COORDENADAS ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS
COORDENADAS ESFÉRICAS
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Son un sistema de coordenadas tridimensional. Este sistema tiene la forma (ρ, θ, φ), en donde, ρ es la distancia desde el origen hasta el punto, θ es el ángulo formado con respecto al eje x y φ es el ángulo formado con respecto al eje z.
Fórmulas de conversión de esféricas a cartesianas
Fórmulas de conversión de cartesianas a esféricas
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COORDENADAS CILÍNDRICAS
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Las coordenadas cilíndricas son definidas como un sistema de coordenadas tridimensional alterno al sistema cartesiano. Las coordenadas cilíndricas son escritas en la forma (r, θ, z), en donde, r representa a la distancia desde el origen hasta el punto en el plano xy, θ representa al ángulo formado con respecto al eje x y z es el componente z, el cual es el mismo que en coordenadas cartesianas.
Fórmulas de conversión de cilíndricas a cartesianas
Fórmulas de conversión de cartesianas a cilíndricas
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América Itzel Reyes Alatorre
¿Para qué es útil?
El sistema de coordenadas esféricas es útil cuando queremos graficar figuras esféricas o figuras que están definidas a base de ángulos. Este sistema de coordenadas es principalmente conveniente en el cálculo.
Muchas veces encontrar las derivadas o integrales de figuras esféricas puede resultar más fácil usando este sistema, ya que podemos describir a las figuras usando ecuaciones más simples y convenientes.
Para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, usamos el mismo diagrama:
El componente ρ puede ser encontrado en términos de x, y, z usando el teorema de Pitágoras en tres dimensiones. Entonces, tenemos:
El ángulo θ es encontrado usando el mismo proceso de coordenadas cilíndricas. Usamos a la tangente inversa, en donde, y es el lado opuesto del ángulo y x es el lado adyacente. Entonces, tenemos:
Algo que debemos considerar es que, muchas veces el ángulo dado por la calculadora no es el correcto. Esto es debido a que la función tangente inversa tiene un rango que va desde , por lo que no cubre los cuatro cuadrantes. Para corregir esto, sumamos 180° o π si es que el punto está en el segundo o tercer cuadrante y sumamos 360° o 2π si es que el punto está en el cuarto cuadrante. Si es que el punto está en el primer cuadrante, el valor dado por la calculadora sí es correcto.
Para encontrar al ángulo φ, podemos usar la función coseno. Vemos que el lado adyacente a este ángulo es el lado z y la hipotenusa es igual a ρ. Entonces, tenemos:
Usemos el siguiente diagrama para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas:
Podemos usar triángulos rectángulos y trigonometría para obtener ecuaciones para ρ, θ, φ en términos de x, y, z. La derivación de estas ecuaciones resulta más fácil si es que empezamos transformando de coordenadas esféricas a cilíndricas y luego, de coordenadas cilíndricas a cartesianas. Entonces, usamos el siguiente diagrama:
Podemos encontrar a r y z usando la función seno y coseno respectivamente:
El tercer componente aquí es θ. Ahora, usamos las fórmulas de transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas:
Si es que usamos estos dos conjuntos de ecuaciones, tenemos:
¿Para qué es útil?
Este sistema de coordenadas es usado principalmente para graficar figuras con forma cilíndrica como tubos o tanques. Esto resulta principalmente conveniente en el cálculo, ya que dependiendo en las ecuaciones dadas, encontrar sus derivadas o integrales puede resultar más fácil.
Para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas cartesianas a cilíndricas, vamos a usar el mismo diagrama:
El valor de r es encontrado usando el teorema de Pitágoras con los componentes x y y. Entonces, tenemos:
El ángulo θ puede ser encontrado usando la tangente inversa. Sabemos que la tangente es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. En el diagrama, vemos que el lado opuesto es y y el lado adycente es x. Entonces, tenemos:
Algo que debemos tener en cuenta con este ángulo es que a veces, el valor dado por la calculadora es incorrecto. Esto se debe a que las salidas de la tangente inversa van desde y esto no cubre los cuatro cuadrantes. Podemos corregir esto al sumar 180° o π cuando el punto está en el segundo y tercer cuadrantes y sumar 360° o 2π cuando el punto está en el cuarto cuadrante. Cuando el punto está en el primer cuadrante, el valor dado por la calculadora es el correcto.
Usamos el siguiente diagrama para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas:
Podemos mirar que la coordenada z es la misma en ambos sistemas. Entonces, solo tenemos que encontrar los valores de x y y en términos de r y θ. Podemos usar la función coseno para encontrar al componente x y la función seno para encontrar al componente y. Entonces, tenemos:
Infografia Coordenadas Esféricas y Cilíndricas
América Itzel Reyes Alatorre
Created on November 6, 2024
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COORDENADAS ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS
COORDENADAS ESFÉRICAS
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Son un sistema de coordenadas tridimensional. Este sistema tiene la forma (ρ, θ, φ), en donde, ρ es la distancia desde el origen hasta el punto, θ es el ángulo formado con respecto al eje x y φ es el ángulo formado con respecto al eje z.
Fórmulas de conversión de esféricas a cartesianas
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COORDENADAS CILÍNDRICAS
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Las coordenadas cilíndricas son definidas como un sistema de coordenadas tridimensional alterno al sistema cartesiano. Las coordenadas cilíndricas son escritas en la forma (r, θ, z), en donde, r representa a la distancia desde el origen hasta el punto en el plano xy, θ representa al ángulo formado con respecto al eje x y z es el componente z, el cual es el mismo que en coordenadas cartesianas.
Fórmulas de conversión de cilíndricas a cartesianas
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América Itzel Reyes Alatorre
¿Para qué es útil?
El sistema de coordenadas esféricas es útil cuando queremos graficar figuras esféricas o figuras que están definidas a base de ángulos. Este sistema de coordenadas es principalmente conveniente en el cálculo.
Muchas veces encontrar las derivadas o integrales de figuras esféricas puede resultar más fácil usando este sistema, ya que podemos describir a las figuras usando ecuaciones más simples y convenientes.
Para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, usamos el mismo diagrama:
El componente ρ puede ser encontrado en términos de x, y, z usando el teorema de Pitágoras en tres dimensiones. Entonces, tenemos:
El ángulo θ es encontrado usando el mismo proceso de coordenadas cilíndricas. Usamos a la tangente inversa, en donde, y es el lado opuesto del ángulo y x es el lado adyacente. Entonces, tenemos:
Algo que debemos considerar es que, muchas veces el ángulo dado por la calculadora no es el correcto. Esto es debido a que la función tangente inversa tiene un rango que va desde , por lo que no cubre los cuatro cuadrantes. Para corregir esto, sumamos 180° o π si es que el punto está en el segundo o tercer cuadrante y sumamos 360° o 2π si es que el punto está en el cuarto cuadrante. Si es que el punto está en el primer cuadrante, el valor dado por la calculadora sí es correcto. Para encontrar al ángulo φ, podemos usar la función coseno. Vemos que el lado adyacente a este ángulo es el lado z y la hipotenusa es igual a ρ. Entonces, tenemos:
Usemos el siguiente diagrama para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas:
Podemos usar triángulos rectángulos y trigonometría para obtener ecuaciones para ρ, θ, φ en términos de x, y, z. La derivación de estas ecuaciones resulta más fácil si es que empezamos transformando de coordenadas esféricas a cilíndricas y luego, de coordenadas cilíndricas a cartesianas. Entonces, usamos el siguiente diagrama:
Podemos encontrar a r y z usando la función seno y coseno respectivamente:
El tercer componente aquí es θ. Ahora, usamos las fórmulas de transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas:
Si es que usamos estos dos conjuntos de ecuaciones, tenemos:
¿Para qué es útil?
Este sistema de coordenadas es usado principalmente para graficar figuras con forma cilíndrica como tubos o tanques. Esto resulta principalmente conveniente en el cálculo, ya que dependiendo en las ecuaciones dadas, encontrar sus derivadas o integrales puede resultar más fácil.
Para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas cartesianas a cilíndricas, vamos a usar el mismo diagrama:
El valor de r es encontrado usando el teorema de Pitágoras con los componentes x y y. Entonces, tenemos:
El ángulo θ puede ser encontrado usando la tangente inversa. Sabemos que la tangente es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. En el diagrama, vemos que el lado opuesto es y y el lado adycente es x. Entonces, tenemos:
Algo que debemos tener en cuenta con este ángulo es que a veces, el valor dado por la calculadora es incorrecto. Esto se debe a que las salidas de la tangente inversa van desde y esto no cubre los cuatro cuadrantes. Podemos corregir esto al sumar 180° o π cuando el punto está en el segundo y tercer cuadrantes y sumar 360° o 2π cuando el punto está en el cuarto cuadrante. Cuando el punto está en el primer cuadrante, el valor dado por la calculadora es el correcto.
Usamos el siguiente diagrama para derivar las fórmulas de conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas:
Podemos mirar que la coordenada z es la misma en ambos sistemas. Entonces, solo tenemos que encontrar los valores de x y y en términos de r y θ. Podemos usar la función coseno para encontrar al componente x y la función seno para encontrar al componente y. Entonces, tenemos: