PI GRECO SEZIONE AUREA

Il π

• cos'è?
• la sua storia
• perché è importante?
• com'è stato scoperto?
• il pigreco nella natura

cos'è?

Definizione

Il pi greco (π) è una costante matematica che rappresenta il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Questo numero è speciale perché ha proprietà uniche che lo rendono fondamentale in geometria, trigonometria e molte altre branche della matematica e della fisica. Vediamo le sue proprietà principali:

• Approssimazioni Pratiche
• Simmetria e Irripetibilità

• Numero Irrazionale

• Numero Trascendente
• Rapporto Universale
• Uso in Formule
• Presente in Equazioni Fondamentali

la storia del π

1949

287-212 a.C.

1650 a.C.

Primo calcolo computerizzato

Egizi

Archimede

1900-1680 a.C.

epoca classica e medioevo

Babilonesi

Aryabhata e Zu Chongzhi

L'IMPORTANZA

La ricerca di una misura accurata del valore di π ha radici profonde nell'antichità, motivata soprattutto dall’importanza del calcolo delle aree e delle circonferenze dei cerchi nelle costruzioni, nella geometria e nella scienza. Alcuni punti fondamentali sono:

1. Costruzioni e Architettura2. Astronomia e Misurazioni Celesti 3. Geometria e Matematica Pura 4. Navigazione e Cartografia 5. applicazione nella scienza

Il metodo

di

esaustione

Archimede comprese che la circonferenza di un cerchio poteva essere avvicinata usando poligoni regolari (poligoni con tutti i lati e gli angoli uguali) iscritti e circoscritti al cerchio stesso.

1. Poligoni Iscritti e Circoscritti: ° Poligono inscritto all'interno del cerchio e poligono circoscritto all'esterno. ° Aumentando i lati, il poligono si avvicina alla forma del cerchio, rendendo la somma dei lati simile alla circonferenza. 2. Approssimazione di π: ° Inizio con poligoni di 6 lati, raddoppiando fino a 96 lati. ° Calcolo delle lunghezze delle circonferenze dei poligoni, determinando che π si trova tra 3.1408 e 3.1429.

Il PI nella natura

Il Pi Greco nei Frattali e nella Natura • π è presente nelle formule che descrivono forme frattali. •Curva di Koch, Aspetti curiosi: • Le proprietà di π si manifestano a diverse scale nei frattali. • Manifestazione in natura: •propagazione delle onde, •Presente nelle spirali di conchiglie e girasoli

+ info

La sezione aurea φ

• cos'è
• applicazioni e presenza in natura
• costruzione geometrica
• curiosità storiche
• effetti sulla percezione visiva
• l'influenza sul design
• la sezione aurea e la successione di fibonacci

cos'è la sezione aurea

• Definizione: Rapporto matematico in cui un segmento è diviso in due parti.
• Proporzione: ° Rapporto totale del segmento : parte maggiore = parte maggiore : parte minore.
• Simbolo: Rappresentato dal numero irrazionale φ (phi).
• Valore: Approssimativamente 1,6180339887…

DEFINIZIONE MATEMATICA

Un segmento è suddiviso in due parti: ° Maggiore: a ° Minore: b

Condizione della Sezione Aurea: ° Si verifica quando: (a+b)/a=a/b=φ

Equazione Quadratica:

• Derivata da questa relazione: φ^2 - φ - 1 = 0

Soluzione Positiva:

• La soluzione positiva è: (1+ rad5)/2= 1.6180339887

APPLICAZIONI E PRESENZA IN NATURA

• 1. Arte e Architettura:

• Partenone di Atene
• Opere di Leonardo da Vinci

APPLICAZIONI E PRESENZA IN NATURA

• 2. Natura
• Disposizione delle foglie

• Struttura delle conchiglie
• Proporzioni del corpo umano

COSTRUZIONE GEOMETRICA

Procedura:

1. Disegnare un segmento di lunghezza “a”.
2. Costruire un quadrato avente il segmento come lato.
3. Trovare il punto medio di uno dei lati del quadrato.
4. Tracciare un arco di circonferenza che interseca il prolungamento del lato opposto.
5. Il punto di intersezione determina la lunghezza del segmento secondo la sezione aurea.

Nota: Metodo realizzabile con riga e compasso.

CURIOSITÀ STORICHE

Antichità:

• Studio della sezione aurea da parte di Euclide nel suo trattato “Elementi”.

Rinascimento:

• Matematici come Luca Pacioli esplorarono il concetto.
• Artisti come Leonardo da Vinci applicarono la sezione aurea nell'arte e nell'architettura.

Impatto:

• Riconosciuta come simbolo di armonia e bellezza.

LA SEZIONE AUREA E FIBONACCI

Definizione:

• La successione di Fibonacci è una sequenza in cui ogni numero è la somma dei due precedenti (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...).

Sezione Aurea:

• Il rapporto tra numeri consecutivi tende al valore della sezione aurea.

Applicazioni Naturali:

• Petali di fiori
• Disposizione dei semi in una mela

Principio di Crescita Ottimale:

• La successione e la sezione aurea sono collegate a proporzioni armoniche in natura.

il pi greco e la sezione aurea

Gioviano,lusiana,marco,mirko,thomas

1940

Con l’avvento dei computer nel XX secolo, la ricerca sul calcolo di pi greco ha raggiunto un nuovo livello. Nel 1949, il primo calcolo di pi greco eseguito da un computer raggiunse oltre 2000 cifre. Da allora, pi greco è stato calcolato a miliardi di cifre, con record che continuano ad essere aggiornati. Ogni nuova approssimazione di pi greco non solo rappresenta una conquista matematica, ma spesso spinge i limiti della tecnologia di calcolo.

Archimede utilizzò un metodo geometrico noto come approssimazione mediante poligoni inscritti e circoscritti.

1650 a.C.

Egizi: Approssimazione di 3,16 (Papiro di Rhind, 1650 a.C.).

1900-1680 a.C

i Babilonesi stimavano pi greco attorno a 3,125, come evidenziato su tavolette risalenti a circa il 1900-1680 a.C.

Durante l’epoca classica e il Medioevo, i matematici in varie parti del mondo continuarono ad approfondire il calcolo di pi greco. In India, Aryabhata (476-550 d.C.) propose un valore di 3,1416, che si avvicinava molto alla stima attuale. I matematici cinesi, tra cui Zu Chongzhi (429-500 d.C.), perfezionarono ulteriormente i calcoli, arrivando a una stima molto accurata tra 3,1415926 e 3,1415927.

Il Pi Greco nei Frattali e nella Natura

Uno degli aspetti più curiosi è come π sia legato ai frattali, ovvero a forme geometriche che si ripetono a varie scale. Un esempio famoso è la curva di Koch, un frattale che diventa sempre più complesso man mano che aumentiamo il numero di iterazioni. Stranamente, anche nelle formule che descrivono i frattali compare π. Inoltre, si ritrova π in fenomeni naturali, come nel modo in cui le onde si propagano o nelle spirali presenti nelle conchiglie e nei girasoli.