TEOREMA DE GREEN
Eduardo Sandoval García
cálculo
vectorial
TEOREMA DE GREEn
ÍNDICE
Introducción
Historia
REQUISITOS PREVIOS
DeMOSTRACIÓN
Ejemplo
Problema Propuesto
Formas alternativas
ConclusiONES
Bibliografía
TEOREMA DE GREEN
Introducción
Es un método de cálculo utilizado para relacionar integrales de línea con integrales dobles de área o superficie. Las funciones implicadas deben estar denotadas como campos vectoriales y definidas dentro de la trayectoria C. Por ejemplo, una expresión de integral de línea puede ser muy complicada de resolver. Sin embargo, al implementar el teorema de Green, las integrales dobles se vuelven bastante básicas. El teorema de Green es un caso particular del teorema de Stokes, donde la proyección de la función vectorial se realiza en el plano xy.
Teorema de green
historia
Recibe este nombre en honor del matemático inglés George Green (1793-1841). Su trabajo influenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos en física. Entre sus obras más famosas se cita: "Un análisis de las aplicaciones del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo" publicado en 1828. El trabajo de Green fue poco conocido en la comunidad matemática durante su vida. En 1846, su trabajo fue redescubierto por un joven William Thomson, quien lo hizo popular entre los futuros matemáticos de la época.
TEOREMA DE GREEN
REQUISITOS pREVIOS
Para que el teorema de Green sea aplicable debe cumplirse las siguientes condiciones: Sea R una región simplemente conexa cuya frontera es una curva C suave a trozos, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj (es decir, C se recorre una vez de manera que la región R siempre quede a la izquierda). Si M y N tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a R, entonces
TEOREMA DE GREEN
dEMOSTRACIÓN
Se da una demostración sólo para una región que es vertical y horizontal simple, como se ve en la figura:
TEOREMA DE GREEN
dEMOSTRACIÓN
Por otro lado
TEOREMA DE GREEN
dEMOSTRACIÓN
Por consiguiente,
De manera similar, se puede usar g1(y) y g2(y) para demostrar que
Sumando las integrales obtenidas, se llega a la conclusión establecida en el teorema.
tEOREMA DE GREEN
EJEMPLO
Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea
donde C es la trayectoria desde (0,0) hasta (1,1) a lo largo de la gráfica de y = x3 y desde (1,1) hasta (0,0) a lo largo de la gráfica de y = x, como se muesta en la figura.
tEOREMA DE GREEN
EJEMPLO
Como M = y3 y N = x3 + 3xy2, se sigue que
Aplicando el teorema de Green, entonces
tEOREMA DE GREEN
PROBLEMA PROPUESTO
El teorema de Green extendido a una región con un orificio
Sea R la región interior a la elipse (x2/9) + (y2/4) = 1 y exterior al círculo x2 + y2 = 1. Evaluar la integral de línea
donce C = C1 + C2 es la frontera de R, como se muestra en la figura.
tEOREMA DE GREEN
FORMAS ALTERNATIVAS
Esta sección nos da la deducción de dos formulaciones vectoriales del teorema de Green para regiones en el plano. Si F es un campo vectorial en el plano, se puede escribir F(x,y,z) = M i + N j + 0 k por lo que el rotacional de F, esta dado por Por consiguiente,
tEOREMA DE GREEN
FORMAS ALTERNATIVAS
Con condiciones apropiadas sobre F, C y R, se puede escribir el teorema de Green en forma vectorial La extensión de esta forma vectorial a superficies en el espacio da lugar al teorma de Stokes.
tEOREMA DE GREEN
FORMAS ALTERNATIVAS
Para la segunda forma vectorial, supóngase las mismas condiciones sobre F, C y R. Utilizando el parámetro longitud de arco s para C, se tiene r(s) = x(s) i + y(s) j. Por lo tanto, un vector unitario tangente T a la curva C está dado por r'(s) = T = x'(s) i + y'(s) j. En la figura se puede ver que el vector unitario normal exterior N puede entonces escribirse como N = y'(s) i - x'(s) j
tEOREMA DE GREEN
FORMAS ALTERNATIVAS
Por consiguiente, a F(x,y,z) = M i + N j se le puede aplicar el teorema de Green para obtener
tEOREMA DE GREEN
FORMAS ALTERNATIVAS
Por consiguiente La generalización de esta forma a tres dimensiones se llama teorema de la divergencia.
Teorema de green
CONCLUSIONES
El teorema de Green no se puede aplicar a toda integral de línea. Entre las restricciones establecidas anteriormente, la curva C debe ser simple y cerrada. Sin embargo, cuando el teorema de Green es aplicable, puede ahorrar tiempo.
TEOREMA DE GREEN
bibliografía
Fuente I
fuente II
ifeder. (2023, 11 septiembre). Teorema de Green. Lifeder. https://www.lifeder.com/teorema-de-green/
The Editors of Encyclopaedia Britannica. (1998, 20 julio). George Green | Quantum Theory, Analytical Mechanics & Electromagnetism. Encyclopedia Britannica. https://www.britannica.com/biography/George-Green
Teorema de Green
SANDOVAL GARCÍA Eduardo
Created on November 12, 2024
Start designing with a free template
Discover more than 1500 professional designs like these:
View
Essential Report
View
Akihabara Report
View
Creative whitepaper
View
Social Media Plan
View
Notes Report
View
Genial Whitepaper
View
Genial reporting
Explore all templates
Transcript
TEOREMA DE GREEN
Eduardo Sandoval García
cálculo
vectorial
TEOREMA DE GREEn
ÍNDICE
Introducción
Historia
REQUISITOS PREVIOS
DeMOSTRACIÓN
Ejemplo
Problema Propuesto
Formas alternativas
ConclusiONES
Bibliografía
TEOREMA DE GREEN
Introducción
Es un método de cálculo utilizado para relacionar integrales de línea con integrales dobles de área o superficie. Las funciones implicadas deben estar denotadas como campos vectoriales y definidas dentro de la trayectoria C. Por ejemplo, una expresión de integral de línea puede ser muy complicada de resolver. Sin embargo, al implementar el teorema de Green, las integrales dobles se vuelven bastante básicas. El teorema de Green es un caso particular del teorema de Stokes, donde la proyección de la función vectorial se realiza en el plano xy.
Teorema de green
historia
Recibe este nombre en honor del matemático inglés George Green (1793-1841). Su trabajo influenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos en física. Entre sus obras más famosas se cita: "Un análisis de las aplicaciones del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo" publicado en 1828. El trabajo de Green fue poco conocido en la comunidad matemática durante su vida. En 1846, su trabajo fue redescubierto por un joven William Thomson, quien lo hizo popular entre los futuros matemáticos de la época.
TEOREMA DE GREEN
REQUISITOS pREVIOS
Para que el teorema de Green sea aplicable debe cumplirse las siguientes condiciones: Sea R una región simplemente conexa cuya frontera es una curva C suave a trozos, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj (es decir, C se recorre una vez de manera que la región R siempre quede a la izquierda). Si M y N tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a R, entonces
TEOREMA DE GREEN
dEMOSTRACIÓN
Se da una demostración sólo para una región que es vertical y horizontal simple, como se ve en la figura:
TEOREMA DE GREEN
dEMOSTRACIÓN
Por otro lado
TEOREMA DE GREEN
dEMOSTRACIÓN
Por consiguiente,
De manera similar, se puede usar g1(y) y g2(y) para demostrar que
Sumando las integrales obtenidas, se llega a la conclusión establecida en el teorema.
tEOREMA DE GREEN
EJEMPLO
Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea
donde C es la trayectoria desde (0,0) hasta (1,1) a lo largo de la gráfica de y = x3 y desde (1,1) hasta (0,0) a lo largo de la gráfica de y = x, como se muesta en la figura.
tEOREMA DE GREEN
EJEMPLO
Como M = y3 y N = x3 + 3xy2, se sigue que
Aplicando el teorema de Green, entonces
tEOREMA DE GREEN
PROBLEMA PROPUESTO
El teorema de Green extendido a una región con un orificio
Sea R la región interior a la elipse (x2/9) + (y2/4) = 1 y exterior al círculo x2 + y2 = 1. Evaluar la integral de línea
donce C = C1 + C2 es la frontera de R, como se muestra en la figura.
tEOREMA DE GREEN
FORMAS ALTERNATIVAS
Esta sección nos da la deducción de dos formulaciones vectoriales del teorema de Green para regiones en el plano. Si F es un campo vectorial en el plano, se puede escribir F(x,y,z) = M i + N j + 0 k por lo que el rotacional de F, esta dado por Por consiguiente,
tEOREMA DE GREEN
FORMAS ALTERNATIVAS
Con condiciones apropiadas sobre F, C y R, se puede escribir el teorema de Green en forma vectorial La extensión de esta forma vectorial a superficies en el espacio da lugar al teorma de Stokes.
tEOREMA DE GREEN
FORMAS ALTERNATIVAS
Para la segunda forma vectorial, supóngase las mismas condiciones sobre F, C y R. Utilizando el parámetro longitud de arco s para C, se tiene r(s) = x(s) i + y(s) j. Por lo tanto, un vector unitario tangente T a la curva C está dado por r'(s) = T = x'(s) i + y'(s) j. En la figura se puede ver que el vector unitario normal exterior N puede entonces escribirse como N = y'(s) i - x'(s) j
tEOREMA DE GREEN
FORMAS ALTERNATIVAS
Por consiguiente, a F(x,y,z) = M i + N j se le puede aplicar el teorema de Green para obtener
tEOREMA DE GREEN
FORMAS ALTERNATIVAS
Por consiguiente La generalización de esta forma a tres dimensiones se llama teorema de la divergencia.
Teorema de green
CONCLUSIONES
El teorema de Green no se puede aplicar a toda integral de línea. Entre las restricciones establecidas anteriormente, la curva C debe ser simple y cerrada. Sin embargo, cuando el teorema de Green es aplicable, puede ahorrar tiempo.
TEOREMA DE GREEN
bibliografía
Fuente I
fuente II
ifeder. (2023, 11 septiembre). Teorema de Green. Lifeder. https://www.lifeder.com/teorema-de-green/
The Editors of Encyclopaedia Britannica. (1998, 20 julio). George Green | Quantum Theory, Analytical Mechanics & Electromagnetism. Encyclopedia Britannica. https://www.britannica.com/biography/George-Green