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Series de Potencias.

Temas a abarcar:

1. Convergencia de las series de potencias.
2. Representación de funciones mediantes Series de Potencias.
3. Ejemplos (operación) y reglas.

Preguntas?

¿Cuáles son las funciones?

¿Qué son?

¿Cuáles son sus FORMULAS?

¿Cuando se da la CONVERGENCIA?

¿Para que son utiles las SERIES DE POTENCIAS?

Una serie de potencias es una expresión matemática de la forma:

Ejemplo.

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donde:

Equipo:

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Ejemplos y procedimiento:

1. Determina el radio de convergencia de potencias:

Pasos:

• Identificar el coeficiente Ck
• Aplicar el criterio del radio (versión del cociente)

2. Divergencia de una Serie de Potencias:

Pasos:

• Analisis de convergencia:

1. Si converge
2. Diverge

3. Ejemplo: Serie de Taylor para 𝑒𝑥 alrededor de 𝑎=0

Pasos:

• Formula
• Derivar
• Sustitucion en formula
• Calculo de los terminos
• Serie completa

Se le donomina serie centrada a X cuando a=0.

Return

se puede entender usando la expansión en serie de sin(x).

Cálculo de límites:

se resuelven representando y(x) como una serie de potencias

Soluc.ecuaciones diferenciales:

Las series permiten aproximar funciones complicadas en intervalos pequeños

Aproximación de funciones:

Funciones comunes y sus Series de Potencias:

• Seno:

Muchas funciones se pueden escribir como series de potencias:

• Logaritmo natural (ln(1+x)):

• Exponencial:

Qué son las series de Potencias?

Es una expresion matematica de la forma:

en donde:

• Cn: son los coeficientes.
• a: es el centro de la serie.
• X: es la variable independiente.

¿Cuándo converge una Serie de Potencias?

Una serie de potencias puede converger o divergir dependiendo del valor X dentro del concepto de radio de convergencia (R) que determina el intervalo en el que la serie converge.

Fórmulas útiles:

Criterio del Radio (o Fórmula de Cauchy):

El criterio del radio es una técnica para determinar el radio de convergencia (𝑅) de una serie de potencias. Este se usa principalmente para series de la forma: