa (origen) hacia una tienda (punto B). El vector que representa tu desplazamiento tiene una cierta longitud (distancia recorrida), una dirección (hacia la tienda) y un ángulo con respecto a tu calle (eje x).

Aplicaciones

• Física: Para determinar el trabajo realizado por una fuerza, el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento es fundamental.
• Geometría: Para calcular ángulos internos de polígonos, proyecciones de vectores, etc.
• Gráficos por computadora: Para realizar rotaciones, escalamientos y otras transformaciones.
• Machine learning: Para calcular similitudes entre vectores en espacios de alta dimensión.

Interpretación geométrica:

Ejemplo:

• Calculamos el producto escalar: u · v = (3)(-2) + (4)(1) = -2
• Calculamos las normas: ||u|| = 5, ||v|| = √5
• Calculamos el coseno del ángulo: cos(θ) = -2 / (5√5)
• Calculamos el ángulo: θ ≈ 101.31°

Consideremos los vectores u = (3, 4) y v = (-2, 1).

• Si el ángulo es 0°, los vectores son paralelos y apuntan en la misma dirección.
• Si el ángulo es 90°, los vectores son perpendiculares (ortogonales).
• Si el ángulo está entre 0° y 90°, los vectores forman un ángulo agudo.
• Si el ángulo está entre 90° y 180°, los vectores forman un ángulo obtuso.

Haz clic para ampliar la imagen.

Ejemplo

Consideremos el vector v = (3, 4). La norma euclidiana de v es: ||v|| = √(3² + 4²) = 5Esto significa que la distancia desde el origen (0,0) hasta el punto (3,4) es de 5 unidades.

Tipos de normas

Existen diferentes tipos de normas, cada una con sus propias características y aplicaciones:

• Norma Euclidiana: Es la norma más común y corresponde a la longitud del vector en el espacio euclidiano. Se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes del vector.
• Norma del máximo: La norma del máximo es el valor absoluto de la componente más grande del vector.
• Norma p: Es una generalización de las normas euclidiana y del máximo, y se define como: ||v||_p = (|x₁|^p + |x₂|^p + ... + |x_n|^p)^(1/p)

Interpretación geométrica

• Norma Euclidiana: Representa la distancia euclidiana desde el origen hasta el punto que representa el vector.
• Norma del máximo: Representa la distancia máxima desde el origen a lo largo de cualquier eje coordenado.
• Norma p: Dependiendo del valor de p, puede enfatizar diferentes componentes del vector. Por ejemplo, la norma 1 suma los valores absolutos de las componentes, mientras que la norma infinito es igual a la norma del máximo.

Aplicaciones de la norma

• Geometría: Cálculo de distancias, ángulos y longitudes de curvas.
• Análisis numérico: Medida de errores en aproximaciones, convergencia de métodos numéricos.
• Álgebra lineal: Definición de espacios normados, cálculo de distancias entre vectores y matrices.
• Optimización: Formulación de problemas de minimización y maximización.
• Machine learning: Cálculo de distancias entre puntos en espacios de alta dimensión, regularización de modelos.