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Révision mathématique

Les Suites

Somme d'une suite de terme

Exercice

Suite arithmétique

Méthode rédaction récurrence

Suite géométrique

Sommaire

Le rapport entre un terme et son précédent doit toujours être égale à une constante On fait donc U1/U0, U2/U1 etc... Si les quotient ne sont pas égaux, alors ce n'est pas une suite géomètrique

exemple : U0=4 U1=16 U2=64 U3=256 .... En faisant U1/U0, U2/U1, on remarque que les termes sont multiplié par 4. En effet, U1/U0= 16/4 = 4 et U2/U1= 64/16 = 4

Une suite géomètrique est une suite de terme où d'un terme à l'autre, on multiplie par le même nombre

SUITE GEOMETRIQUE

Un= U0 x qn

Un= U2 x q x n

Pour tout entier n, quelle est la formule pour un en fonction de n d'une suite géomètrique ?

Quand on sait qu'une suite est géomètrique, on peut donc écrire cette phrase : "(un) est une suite géomètrique de raison q et de premier terme u0"

Un+1= Un + qn

Un+1= Un x q

Formule de un+1 en fonction de un pour une suite géomètrique :

Suite geometrique

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Bien Joué !!!

(un) est une suite géomètrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : un+1= q x un Le nombre q est appelé raison de la suite

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exemple : U0= 5 U1= 11 U2= 17 U3= 23 .... En faisant U0 - U1 et U1 - U2, on remarque que les termes sont additionnés par 6. En effet, U1 - U0 = 11 - 5 = 6 ; U2 - U1= 17 - 11 = 6

Pour savoir si une suite est arithmétique, on soustrait un terme avec le terme précédent. 2 différences doit donner un chiffre constant U1 - U0 ; U2 - U1 ; U3 - U2 .... Si deux différences ne sont pas égaux, alors ce n'est pas une suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite où pour passer d'un terme à l'autre, on doit additionner par le même nombre. Le nombre peut être négatif ou positif.

Suite arithmétique

Un= U4+r/n

Un= U0+nxr

Quelle est la formule d'une suite arithmétique de un par rapport à n ?

Quand une suite (un) est une suite arithmétique, on peut écrire : La suite (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.

Un+1= Un+r

Un+1= Un+2r

La formule d'une suite arithmétique pour Un+1 par rapport à Un est :

Suite arithmétique

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Réessaye !

Dommage....

(Un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout n, on a : un+1= un+r Le nombre r est appelé raison de la suite

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Tu as réussis !!!

Enoncé: On considère la suite (Un) définie par : U0= 5 ; Un+1= Un + 2n Pour tout n appartenant à N Etablir à l'aide d'un raisonnement par récurrence : Un= 2n + 4 pour tout n appartenant à N

Exemple d'une méthode de rédaction pour la récurrence

La méthode par récurrence sert à démontrer qu'une propriété est vrai pour tout n appartenant à N.

A quoi sert la méthode par récurrence ?

Méthode rédaction récurrence

Pour tout n appartement à N, on pose Pn: Pn : "Un= 2n + 4" Initialisation: D'un côté on a U0= 5 et de l'autre côté on a U0= 20 + 4= 1 + 4= 5 Donc, P0 est vrai. Hérédité: Soit n appartenant à N fixé. On suppose que Pn est vrai, i.e. Un= 2n + 4

Méthode rédaction récurrence

On démontre alors que Pn+1 est vrai, i.e. que Un+1= 2n+1 + 4 D'après l'énoncé, Un+1 = Un + 2n Donc, Un+1= Un + 2n Un+1= (2n + 4) + 2n Un+1= 2n + 2n + 4 Un+1= 2 x 2n + 4 Un+1= 2n+1 + 4 (= Pn+1)

Méthode rédaction récurrence

Donc, Pn+1 est vrai. Conclusion: Donc, d'après l'axiome de récurrence, pour tout appartenant à N, Pn est vrai à partir de n= 0.

méthode rédaction récurrence

Exemple: S= 1 + 2 + 3 + 4 n=4 et il y a 4 termes donc S= 4x(4+1)/2= 4x5/2= 20/2= 10 ou 4 x ((1 +4)/2)= 4x2,5= 10

Soit une suite de terme arithmétique tel que : S= U0+U1+U2+.....+Un Alors, on peut la calculer avec la formule suivante: S= nombre de terme de la somme x (1er terme + dernier terme/2) ou nx(n+1)/2

1. Suite Arithmétique

Somme d'une suite de termes

Exemple: S=1+2+22+23= 20+21+22+23 n=3 et il y a n+1 terme donc 4 termes de raison 2 Donc, S= 1-23+1/1-2= 1-24/(-1)=1-16/(-1)= (-15)/(-1)= 15 Ou, S= 1 x (1-24)/1-2= 1x (1-16)/(-1)= 1x (-15)/(-1)= 1x15= 15

Soit une suite de terme d'une suite géométrique tel que : S= V0 + V1 + V2 + ..... + Vn Alors, on peut calculer cette suite de terme avec la formule suivante: S= 1 - qn+1/ 1 - q ou 1er terme de la sonne x ((1 - qnombre de terme/1-q)

2. Suite géométrique

Somme d'une suite de termes

Exemple : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + .... + 20 = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5+ .... + 2x10 Ici, la raison est q=2 et il y a 10 termes (s'il y aurais eu le 0 en + (qui est aussi un multiple de 2), il y aurais eu donc 11 termes)

Attention ! Il existe une multitude de formule pour calculer une suite de termes Une suite de terme ne commencent pas forcément par U0, il peut commencer par U1, U2, U3.... Pour une suite géométrique, ce n'est pas forcément avec des puissances, cela peut être avec un multiplicateur !

Somme d'une suite de termes

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