Múltiplos y Divisores

Múltiplos y divisores

Tema 3

Índice

1. Múltiplos

2. Mínimo común múltiplo

3. Divisores

4. Criterios de divisibilidad

5. Máximo común divisor.

Múltiplos

Definición

Los múltiplos de un número "a" son los resultados de multiplicar ese número por los números naturales (que son aquellos que van desde el 0 al infinito).a x 0, a x 1, a x 2, a x 3, a x 4, a x 39, a x 120 Ej: los 8 primeros múltiplos de 8 son: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48 y 56 porque: 8 x 0 = 0 8 x 4 = 32 8 x 1 = 8 8 x 5 = 40 8 x 2 = 16 8 x 6 = 48 8 x 3 = 24 8 x 7 = 56

El conjunto de los múltiplos de un número es un conjunto infinito.

Múltiplos

La suma de varios múltiplos de un número es múltiplo de ese número.

Propiedades

Cualquier número es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

El número 0 es múltiplo de cualquier número.

Procedimiento inverso

¿Cómo averiguamos si un número es múltiplo de otro? Ej: ¿Es 68 múltiplo de 3? ¿y de 4?

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Mínimo común múltiplo

¿En qué situaciones usamos el m.c.m?

Nicolás tiene configurado el teléfono para que se actualice el Whatsapp cada 12 días y el instagram cada 15 días. Si hoy día 23 se actualizaron las dos aplicaciones ¿Cuántos días pasarán hasta que se vuelvan a actualizar juntas de nuevo?

Un semáforo se pone en rojo cada 14 segundos y otro 8 segundos. Si a las 9:30 de la mañana estaban ambos en rojo ¿Cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a estar en rojo?

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el múltiplo común más pequeño de dichos números. El año pasado lo estudiamos de la siguiente manera: Ej: m.c.m (14 y 8) = 56 14 = 0, 14, 28, 42, 56... 8 = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56...

Divisores

Definición

Los divisores de un número natural "a" son todos aquellos números que dividen de forma exacta al número "a".

En este caso 6 es un divisor de 12 porque al realizar la división nos da exacta. Pero recuerda un truco y es que otro divisor de 12 también es el cociente de la división.En este caso en esta división observamos que 12 tiene como divisores el 2 y el 6. Así podemos decir que 6 y 2 son divisores de 12 y por tanto 12 es múltiplo de 2 y 6.

El conjunto de los divisores de un número es un conjunto finito.

Divisores

¿La suma de varios divisores de un número es divisor de ese número?

Propiedades

Cualquier número es divisor de sí mismo.

¿La diferencia de dos divisores de un número es otro divisor de dicho número?

El número 1 es divisor de cualquier número.

Búsqueda de todos los divisores de un número.

Pasos

Trucos

Dividimos el número señalado entre los números naturales hasta llegar a sí mismo

- Usamos el truco de las parejas para no realizar todas las divisiones.1, 2, 4, 8 - Si nos aprendemos los criterios de divisibilidad nos ahorramos también realizar algunas divisiones.

8 40 2

8 20 4

8 32 2

8 10 8

8 62 1

8 71 1

8 80 1

8 53 1

Si queremos conocer los divisores de 89 ¿Tenemos que realizar todas las divisiones hasta llegar al 89?

Nooooo, sería una locura. Para ello podemos parar en dos momentos:- Cuando lleguemos a un número que ya sabemos que es un divisor de 89, por la regla de las parejas. - Y cuando el cociente de la división sea menor que el divisor.

Criterios de divisibilidad

Máximo común divisor

¿En qué situaciones usamos el m.c.d?

En una bodega hay tres toneles de vino uno de 250 l, otro de 360 l y un último de 120 l. Se desea embotellar todo el vino en botellas de la misma capacidad sin que sobre nada ¿qué capacidad tendrán las botellas?

Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos o más números es el divisor común más grande de dichos números. El año pasado lo estudiamos de la siguiente manera: Ej: m.c.d (250, 360 y 120) = 10 250 = 1, 2, 5, 10, 25 50, 125 y 250. 360 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 y 360. 120 =1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 y 120.

¡Gracias!