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introducción

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Este manual te guiará paso a paso en el mundo de los polinomios, desde las operaciones básicas hasta la resolución de problemas reales. Aprenderás a sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios, y cómo aplicar estos conocimientos para optimizar procesos y tomar decisiones informadas.

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suma

pasos

Identifica los términos semejantes: Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Por ejemplo, en los términos 3x²y y -2x²y, tanto x² como y están elevados al mismo exponente en ambos términos, por lo que son semejantes. Agrupa los términos semejantes: Coloca los términos semejantes uno debajo del otro, alineando las variables y sus exponentes. Suma los coeficientes: Suma los coeficientes de los términos semejantes. Los coeficientes son los números que multiplican a las variables. Combina los resultados: Escribe el polinomio resultante, sumando los términos semejantes que agrupaste en el paso anterior. Ejemplo: Suma los siguientes polinomios: (3x² + 2xy - 5) + (x² - 4xy + 7) Solución: Identificamos los términos semejantes: Términos con x²: 3x² y x² Términos con xy: 2xy y -4xy Términos constantes: -5 y 7 Agrupamos los términos semejantes: 3x² + 2xy - 5 x² - 4xy + 7 Sumamos los coeficientes: (3x² + x²) + (2xy - 4xy) + (-5 + 7) Combinamos los resultados: 4x² - 2xy + 2

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pasos

resta

Escribe el primer polinomio: Coloca el primer polinomio tal cual está. Cambia los signos del segundo polinomio: Cambia el signo de cada término del segundo polinomio. Si un término es positivo, lo conviertes en negativo, y si es negativo, lo conviertes en positivo. Suma los polinomios: Una vez que hayas cambiado los signos, suma los términos semejantes, tal como lo hiciste en la suma de polinomios. Ejemplo: Resta los siguientes polinomios: (5x² - 3x + 2) - (2x² + x - 4) Solución: Escribimos el primer polinomio: 5x² - 3x + 2 Cambiamos los signos del segundo polinomio: -2x² - x + 4 Sumamos los polinomios: 5x² - 3x + 2 -2x² - x + 4 3x² - 4x + 6

multiplicación

Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Suma los productos obtenidos. Ejemplo: Multiplica los siguientes polinomios: (2x + 3)(x² - 4x + 1) Solución: Multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término del segundo: 2x * x² = 2x³ 2x * -4x = -8x² 2x * 1 = 2x 3 * x² = 3x² 3 * -4x = -12x 3 * 1 = 3 Sumamos los productos obtenidos: 2x³ - 8x² + 2x + 3x² - 12x + 3 Combinamos términos semejantes: 2x³ - 5x² - 10x + 3 Por lo tanto, el producto de los polinomios (2x + 3) y (x² - 4x + 1) es 2x³ - 5x² - 10x + 3.

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multiplicación

Monomio por monomio: Se multiplican los coeficientes y las partes literales (las variables con sus exponentes). Ejemplo: (3x²)(2y) = 6x²y Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio y luego se suman los resultados. Ejemplo: 2x(x² - 3x + 5) = 2x³ - 6x² + 10x Binomio por binomio: Se aplica la propiedad distributiva, multiplicando cada término del primer binomio por cada término del segundo. Ejemplo: (x + 2)(x - 3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6 A este tipo de multiplicación también se le conoce como producto notable y existen algunas fórmulas que facilitan el cálculo, como el cuadrado de un binomio, suma por diferencia, etc. Polinomio por polinomio: Se aplica la propiedad distributiva de manera general, multiplicando cada término de un polinomio por cada término del otro. Ejemplo: (2x² + 3x - 1)(x² - 2x + 4) Este tipo de multiplicación puede ser más extenso, pero el procedimiento es el mismo.

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división

Organiza los polinomios: Orden decreciente: Asegúrate de que ambos polinomios estén ordenados en forma descendente según los exponentes de la variable. Coeficientes nulos: Si falta algún término en alguno de los polinomios, deja un espacio o coloca un coeficiente cero para mantener la alineación. Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor El resultado de esta división será el primer término del cociente. Escríbelo encima de la barra de división, alineado con el término del dividendo que utilizaste. Multiplica el cociente obtenido por todo el divisor: El resultado de esta multiplicación lo colocarás debajo del dividendo, alineando los términos semejantes. Resta: Resta el resultado de la multiplicación del dividendo. Baja el siguiente término: Baja el siguiente término del dividendo y repite los pasos 2, 3 y 4 hasta que no haya más términos para bajar. Ejemplo: 3x² - 4x + 3 ____________________ x + 2 | 3x³ + 2x² - 5x + 1 - (3x³ + 6x²) -4x² - 5x - (-4x² - 8x) 3x + 1 - (3x + 6) -5 Cociente: 3x² - 4x + 3 Resto: -5

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división

División de un polinomio por un monomio: Características: El divisor es un solo término (monomio). Procedimiento: Se divide cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplo: (6x³ + 4x² - 2x) ÷ 2x = 3x² + 2x - 1 División de un polinomio por un binomio: Características: El divisor es un binomio (expresión de dos términos). Procedimiento: Se utiliza el método de la división larga o sintética. Ejemplo: (x³ - 2x² + 3x - 1) ÷ (x - 1) División de un polinomio por un polinomio de grado mayor a uno: Características: El divisor tiene más de dos términos. Procedimiento: Se utiliza el método de la división larga. Ejemplo: (2x⁴ - 3x³ + x² - 5x + 2) ÷ (x² - x + 1) Método de la División Larga: Este método es el más general y se utiliza para dividir cualquier polinomio entre otro. Los pasos ya los hemos visto en el ejemplo anterior, pero aquí te los resumo: Organizar: Escribe los polinomios en forma descendente según los exponentes. Dividir: Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Multiplicar: Multiplica el resultado de la división por todo el divisor. Restar: Resta el resultado de la multiplicación del dividendo. Bajar: Baja el siguiente término y repite los pasos.

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productos notables

Tipos más comunes de productos notables: Binomio al cuadrado: (a + b)² = a² + 2ab + b² binomio conjugado: (a + b)(a - b) = a² - b² Binomio al cubo: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Ejemplo: Imagina que queremos calcular el siguiente producto: (x + 3)². En lugar de multiplicar (x + 3) por sí mismo, podemos aplicar la fórmula del binomio al cuadrado: (x + 3)² = x² + 2 * x * 3 + 3² Simplificando: (x + 3)² = x² + 6x + 9 Como ves, aplicando la fórmula del producto notable, obtuvimos el resultado de manera rápida y sencilla.

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productos notables

Tipos más comunes de productos notables: Binomio al cuadrado: (a + b)² = a² + 2ab + b² binomio conjugado: (a + b)(a - b) = a² - b² Binomio al cubo: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Ejemplos:

1. Binomio al cuadradoFórmula: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Ejemplo: ( x + 5 ) 2 = x 2 + 2 ( x ) ( 5 ) + 5 2 = x 2 + 10 x + 25 (x+5) 2 =x 2 +2(x)(5)+5 2 =x 2 +10x+25 Caso con resta: ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 Ejemplo: ( 2 x − 3 ) 2 = ( 2 x ) 2 − 2 ( 2 x ) ( 3 ) + 3 2 = 4 x 2 − 12 x + 9 (2x−3) 2 =(2x) 2 −2(2x)(3)+3 2 =4x 2 −12x+9

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factorización

Tipos de factorización: Factor común: Se saca el factor común a todos los términos de una expresión. Diferencia de cuadrados: Se aplica a expresiones de la forma a² - b². Trinomio cuadrado perfecto: Se aplica a trinomios que son el resultado de elevar un binomio al cuadrado. Trinomio de la forma ax² + bx + c: Se buscan dos números que multiplicados den "ac" y sumados den "b". Ejemplo: Factoriza la siguiente expresión: x² + 5x + 6 Buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5. Esos números son 3 y 2. Entonces, x² + 5x + 6 se puede factorizar como (x + 3)(x + 2).

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ecuaciones

¡Claro! Con gusto te explico de manera detallada qué son las ecuaciones. ¿Qué es una ecuación? Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas. Estas expresiones contienen números, variables (letras que representan valores desconocidos) y operadores matemáticos como suma, resta, multiplicación y división. Elementos de una ecuación: Términos: Cada parte de una expresión algebraica separada por signos de suma o resta. Variables: Las letras que representan valores desconocidos. Coeficientes: Los números que multiplican a las variables. Término independiente: El número que no está acompañado de ninguna variable. Igualdad: El signo igual (=) que indica que las expresiones a ambos lados tienen el mismo valor. Ejemplo: 2x + 5 = 11 En esta ecuación: Los términos son: 2x y 5 en el lado izquierdo, y 11 en el lado derecho. La variable es: x El coeficiente es: 2 El término independiente es: 5

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ecuaciones

¿Para qué sirven las ecuaciones? Las ecuaciones son fundamentales en matemáticas porque nos permiten: Representar situaciones problemáticas: Muchas situaciones de la vida real se pueden modelar utilizando ecuaciones. Encontrar valores desconocidos: Al resolver una ecuación, encontramos el valor de la variable que hace que la igualdad sea verdadera. Resolver problemas: Las ecuaciones son una herramienta esencial para resolver una gran variedad de problemas en diferentes campos, como física, ingeniería, economía, etc. Tipos de ecuaciones: Existen muchos tipos de ecuaciones, pero algunos de los más comunes son: Lineales: Aquellas en las que la variable aparece elevada a la potencia 1. Cuadráticas: Aquellas en las que la variable aparece elevada a la potencia 2. Polinómicas: Aquellas en las que la variable aparece elevada a potencias enteras no negativas. Exponenciales: Aquellas en las que la variable aparece como exponente. Logarítmicas: Aquellas en las que la variable aparece dentro de un logaritmo. Trigonometricas: Aquellas que involucran funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente, etc. Resolver una ecuación: Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la variable que hace que la igualdad sea verdadera. Para ello, se realizan operaciones matemáticas en ambos lados de la ecuación hasta dejar la variable sola en un miembro. Ejemplo: Resolvamos la ecuación 2x + 5 = 11 Restamos 5 a ambos lados: 2x = 6 Dividimos ambos lados entre 2: x = 3 Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = 3.

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