Límite de una función, Teorema de los límites y Continuidad de funcion

Límite de una Función, Teorema de los límites y Continuidad de funciones.

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¿Qué es un límite?

Es el valor al que se acerca una función cuando su variable independiente se aproxima a un cierto valor.

Cómo calcular el límite de una función

Para calcular el límite de una función en un punto simplemente tenemos que sustituir el valor de ese punto en la función. Por ejemplo, si queremos resolver el límite cuando x tiende a 3 de la siguiente función, debemos sustituir las x de la función por 3:

La principal aplicación de los límites de funciones es estudiar la continuidad de una función, o en otras palabras, calcular el límite de una función en un punto sirve para averiguar si dicha función es continua en ese punto o no.

Pasos para calcular un límite:

1. Sustitución directa:

• El método más sencillo.
• Sustituye el valor al que tiende x en la función.
• Si obtienes un número, ese es el límite.

2. Factorización:

• Útil cuando hay indeterminaciones (0/0, ∞/∞).
• Factoriza el numerador y denominador.
• Simplifica y vuelve a intentar la sustitución.

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3. Racionalización:

• Para expresiones con raíces.
• Multiplica numerador y denominador por el conjugado.
• Simplifica y vuelve a intentar la sustitución.

4. Límites al infinito:

• Analiza el comportamiento de la función cuando x tiende a infinito o menos infinito.
• Identifica el término dominante.
• Simplifica y evalúa.

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5. Límites laterales:

• Evalúa el límite acercándose al punto por la izquierda y por la derecha.
• Si ambos límites laterales son iguales, el límite existe.

Continiudad de Funciones

La continuidad de funciones es uno de los estudios principales de una función. Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel. Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

Indeterminaciones y técnicas: 0/0, ∞/∞: Factorización, racionalización, L'Hôpital (derivadas). ∞ - ∞: Busca un común denominador o factoriza. 0 * ∞: Convierte a una fracción. 1^∞, 0^0, ∞^0: Utiliza logaritmos y propiedades de los límites.

Teorema de los límitesPara facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Épsilon-Delta se establecen algunos teoremas de ejemplo.

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TEOREMA 1Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces

TEOREMA 2Para cualquier número dado a

TEOREMA 3Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

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Teorema 5

Para acabar de entender qué significa el límite de una función, vamos a hallar el siguiente límite:

Para ver a qué valor se aproxima la función cuando x tiende a 2, podemos ir calculando imágenes de la función de puntos cada vez más cerca de x=2

Como puedes ver en las dos tablas anteriores, a medida que vamos tomando valores más próximos a x=2, la función se va acercando a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 2 es 1.

A continuación puedes ver la función representada gráficamente. Como puedes comprobar, la función se acerca a 1 cuando x se aproxima a 2.

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