MAPA CONCEPTUAL NÚMEROS COMPLEJOS

Gutiérrez Hernández Alison

NUMÉROS COMPLEJOS

BIBLIOGRAFÍA

NÚMEROS COMPLEJOS

Origen

Definición

Teoremas

Otros temas

Ecuaciones

Operaciones

Polar

Aplica-ción

Carac- terís- ticas

Funda-mental

Suma y resta

Mult y div

Plano complejo

Propie- dades

Están- dar

Ecuación cúbica

Moivre

Cuadrática

Conjugado

Ecuación lineal

Para suma

Para multi

Gutiérrez Hernández Alison

CARACTERÍSTICAS

Magnitud o módulo: La magnitud de un número complejo a+bi se define como a2+b2. Representa la distancia desde el origen hasta el punto (a,b)(a,b) en el plano complejo.Ejemplo: La magnitud de 3+4i es: raíz de 3 a la 2 +4 a la 2= 9 + 16 = 25 = 5Argumento o fase: El argumento de un número complejo es el ángulo θθ que el vector desde el origen hasta el punto (a,b)(a,b) forma con el eje real positivo. Se calcula como θ=tan a la ⁡−1(b/a). Ejemplo: El argumento de 3+4i es tan⁡ a la −1(4/3)≈0.93 radianes.Forma polar: Un número complejo se puede expresar en forma polar como r(cos⁡θ+isin⁡θ), donde r es la magnitud y θ es el argumento.Ejemplo: El número 3+4i en forma polar es 5(cos⁡0.93+isin⁡0.93).Conjugado:El conjugado de un número complejo a+bi es a−bi. El producto de un número complejo y su conjugado es un número real no negativo.Ejemplo: El conjugado de 3+4i es 3−4i, y su producto es (3+4i)(3−4i)=9+16=25.Parte real e imaginaria: En a+bi, a es la parte real y b es la parte imaginaria. Estas partes se pueden extraer usando operaciones matemáticas. Ejemplo: En 5+7i, la parte real es 5 y la parte imaginaria es 7.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

El Teorema Fundamental del Álgebra establece que todo polinomio con coeficientes complejos posee una raíz compleja. El nombre de Teorema Fundamental del Álgebra obedece a razones históricas, pues los matemáticos tardaron varios siglos en probar este teorema, y hasta mediados del siglo XIX, el estudio de los polinomios de variable compleja y sus raíces era un tema de importancia fundamental dentro del Álgebra. Hoy en día tenemos resultados en Álgebra, quizás mucho más importantes y fundamentales que éste. El estudio de los polinomios es apenas una pequeña parcela en el inmenso país del álgebra. El nombre más acertado para el teorema debería ser el de “Teorema Fundamental de los Números Complejos".

Sistemas de ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales son aquellas en las que el máximo exponente de la incógnita es 1. Podemos encontrar soluciones reales o imaginarias. Para resolver estas ecuaciones, sólo se tiene que usar métodos algebraicos, como el despeje y la manipulación de términos. Se pueden resolver usando matrices y métodos algebraicos extendidos al conjunto de los números complejos.Ejemplo:

• { z1+iz2=3+4i

(1−i)z1+2z2=5+i Matriz de coeficientes y términos independientes:

• A = (1 i B= (3 + 4i

1-i 2) 5 + i ) Resolviendo el sistema usando el método de eliminación de Gauss o inversa de matrices, se obtiene: (z1 = (2+i z2) 1-2i)

OTRO EJEMPLO

Métodos de resolución

ORIGEN

La fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado ax2 +bx+c = 0 es conocida desde tiempos de los griegos. Se sabía que algunas de estas ecuaciones tienen 2 soluciones, otras tienen una y otras ninguna, que están dadas por x = −b±√b2−4ac 2a y dependen de que la expresión dentro de la raiz cuadrada sea positiva, nula o negativa. Siglo XVI: Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el matemático italiano Girolamo Cardaco, en un tratado monumental acerca de la solución de la ecuación cúbica y cuártica titulado Ars Magna. Surgieron para resolver ecuaciones cúbicas que no tenían soluciones reales. Matemáticos como Rafael Bombelli y Gerolamo Cardano fueron pioneros en el desarrollo de estos números. Desarrollo posterior: Matemáticos como Euler y Gauss ampliaron el uso y la teoría de los números complejos, integrándolos en diversas ramas de las matemáticas y la física.

Teorema de De Moivre

En el teorema se establece que cuando se tiene un número complejo en la forma polar z = rƟ, en la que r es el módulo del número complejo z, el ángulo Ɵ es la amplitud del número complejo en el que 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, de forma que para poder calcular su n-ésima potencia no se necesita múltiplicarlo por sí mismo n-veces.De esta forma, en el teorema se indica que cuando se escribe z en una forma trigonométrica, para poder calcular la n-ésima potencia se puede utilizar: Si z = r (cos Ɵ + i * sen Ɵ) entonces zn = rn (cos n*Ɵ + i * sen n*Ɵ).En este caso, si n = 2, entonces quiere decir que z² = r²[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Si se tiene que n = 3, entonces z³ = z² * z.O bien, también:z³ = r²[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] * r [cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r³[cos 3(Ɵ) + i sen 3 (Ɵ)].Asimismo, de esta forma es posible llegar a las razones trigonométricas del seno y coseno en lso múltiplos de un ángulo, esto sólo cuando las razones trigonométricas del ángulo se conozcan.El teorema también puede ser usada para poder encontrar expresiones precisas y que no sean confusas para la n-ésima raíz de un número complejo z, en donde z n = 1-.

Base inductiva

Inducción

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Multiplicación:Utilizar la propiedad distributiva y aplicar las propiedades de i.

• Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 4i) = 3 + 12i + 2i + 8i^2 = 3 + 14i - 8 = -5 + 14i

División:Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador para racionalizar.

• Ejemplo: (3 + 2i) / (1 + i) = (3 + 2i)(1 - i) / (1 + i)(1 - i) = (3 - 3i + 2i - 2i^2) / (1 - i^2) = (3 - i + 2) / 2 = (5 - i) / 2 = 2.5 - 0.5i

PLANO COMPLEJO

Los números complejos pueden ser representados en el plano complejo. La parte real del complejo se representa en el eje de abscisas y la parte imaginaria debe de ir colocada en el eje de ordenadas. En el plano complejo, a cada número complejo z = a + bi se le asigna el punto de coordenadas P (a, b), que se denomina afijo del número complejo. Todo número complejo se puede representar como un vector OP, siendo O el origen de coordenadas y P el afijo del complejo. Para que podamos interpretar de forma geométrica los números complejos necesitamos valernos de lo que se conoce como plano complejo. En los casos de las sumas, ésta se puede relacionar con la de los vectores, mientras que en la multiplicación se hace posible expresarlos mediante el uso de coordenadas polares utilizando las siguientes características:

• La magnitud del producto es la multiplicación de las magnitudes de los términos.
• El ángulo que va desde el eje real del resultado o producto va a resultar de la suma de todos los ángulos de los términos.

A la hora de hacer la representación de las posiciones de los polos y de los ceros de una función de un plano complejo, generalmente se usan los denominados diagramas de Argand.

OPERACIONES

Las operaciones que pueden ser realizadas utilizando números complejos son las siguientes:

• Sumar números complejos.
• Restar números complejos.
• Multiplicar números complejos.
• Encontrar conjugados de números complejos

• Dividir números complejos.

BIBLIOGRAFÍA

• Rivero Mendoza F. (2001). Introducción a los números complejos. Universidad Veracruzana. Recuperado el 13 de Noviembre del 2024 de https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/01a.-INTRODUCCION-A-LOS-NUMEROS-COMPLEJOS.pdf
• Max, M. (s.f.). Notas de cálculo complejo. Universidad Nacional Autónoma de México. Recuperado el 13 de Noviembre del 2024 de https://www.matem.unam.mx/~max/VC/N1.pdf
• Huera Guzmán J. (s.f.). Aplicaciones de los números complejos. Recuperado el 13 de Noviembre del 2024 de https://www.neurochispas.com/wiki/aplicaciones-de-los-numeros-complejos/
• Teorema. (2019, octubre 18). Teorema de Moivre y explicación fácil. Teorema. Recuperado el 13 de Noviembre del 2024 de https://www.teorema.top/teorema-de-moivre/
• Lorente, J. L. (s.f.). Tema 4: Números Complejos y Ecuaciones Polinómicas. Recuperado el 13 de Noviembre del 2024 de http://www.joseluislorente.es/1mat/t4.pdf
• Briceño, G., V. (2021, 2 diciembre). Números complejos | Qué son, cuáles son, para qué sirven, características. Euston96. Recuperado el 13 de Noviembre del 2024 de https://www.euston96.com/numeros-complejos/
• Fernández, J., & Fernández, J. (2024, 15 junio). Resolución y ejemplos prácticos de Ecuaciones con Números Complejos. Soy Matemáticas. Recuperado el 13 de Noviembre del 2024 de https://soymatematicas.com/ecuaciones-numeros-complejos/
• Medina, H. (2024, 6 mayo). Números complejos. Enciclopedia Iberoamericana. Recuperado el 13 de Noviembre de https://enciclopediaiberoamericana.com/numeros-complejos/
• Diego. (2023, 3 enero). Números complejos (C). Matemáticas Desde CERO. Recuperado el 13 de Noviembre de 2024 de https://matematicasdesdecero.com/aritmetica/conjuntos-numericos/numeros-complejos-c/

CONJUGADO

El conjugado de a+bi es a−bi. Es útil para simplificar denominadores en divisiones y para encontrar la magnitud de un número complejo.

• Ejemplo: El conjugado de 3 + 4i es 3 - 4i.

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Ecuaciones cuadráticas: En este caso el máximo exponente de la incógnita es 2. Para resolver estas ecuaciones, se puede utilizar la fórmula general o el método de completar cuadrados, etc.EJEMPLO: Si el discriminante b2−4ac es negativo, las soluciones son complejas. Ejemplo: Resolver x2+4=0: x=±−4=±2i

EJEMPLO

DEFINICIÓN ESTÁNDAR

• Forma estándar: a+bi
• a (parte real) y b (parte imaginaria) son números reales.
• i es la unidad imaginaria, definida por la propiedad i2=−1.
• Número real: Cuando b=0, el número complejo es un número real.
• Número imaginario puro: Cuando a=0, el número complejo es un número imaginario puro.

APLICACIONES

de los números complejos

Ingeniería eléctrica:

• Representación de voltajes y corrientes alternas (AC).
• Análisis de circuitos de corriente alterna, facilitando cálculos de magnitudes y fases.
• Ejemplo: Un circuito RC en serie puede ser analizado usando números complejos para representar impedancias.

Procesamiento de señales:

• Utilizados en la Transformada de Fourier para descomponer señales en sus componentes de frecuencia.
• Facilitan el diseño de filtros y la transmisión de señales.
• Ejemplo: La representación de señales en el dominio de la frecuencia usando números complejos permite la identificación y eliminación de ruido.

Física cuántica:

• Descripción de estados cuánticos y fenómenos como la interferencia y la superposición.
• Análisis de funciones de onda y operadores en mecánica cuántica.
• Ejemplo: La ecuación de Schrödinger utiliza números complejos para describir la evolución de estados cuánticos.

ECUACIONES

Esto se refiere a la resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas con números complejos, así como su aplicación en sistemas de ecuaciones y en geometría. Se pueden resolver mediante el Teorema Fundamental de Álgebra u otros dependiendo del tipo de ecuación.

ECUACIONES CÚBICAS Y DE GRADO SUPERIOR

Las ecuaciones cúbicas son aquellas en las que el máximo exponente de la incógnita es 3, y las ecuaciones de grado superior son aquellas con exponentes aún mayores. La resolución de estas ecuaciones puede involucrar métodos más complejos, como el método de Cardano o el teorema de Abel-Ruffini. La resolución de este tipo de ecuaciones es bastante complicada.

EJEMPLO

DEFINICIÓN

Un Número Complejo es una expresión del tipo:z = a + biDónde a y b son números reales e i es un símbolo, cuyo significado será aclarado más adelante. Este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación:x2 + x + 1 = 0No tiene raíces reales. Al tratar de aplicar la fórmula que da la solución de una ecuación de segundo grado, nos encontramos con la expresión:x = −1 ± √−3 / 2La cual no tiene sentido en los números reales. No se puede tener una raíz cuadrada de un número negativo. Dentro de este contexto se acepta el símbolo √−1 como una entidad matemática nueva denotado por i, el cual sería llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición i2 = −1 o bien i = √−1. Una vez hecho esto construimos un conjunto C llamado Números Complejos cuyos elementos son combinaciones de la forma z = a + bi donde a y b son números reales.

PROPIEDADES

Los números completos tienen diferentes propiedades, propiedades transitivas, propiedades de suma y propiedades de multiplicación: Propiedad distributiva: Para cualesquiera z1, z2, z3∈C se cumple que: z1⋅(z2+z3) = z1⋅z2+z1⋅z3 Propiedad transitiva: Si z1=z2 y z2=z3 entonces z1=z3

SUMA Y RESTA

de números complejos

• Adición y sustracción

Sumar partes reales e imaginarias por separado.

• Ejemplo: (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3+1) + (4i+2i) = 4 + 6i

Restar partes reales e imaginarias por separado.

• Ejemplo: (5 + 3i) - (2 + 1i) = (5-2) y (3i - 1i) = 3 + 2i

FORMA POLAR

• Forma polar: r(cosθ+isinθ) o reiθ
• r (módulo): La distancia desde el origen hasta el punto (a,b) en el plano complejo.
• θ (argumento): El ángulo que el vector forma con el eje real positivo.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Teorema Fundamental del Álgebra:Toda ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n raíces (soluciones) en el conjunto de los números complejos, considerando multiplicidades. Ejemplo: La ecuación x2+1=0 tiene dos raíces complejas: i y −i.

EJEMPLO

PROPIEDADES DE LA SUMA

• Propiedades de la suma: Se define la suma de dos números complejos z1=a + bi y z2=c + di como (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
• Propiedad de cierre o cerradura para la suma: Para z1, z2 ∈ C se tiene que z1+z2∈C
• Propiedad conmutativa: Para cualesquiera z1, z2 ∈ C se cumple que: z1+z2=z2+z1
• Propiedad asociativa: Para cualesquiera z1, z2, z3∈C se cumple que: (z1+z2) + z3=z1+(z2+z3)
• Existencia del elemento neutro para la suma: 0 + 0i, abreviado por 0, es el elemento neutro para la suma.
• Existencia del inverso aditivo u opuesto: Todo número complejo z tiene un único inverso aditivo, denotado por −z.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

• Propiedades de la multiplicación: Se define el producto de dos números complejos z1= a + bi y z2= c + di como (a + bi)⋅(c + di)=(ab − bd)+(ad + bc) i
• Propiedad de cierre o cerradura para la multiplicación: Para z1, z2∈C se tiene que z1⋅ z2 ∈ C
• Propiedad conmutativa: Para cualesquiera z1, z2 ∈ C se cumple que: z1⋅z2=z2⋅z1
• Propiedad asociativa: Para cualesquiera z1, z2, z3∈C se cumple que: (z1⋅z2) ⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)
• Existencia del elemento neutro para la multiplicación: 1 + 0i, abreviado por 1, es el elemento neutro para la multiplicación.
• Existencia del inverso multiplicativo o recíproco: Todo número complejo z, distinta de 0, tiene un único inverso multiplicativo, denotado por z−1