Copia - ptos notables de un triangulo y la recta de euler

puntos notables de un triángulo (Baricentro circuncentro, ortocentro)y la recta de euler

Yanelli Cabrera

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Resumen

Cada uno de los puntos notables del triángulo tienen un aspecto y/o cualidad muy importante en la geometria, ya que definen una relación unica entre los elementos del triángulo

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ÍNDICE

01.

Leonhard Paul Euler

04.

Teorema de las alturas

05.

02.

Recta de Euler

Teorema de las medianas

06.

Teorema de las mediatrices

03.

Actividad

Leonhard Paul Euler

1707-1783

Euler fue un matemático y físico suizo que hizo enormes contribuciones en áreas como la teoría de números, el cálculo y la geometría

LAS MEDIANAS

LAS MEDIANAS

En un triángulo los segmentos que van de un vértice al punto medio del lado opuesto se llaman medianas. Si F, E, D son los puntos medios de BC, CA, AB respectivamente, las medianas son AF, BE, CD.

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LEMA:

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y de longitud igual a la mitad de tal tercer lado.

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Demostración de lema:

: Consideramos, en el triángulo ABC, los puntos medios E y D de los lados CA y AB respectivamente. Como AD/DB = AE/ED , tenemos, por el teorema de Thales, que ED es paralelo a BC, ahora como los lados de los triángulos ABC y FED son paralelos, estos triángulos son semejantes y la razón de semejanza es AB/(AD) = 2/1, luego AC/AE=2/1

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TEOREMA: Las medianas de un triángulo son concurrentes.

DEMOSTRACIÓN

Sea ABC el triángulo y FED, los puntos medios de BC, CA y AB, respectivamente. Si G es el punto de intersección de las medianas BE y CD y, como los lados de los triángulos GBC y G´ED son paralelos (ED es paralelo a BC por el lema anterior), los triángulos son semejantes y en razón de semejanza 2:1. Luego, las medianas BE y CD se cortan en el único punto G que divide a la mediana en razón 2:1.

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EJEMPLO

LAS MEDIATRICES

LAS MEDIATRICES

La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular al segmento que pasa por un punto medio. Una manera de caracterizarla es como el conjunto de puntos P que cumplen que la distancia a cada extremo A, B es la misma, esto es, PA=PB. En efecto, si M es el punto medio de AB y P se encuentra en la mediatriz, entonces podemos formar los dos triángulos rectángulos PAM y PBM. Por el criterio LAL, estos son congruentes (ya que AM=MB, PM es común y los ángulos entre los lados que se comparan son rectos), por tanto, PA=PB.

https://www.geogebra.org/m/zhfjs9pb

https://www.geogebra.org/m/fkftjjgs

https://www.geogebra.org/m/qsfqjwjq

LAS MEDIATRICES

La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular al segmento que pasa por un punto medio. Una manera de caracterizarla es como el conjunto de puntos P que cumplen que la distancia a cada extremo A, B es la misma, esto es, PA=PB. En efecto, si M es el punto medio de AB y P se encuentra en la mediatriz, entonces podemos formar los dos triángulos rectángulos PAM y PBM. Por el criterio LAL, estos son congruentes (ya que AM=MB, PM es común y los ángulos entre los lados que se comparan son rectos), por tanto, PA=PB.

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Teorema: Las mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes.

Demostración:

Sean l_a y l_b las mediatrices de los lados BC y CA del triángulo ABC. Sea O el punto de intersección de estas mediatrices (hay punto de intersección, ya que, si son paralelas entonces también BC y CA son paralelos, por lo que no se formaría propiamente un triángulo).

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CONTINUACION DE LA DEMOSTRACIÓN:

Veamos como que el punto O se encuentra también en la mediatriz del segmento AB. Como O está en l_a, OB=OC y como O se encuentra en l_b, OA=OC. Luego, O cumple que OA=OB, esto es, O está en la mediatriz de AB.

Data

Data

Data

El punto de concurrencia de las mediatrices, que se denota por O, se conoce como circuncentro del triángulo ABC. Como los vértices equidistan a O, la circunferencia de centro o y radio R (la distancia común a los vértices) pasa por los vértices. La circunferencia se llama circuncirculo del triángulo ABC y el radio R el circunradio.

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EJEMPLO

LAS ALTURAS

Teorema: Las 〖alturas〗^3 de un triángulo son concurrentes.

Demostración:

Sea ABC el triángulo y trazamos por cada vértice la recta que es paralela al lado opuesto al vértice, estas rectas paralelas determinan un triángulo DEF, Como ABCB´, AC´BC y ABA´C son paralelogramos, tenemos que A, B, y C son puntos medios de B´C´, C´A´ y A´B´ respectivamente y las alturas de ABC son las mediatrices del triángulo A´B´C´ que sabemos, por la sección anterior, que son concurrentes. Luego, las alturas de ABC son concurrentes.

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EJEMPLO

LA RECTA DE EULER

La recta de Euler es la colinealidad (puntos en la misma recta) de los puntos notables del triángulos como lo son el baricentro, circuncentro y el ortocentro, solo que en triangulo no tiene que ser equilátero ya que si lo es, los tres puntos serian el mismo

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LA RECTA DE EULER

Si es un triangulo equilatero se veria así.

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Gracias por su atención

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