Copia - La circonferenza e le sue parti

E LE SUE PARTI

LA CIRCONFERENZA

Il cerchio

• I punti esterni (A), che hanno distanza del centro della circonferenza maggiore del raggio, (AO > r);
• I punti che appartengono alla circonferenza (P), che hanno distanza dal centro della circonferenza uguale al raggio, (PO = r);
• I punti interni (B), che hanno distanza dal centro della circonferenza minore al raggio, (BO > r).

Ogni segmento che unisce il centro con un punto qualsiasi della circonferenza prende il nome di raggio. In relazione alla distanza dei punti del piano dal centro della circonferenza, possiamo distinguere:

Per indicare un arco senza fare confusione, si sceglie un suo punto intermedio e lo si indica tra i due estremi nella scrittura. Riferendoci alla figura, scriveremo ABC per indicare l'arco in rosso e ADB per indicare l'arco in azzurro. Il segmento AB prende il nome di arco.

L'arco è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza viene divisa da due suoi punti detti estremi dell'arco.

L'arco

ARCHI E CORDE

I diametri di una circonferenza sono tutti fra loro congruenti, perciò: d= 2 * r. (d= diametro; r= raggio)

Gli estremi di un diametro dividono una circonferenza in due archi congruenti detti semicirconferenze; una semicirconferenza ed il relativo diametro costituiscono il contorno di un semicerchio .

Il diametro di una circonferenza è ogni corda passante per il centro della circonferenza.

Il diametro

La corda che passa per il centro della circonferenza prende il nome di diametro.

La perpendicolare ad una corda nel suo punto medio, detta asse della corda, passa per il centro della circonferenza.

La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza ad una corda divide tale a metà, questo segmento è detto distanza.

LE PROPRIETà DI ARCHI E CORDE

L'ampiezza del settore è la misura dell'angolo col vertice nel centro della circonferenza e come lati i due raggi

Il settore circolare è ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da due suoi raggi.

Il settore circolare

LE PARTI DEL CERCHIO

(A)

(B)

Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio compresa fra due parallele. La distenza tra le due basi si chiama altezza. (B)

Il segmento circolare ad una base è ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una sua corda. (A)

Il segmento circolare ad una base e due basi

La tangente ad una circonferenza è sempre perpendicolare al raggio passante per il punto di tangenza.

In questo caso la retta e la circonferenza hanno solo un punto in comune detto punto di tangenza e la sua distanza dal centro è uguale alla misura del raggio: OP = r.

Una reta è tangente ad una circonferenza se la sua distanza del centro è uguale alla misura del raggio.

Tangenti

RETTE E CIRCONFERENZE

Se da un punto esterno ad una circonferenza conduciamo le tangenti, otterremo due segmenti di tangenti congruenti, (PT1 = PT2) ; La semiretta che congiunge il punto esterno con il centro della circonferenza è bisettrice dell'angolo formato dalle due tangenti stesse, (T1PO = T2PO.

La retta e la circonferenza hanno 2 punti in comune: la retta si dice secante e la sua distanza dal centro è minore della misura del raggio, OP < r.

La retta e la circonferenza non hanno alcun punto in comune: la retta è esterna e la sua distanza dal centro della circonferenza è maggiore del raggio, OP > r;

In questo caso possono essere:

• esterne, se la distanza dei loro centri è maggiore dei loro raggi, OO' > r + r' ;
• interne, se la distanza dei loro centri è minore della differenza dei loro raggi, OO' < r - r' ;
• concentriche, se la distanza dei loro centri non esiste, la parte di piano compresa tra le due circonferenza di chiama corona circolare.

Con nessun punto in comune

LE POSIZIONI DI DUE CIRCONFERENZE

In questo caso possono essere:

• secanti, se ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza, OO' < r + r' e OO' > r - r'.

Con un solo punto in comune

In questo caso possono essere:

• tangenti esternamente, se la distanza dei loro centri è congruente alla somma dei loro raggi, OO' = r - r' ;
• tangenti internamente, se la distanza dei loro centri è congruente alla differenza dei loro raggi, OO' = r - r'.

Con un solo punto in comune

AOB

L'angolo alla circonferenza è ogni angolo convesso con il vertice su di essa ed entrambi i lati secanti la circonferenza o uno secante e l'altro tangente la circonferenza.

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

L'angolo al centro di una circonferenza ha il vertice nel suo centro, es. scrittura . Angoli al centro congruenti insistono su archi congruenti e, archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti.

ANGOLI AL CENTRO

Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro. Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco sono fra loro congruenti perché ciascuno di loro è la metà del corrispondente al centro. Ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto perché l'angolo al centro corrispondente misura 180°. Tutti i triangoli aventi il vertice sulla circonferenza e un lato coincidente con il diametro sono triangoli rettangoli; In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è congruente alla metà di questa.

Le relazioni tra gli angoli al centro e alla circonferenza

Un poligono è inscrivibile in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si intersecano nel circocentro.

I vertici appartengono tutti alla circonferenza, sono equidistanti dal centro, la distanza è detta raggio del poligono scritto. Il punto in cui tutti gli assi si intersecano si chiama circocentro che coincide con il centro della circonferenza.

I POLIGONI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENA

Fra tutti i quadrilateri solo questi tre possono essere circoscritti in una circonferenza:

quadrato

Fra tutti i quadrilateri solo questi tre possono essere inscritti in una circonferenza:

Il triangolo è sempre inscrivibile in una circonferenza e circoscrivibile a una

Triangoli inscritti e circoscritti

Quadrilateri inscritti e circoscritti

quadrato

rettangolo

rombo

trapezio isoscele

deltoide

Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza, infatti sono tutti equidistanti dal centro, tale distanza è detta apotema e coincide con il raggio della differenza. Il punto in cui si intersecano tutte le bisettrici degl'angoli interni si chiama incentro e coincide con il centro della circonferenza inscritta, in questo caso il poligono è circoscrivibile ad una circonferenza.

I POLIGONI CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA

Un poligono regolare è sempre inscrivibile e circoscrivibile a una circonferenza. Il raggio della circonferenza circoscritto è il raggio del poligono e quello della circonferenza inscritta è l'apotema del poligono.Per calcolare l'ampiezza di un angolo al centro che insiste su un lato si fa: 360°: n. lati.

I POLIGONI REGOLARI

La distanza tra il tratto V e il segmento AB forma un angolo retto ed è la piu breve. Ogni punto della bisettrice è equidistante dai lati del poligono

Tutti i punti sulla retta r sono equidistanti da A e B AMV ≡ BMV. Ogni punto della bisettrice è equidistante dai lati AOV ≡ BOV. (immagine)

dimostrazioni

360°:2=180° 180°-38°=142°= AOB

Per risolvere questo problema e scoprire la misura dell'angolo AOB, ho in anzi tutto considerato metà della circonferenza tra le due tangenti (P), che equivale a 180° e ho poi sottratto i 38° dell'angolo formato dalle tangenti, che da come risultato 142°.

Come ho svolto l'esercizio N. 89 a pag. 50

AM=AN BM=BQ DP=DN CP=CQ AM+BM+DP+CP = AN+BQ+DN+CQ AB+CD=BC+AD

In un quadrilatero circoscritto a una circonferenza la somma delle misure di due lati opposti è congurente alla somma delle misure degli altri due: ; ; . quindi, se la somma delle misure di due lati opposti è congruente a quella degli altri due, allora il quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza.

Due corde congruenti di una stessa circonferenza hanno la stessa distanza dal centro.

In una stessa circonferenza ad archi congruenti corrispondono corde congruenti e viceversa.

l l

Il rapporto tra la misura dell'apotema a e quella del lato dei poligoni regolari è costante e varia col variare del numero dei lati. Tale rapporto viene indicato con la lettera n e denominato come numero fisso: a : =n. Però ci sono dei casi particolari:

La corda che passa per il centro della circonferenza prende il nome di diametro.

La corda AB sottende l'arco AB e, viceversa, l'arco AB è sotteso dalla corda AB .

La corda di una circonferenza è ogni segmento che abbia gli estremi appartenenti alla circonferenza.

La corda

Nel caso dei quadrilateri, per verificare se può essere circoscritto in una circonferenza, bisogna congiungere due vertici opposte con il centro della circonferenza. Gli angoli opposti α β sono sepplementari, infatti 2α+2β=360° e α+β=180°.