Distribuciones de probabilidad y su aplicación.

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Distribuciones de probabilidad y su aplicación.

Fundamentos de Estadística

• Introducción
• ¿Qué es una distribución de probabilidad?
• ¿Por qué son importantes las distribuciones de probabilidad?
• Distribuciones discretas
• Distribuciones continuas
• Conclusiones

Contenido

Ver Objetivos

Las distribuciones de probabilidad son fundamentales en la teoría de la probabilidad y la estadística, ya que proporcionan un marco matemático para modelar la incertidumbre y la variabilidad inherente a los fenómenos aleatorios. En ciencia de datos, entender y aplicar las distribuciones de probabilidad es crucial para el análisis y la interpretación de datos. Estas distribuciones se dividen en dos grandes categorías: discretas y continuas.

Introducción

Distribuciones discretas

Distribuciones continuas

Una distribución de probabilidad describe cómo se distribuyen los valores posibles de una variable aleatoria, ya sea discreta o continua. Se utiliza para modelar la probabilidad asociada a los posibles resultados de un experimento aleatorio. (Javier, 2013).

¿Qué es una distribución de probabilidad?

Las distribuciones de probabilidad son fundamentales porque permiten modelar la incertidumbre y comprender el comportamiento de fenómenos aleatorios en diversas áreas. Al describir cómo se distribuyen los valores posibles de una variable, proporcionan una base matemática para realizar inferencias estadísticas, tomar decisiones informadas y predecir resultados. Son esenciales en campos como la ciencia de datos, ingeniería, economía y biología, donde se utilizan para analizar patrones, optimizar procesos y validar hipótesis. Además, permiten traducir datos del mundo real en modelos cuantitativos, facilitando la resolución de problemas complejos y la toma de decisiones basada en evidencia.

¿Por qué son importantes las distribuciones de probabilidad?

Distribuciones discretas

Distribuciones continuas

Las distribuciones de probabilidad son herramientas matemáticas esenciales para modelar fenómenos aleatorios y entender la incertidumbre. Se clasifican en discretas, como Bernoulli o Poisson, y continuas, como Normal o Exponencial, cada una adaptada a distintos tipos de datos y contextos. Son clave para analizar patrones, hacer predicciones y validar hipótesis en áreas como ciencia de datos, biología, ingeniería y economía. Su comprensión permite traducir datos reales en modelos útiles para resolver problemas y tomar decisiones basadas en evidencia.

Para recordar...

Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2014). Applied Statistics and Probability for Engineers. Wiley. Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer. Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill. Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). Deep Learning. MIT Press.

Referencias

Donde: Entonces:

Ejemplo práctico (Multinomial)

La distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial que permite modelar situaciones en las que hay más de dos resultados posibles. Esta distribución es útil cuando se realizan múltiples experimentos con más de dos posibles resultados. Ejemplo práctico: Clasificación de respuestas en una encuesta. Supongamos que en una encuesta se pueden obtener tres posibles respuestas: "Sí", "No" y "Tal vez". Si se realizaron 100 encuestas, y las probabilidades de obtener cada respuesta son 0.4, 0.3 y 0.3 respectivamente, podemos calcular la probabilidad de obtener exactamente 40 respuestas "Sí", 30 respuestas "No" y 30 respuestas "Tal vez". Usamos la fórmula de la distribución multinomial:

Distribución Uniforme

La distribución uniforme describe una variable aleatoria que tiene una probabilidad constante de tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Es útil cuando se desea modelar eventos donde todos los resultados son igualmente probables. Autor: Es una distribución simple y no tiene un único autor, pero se ha utilizado ampliamente en la teoría de probabilidad. Fórmula: La función de densidad de probabilidad es:

Distribución Gamma

La distribución gamma generaliza la distribución exponencial y se usa para modelar el tiempo hasta el 𝑘 - ésimo evento en un proceso de Poisson. Autor: Fue desarrollada por Sir Francis Galton en el siglo XIX. Fórmula: La función de densidad de probabilidad es:

Donde: Una vez calculado t, se compara con un valor crítico de la distribución t de Student con d f = n1 + n2 - 2 grados de libertad para determinar si las diferencias son estadísticamente significativas.

Ejemplo práctico (t de Student)

La distribución t de Student se utiliza para inferencias estadísticas, especialmente cuando el tamaño de muestra es pequeño y la desviación estándar de la población es desconocida. Ejemplo práctico: Comparación de medias de dos grupos pequeños. Supongamos que un investigador quiere comparar las medias de los puntajes en un examen de dos clases con tamaños de muestra n1 = 10 y n2 = 12, con varianzas desconocidas. Cálculo: La estadística t se calcula como:

La probabilidad acumulada para X<1:

Ejemplo práctico (Exponencial)

La distribución Exponencial modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson, como el tiempo entre llegadas en una cola. Ejemplo práctico: Tiempo de espera en una fila. Supongamos que los clientes llegan a un banco con una tasa de λ=2 clientes/minuto. Queremos calcular la probabilidad de que el próximo cliente llegue en menos de 1 minuto. Cálculo: La función de densidad es:

Bernoulli

La distribución Bernoulli es la más simple de todas las distribuciones de probabilidad y modela experimentos con solo dos resultados posibles: éxito o fracaso. Es la base de muchas distribuciones posteriores, como la binomial.mpañas de prevención en salud mental. Autor: Jacob Bernoulli (1654–1705) formuló la distribución. Fórmula: Si 𝑋 sigue una distribución Bernoulli con parámetro 𝑝 (probabilidad de éxito), su función de masa de probabilidad es:

Para α=2, β=3: Usamos la función de distribución acumulada (CDF) o tablas específicas de la distribución Gamma para evaluar.

Ejemplo práctico (Gamma)

La distribución Gamma modela el tiempo hasta que ocurren k eventos en un proceso de Poisson. Ejemplo práctico: Duración de llamadas telefónicas. Supongamos que la duración de las llamadas sigue una distribución Gamma con parámetros α=2 y β=3 minutos. Queremos calcular la probabilidad de que una llamada dure menos de 5 minutos. La función de densidad es:

Donde p=0.2 es la probabilidad de éxito, y k=3 es el número de intentos hasta el primer éxito. Entonces:

Ejemplo práctico (Geométrica)

La distribución geométrica modela el número de intentos necesarios para obtener el primer éxito en una serie de experimentos independientes con probabilidad constante de éxito. Ejemplo práctico: Buscar una página web específica. Supongamos que al buscar una página web en un motor de búsqueda, la probabilidad de que un clic sea en la página correcta es 0.2. Queremos saber la probabilidad de encontrar la página correcta en el 3er intento. Cálculo: La fórmula de la distribución geométrica es:

Donde λ=5 es la tasa promedio de autos por minuto y k=3. Entonces:

Ejemplo práctico (Poisson)

La distribución Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio dado, cuando los eventos ocurren de manera independiente y a una tasa constante. Ejemplo práctico: Número de autos que pasan por un semáforo. Supongamos que en promedio pasan 5 autos por minuto por un semáforo. Queremos saber la probabilidad de que pasen exactamente 3 autos en un minuto. Usamos la fórmula de la distribución Poisson:

En este caso, 𝑛=10, 𝑘=7 y 𝑝=0.5. La probabilidad de obtener exactamente 7 caras es:

Ejemplo práctico (Binomial)

La distribución binomial es una extensión de la distribución Bernoulli, donde se realizan 𝑛 experimentos independientes y se cuenta el número de éxitos. Ejemplo práctico: Lanzar una moneda 10 veces. Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y queremos calcular la probabilidad de obtener exactamente 7 caras. Cálculo: Usamos la fórmula de la distribución binomial:

Distribución t de Student

La distribución t de Student es útil para realizar inferencias sobre medias cuando el tamaño de la muestra es pequeño y la varianza es desconocida. Es similar a la distribución normal pero con colas más pesadas. Autor: La distribución t de Student fue introducida por William Sealy Gosset bajo el seudónimo de "Student" en 1908. Fórmula: La función de densidad de probabilidad es:

Distribución Exponencial

La distribución exponencial modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson continuo. Es útil para modelar fenómenos en los que los eventos ocurren de manera aleatoria pero a una tasa constante. Autor: La distribución fue desarrollada por George Polya. Fórmula: La función de densidad de probabilidad es:

Si la probabilidad de obtener cara es p =0.5, la función de probabilidad será:

Ejemplo práctico (Bernoulli)

La distribución Bernoulli describe un solo experimento con dos resultados posibles: éxito (1) o fracaso (0). Es la base de otras distribuciones discretas como la binomial. Ejemplo práctico: Tirar una moneda. Supongamos que lanzamos una moneda y queremos modelar la probabilidad de que salga "cara" (éxito) o "cruz" (fracaso). Si se lanza la moneda una vez y se define como éxito cuando sale "cara" (1) y fracaso cuando sale "cruz" (0), podemos modelar este evento con una distribución Bernoulli.

Distribución Poisson

La distribución Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio dado, con una tasa constante λ. Es útil para eventos raros o de baja frecuencia. Autor: Simeon-Denis Poisson (1781–1840) introdujo la distribución. Fórmula: La función de masa de probabilidad es:

Distribución Normal (Gaussiana)

a distribución normal es la más utilizada en estadísticas y modela fenómenos naturales que siguen un patrón simétrico en torno a la media. Autor: Carl Friedrich Gauss (1777–1855) formuló la distribución. Fórmula: La función de densidad de probabilidad es:

Distribución Binomial

La distribución binomial describe el número de éxitos en 𝑛 ensayos independientes, cada uno con una probabilidad 𝑝 de éxito. Es útil cuando se realizan varios experimentos de Bernoulli. Autor: Pierre-Simon Laplace (1749–1827) contribuyó a su desarrollo. Fórmula: La función de masa de probabilidad para una distribución binomial es:

Distribución Multinomial

La distribución multinomial generaliza la binomial a más de dos resultados posibles. Modela el número de veces que ocurren 𝑘 eventos de diferentes tipos en 𝑛 ensayos. Autor: El concepto de distribución multinomial fue desarrollado por Pierre-Simon Laplace. Fórmula: La función de masa de probabilidad es:

Para a=0min, b=10min, la probabilidad es:

Ejemplo práctico (Uniforme)

La distribución Uniforme modela eventos con probabilidades equiprobables en un intervalo definido. Ejemplo práctico: Tiempo de llegada de un autobús. Supongamos que un autobús llega a una parada entre las 8:00 y las 8:10 (10 minutos). Queremos calcular la probabilidad de que llegue entre las 8:03 y las 8:05. Cálculo: La función de densidad es:

Distribuciones continuas

Las distribuciones continuas son aquellas distribuciones de probabilidad que describen variables aleatorias que pueden tomar un número infinito de valores dentro de un intervalo. Estas variables no están restringidas a valores específicos o contables, como ocurre con las distribuciones discretas, sino que pueden asumir cualquier valor dentro de un rango determinado.

Convertimos los límites a valores z: Usamos la tabla Z:

Ejemplo práctico (Normal)

La distribución Normal es la más común en estadística y modela fenómenos naturales como la estatura, peso, o calificaciones. Tiene forma de campana simétrica. Ejemplo práctico: Altura de una población. Supongamos que la altura de los adultos en una ciudad sigue una distribución normal con una media de μ=170cm y una desviación estándar de σ=10cm. Queremos calcular la probabilidad de que una persona mida entre 160 y 180 cm. La probabilidad se obtiene integrando la función de densidad de probabilidad (PDF) de la normal estándar:

Distribuciones discretas

Las distribuciones discretas son aquellas distribuciones de probabilidad que describen variables aleatorias que pueden tomar un conjunto finito o contable de valores. A diferencia de las distribuciones continuas, donde las variables pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo, las distribuciones discretas solo permiten ciertos valores específicos.

Distribución Geométrica

La distribución geométrica describe el número de ensayos necesarios para obtener el primer éxito en un experimento de Bernoulli. Es útil en situaciones donde se busca el primer evento de un tipo particular. Autor: La distribución geométrica fue desarrollada por John Playfair (1748–1819). Fórmula: La función de masa de probabilidad es:

Las distribuciones de probabilidad son herramientas esenciales en la estadística y la probabilidad para modelar fenómenos inciertos. Permiten representar cómo los valores posibles de una variable aleatoria están distribuidos y estimar la probabilidad de ciertos eventos. Comprender y aplicar estas distribuciones es crucial para analizar datos, predecir resultados y tomar decisiones informadas en contextos donde el azar y la incertidumbre juegan un papel importante.

Objetivos

• Comprender el concepto de distribución de probabilidad.
• Analizar las propiedades y tipos de distribuciones.
• Explorar aplicaciones prácticas de las distribuciones en diversas disciplinas.