DAI NATURALI AI REALI

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Presentazione:

DAI naturali ai reali

Lidia Pagano 1°A

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indice

L'insieme Z

L'insieme N

1.5

Operazioni in N

L'insieme Q

2.5

3.5

Operazioni in Z

Operazioni in Q

RIEPILOGO

Numeri irrazionali

insieme n

L'insieme N è l'insieme dei numeri naturali che partono da 0 e continuano all'infinito. Si rappresentano in una semiretta orientata con origine O.

L'INSIEME N E' :

• ORDINATO: i numeri si possono confrontare fra loro con dei simboli

• esiste il PRECEDENTE e il SUCCESSIVO di ogni numero tranne per lo 0, che non ha precedenti in N.

• INFINITO: esiste il minimo (0) ma NON il massimo.

• DISCRETO: nell'insieme N, tra un numero e il suo successivo non ne esistono altri.

< > ≤ ≥

minore maggiore min o uguale mag o uguale

.5

operazioni in n

Con i numeri naturali si eseguono delle operazioni:

ADDIZIONE, SOTTTRAZIONE, MOL.TIPLICAZIONE, DIVISIONE, ELEVAMENTO A POTENZA

PROPRIETA' DELLE OPERAZIONI :

ADDIZIONE e MOLTIPLICAZIONE sono interne a N

SOTTRAZIONE e DIVISIONE

perchè somma e prodotto di due numeri naturali danno sempre un numero naturale

NON sono interne ad N

a : 0= impossibile 0 : a= 0 0 : 0= non definito

nella divisione il divisore deve sempre essere diverso da 0

moltiplicazione: elemento neutro elemento assorbente

addizione: elemento neutro elemento assorbente

divisione:

sottrazione:

1. proprietà commutativa
2. proprietà associativa
3. proprietà distriubutiva

1. proprietà distributiva
2. proprietà invariantiva

elevamento a potenza

L'elevamento a potenza è il prodotto della base per se stessa tante volte quanto indica l'esponente

an=a × a × a × a ...

n volte

a 1=a a0=1 00= non si definisce

L'insieme z

L'insieme Z sono formati dai: numeri INTERI POSITIVI (indicati con Z+), che coincidono con i numeri naturali (N) e l'insieme dei numeri INTERI NEGATIVI (indicati con Z-) L'unione degli insiemi Z+ e Z- formano l'insieme dei numeri interi relativi (Z).

positivi

I numeri interi possono essere

se ha come segno "+"(Z+)

negativi

se ha come segno "-"(Z-)

I TERMINI :

• OPPOSTI : quando due numeri hanno lo stesso valore assoluto ma segno diverso
• CONCORDI : due numeri che hanno lo stesso segno
• DISCORDI : due numeri che hanno un segno diverso
• VALORE ASSOLUTO o MODULO : si indica con , ed è il numero stesso senza indicare il segno

| a |

.5

operazioni in z

SOTTRAZIONE :

ADDIZIONE :

La differenza tra due numeri è la somma del minuendo con l'opposto del sottraendo

1. La somma di due numeri concordi: ha come segno uguale a quello delgi addendi e valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei due numeri. 2. La somma di due numeri discordi: ha come segno quello dell'addendo con il valore assoluto maggiore e come valore assoluto la differenza tra i valori assoluti.

MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE :

Il prodotto/quoziente tra due numeri ha come segno positivo se i fattori/divisori sono concordi, segno negativo se sono discordi. Il valore assoluto è uguale al prodotto/quoziente dei valori assoluti dei fattori/divisori

L'insieme q

L'insieme Q sono detti NUMERI RAZIONALI, cioè tutti i numeri decimali limitati e illimitati periodici.

FRAZIONI: Una frazione è un rapporto di numeri formata da: un numeratore e da un denominatore

Le frazioni sono:

• PROPRIA : se numeratore < denominatore
• IMPROPRIA : se numeratore > denomintore
• APPARENTE : se numeratore è multiplo del denominatore

Le frazioni EQUIVALENTI : quando hanno lo stesso valore, cioè risutato.

La SEMPLIFICAZIONE : una frazione è ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore sono primi fra loro.

.5

operazioni in q

MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE : -Il prodotto di due numeri razionali espressi da frazioni è il numero che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e come denominatore il prodotto dei denominatori. Se ci sono fattori in comune fra i numeratori e i denominatori è utileanticipare la semplificazione. -Il quoziente di due numeri razionali espressi da frazioni, è il prodotto del prima per il reciproco del secondo.

ADDIZIONE e SOTTRAZIONE : La somma o la differenza di due numeri razionali espressi da frazioni con lo STESSO DENOMINATORE è il numero che ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma o differenza dei numeratori. Se le frazioni hanno denominatori diversi otteniamo un unico denominatore calcolando l'mcm (il minimo comune multiplo)

POTENZA :dati la frazione a/b la sua potenza è la frazione

(a/b)n= an/bn

NUMERI IRRAZIONALI

I numeri irrazionali sono numeri che non possono essere espressi come la frazione di due numeri interi. Perciò i numeri irrazionali hanno una rappresentazione decimale infinita e non periodica, ovvero una decimale che non si ripete mai e non termina mai.

CARATTERISTICHE :

• NON possono essere scritti come frazioni
• Scritti attraverso decimali non periodici
• Radici quadrate : molte radici quadrate di numeri non perfetti sono irrazionali

ESEMPI :

• π = 3,141....

• √2 = 1,414

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Grazie per l'attenzione!

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