VariaveisAleatorias

• n = 3 ( n = nº de lançamentos da moeda )
• p = 3/4 ( p = probabilidade de sucesso / de sair cara )
• q = 1/4 ( q = probabilidade de insucesso / de sair coroa )
• X = ? ( X = nº de caras obtidas em n lançamentos )

Xi 0 1 2 3

p+q = 1 -> ou há sucesso ou insucesso, ou sai cara ou sai coroa -> distribuição binomial se p vale 0,75 então q equivale a 0,25 porque 1 - 0,75 = 0,25 ou seja 0,75 + 0,25 = 1

Num lançamento pode sair um sucesso / uma cara ou um não-sucesso / nenhuma cara, portanto: Xi | fi 0 | 1/4 = q 1 | 3/4 = p Em 3 lançamentos podem sair de 0 a 3 caras: Xi | fi 0 | ? 1 | ? 2 | ? 3 | ? Fórmula para os cálculos das frequências fi :

| fi | 1/64 | 9/64 | 27/64 | 27/64 Ƹ = 64/64 = 1

Resposta à pergunta 1.: F. D. de P.

P(X=x) = Cnx * (p)x * (q)n-x

Cálculos: P(X=0) = C30 * (3/4)0 * (1/4)3-0 = 1/64 P(X=1) = C31 * (3/4)1 * (1/4)3-1 = 9/64 P(X=2) = C32 * (3/4)2 * (1/4)3-2 = 27/64 P(X=3) = C33 * (3/4)3 * (1/4)3-3 =27/64

1. Função Densidade de Probabilidade de X
2. Esperança de X
3. Desvio Padrão de X

Uma moeda viciada de modo a que P(cara) = 3/4 é lançada 3 vezes. A Variável Aleatória X representa a maior série de caras obtidas. Calcular:

1º 2º 3º 4º

p+q = 1 -> ou há sucesso ou insucesso, ou sai cara ou sai coroa -> distribuição binomial se p vale 0,75 então q equivale a 0,25 porque 1 - 0,75 = 0,25 ou seja 0,75 + 0,25 = 1

Resposta à pergunta 1.:

| fi | 1/64 | 9/64 | 27/64 | 27/64

Resposta à pergunta 2.:

E(X) = Ƹ (Xi * fi) =0 * 1/64+ 1 * 9/64+ 2 * 27/64+ 3 * 27/64= 9/4

Resposta à pergunta 2.:

Xi 0 1 2 3

• n = 3 ( n = nº de lançamentos da moeda )
• p = 3/4 ( p = probabilidade de sucesso / de sair cara )
• q = 1/4 ( q = probabilidade de não-sucesso / de sair coroa )
• X = ? ( X = nº de caras obtidas em n lançamentos )

A Esperança de X também se pode calcular a E(X) através da soma Ƹ dos produtos de Xi * fi que se encontram na resposta à pergunta 1. :

A Esperança de X é o nº de caras esperado de acordo com o nº de lançamentos e da probabilidade de sucesso. Ou seja, a Esperança de X E(X) é o nº de lançamentos n vezes a probabilidade p. E(X) = n * pE(X) = 3 * 3/4 = 9/4

Uma moeda viciada de modo a que P(cara) = 3/4 é lançada 3 vezes. A Variável Aleatória X representa a maior série de caras obtidas. Calcular:

1. Função Densidade de Probabilidade de X
2. Esperança de X
3. Desvio Padrão de X

1º 2º 3º 4º

Resposta à pergunta 1.:

Resposta à pergunta 2.:

E(X) = 9/4

| fi | 1/64 | 9/64 | 27/64 | 27/64

p+q = 1 -> ou há sucesso ou insucesso, ou sai cara ou sai coroa -> distribuição binomial se p vale 0,75 então q equivale a 0,25 porque 1 - 0,75 = 0,25 ou seja 0,75 + 0,25 = 1

Resposta à pergunta 3.:

Resposta à pergunta 3.:

Var(X) = Ƹ ( Xi - E(X) )2 * fi ) = (0 - 9/4)2 * 1/64 + (1 - 9/4)2 * 9/64 + (2 - 9/4)2 * 27/64 + (3 - 9/4)2 * 27/64 = 9/16

Xi 0 1 2 3

Var(X) também se pode calcular através da soma Ƹ dos produtos de ( Xi - E(X) )2 * fi.

• n = 3 ( n = nº de lançamentos da moeda )
• p = 3/4 ( p = probabilidade de sucesso / de sair cara )
• q = 1/4 ( q = probabilidade de não-sucesso / de sair coroa )
• X = ? ( X = nº de caras obtidas em n lançamentos )

O Desvio Padrão ou a Variância de X Var(X) calcula-se multiplicando o nº de lançamentos n, a probabilidade de sucesso p e a probabilidade de não-sucesso q. Var(X) = n * p * q Var(X) = 3 * 3/4 * 1/4 = 9/16

Uma moeda viciada de modo a que P(cara) = 3/4 é lançada 3 vezes. A Variável Aleatória X representa a maior série de caras obtidas. Calcular:

1º 2º 3º 4º

1. Função Densidade de Probabilidade de X
2. Esperança de X
3. Desvio Padrão de X