Presentación Akihabara

"Introducción al Álgebra Booleana"

Subtítulo: Teoremas, Postulados y Aplicacione

Introducción al Álgebra Booleana

El álgebra de Boole es una rama de las matemáticas que se encarga de las operaciones lógicas con variables binarias. Se diferencia del álgebra elemental en que los valores de las variables son los valores de verdad, verdadero y falso, que se representan con los números 1 y 0, respectivamente. El álgebra de Boole se utiliza para: Representar circuitos lógicos en forma de ecuaciones Resolver y simplificar problemas en sistemas digitales Desarrollar algoritmos y estructuras de control condicional en programación Evaluar condiciones, tomar decisiones y controlar el flujo de ejecución de un programa

George Boole (1815-1864) fue un matemático y lógico británico que desarrolló el álgebra de Boole, una teoría que simplificó la lógica y sentó las bases de la revolución digita

Postulados del Álgebra Booleana

1. Postulado de Identidad: (la operación OR con 0 no cambia el valor de ). (la operación AND con 1 no cambia el valor de ). 2. Postulado de Cero y Uno: (cualquier valor OR con 1 es igual a 1). (cualquier valor AND con 0 es igual a 0). 3. Postulado de Complemento: (una variable OR con su complemento es igual a 1). (una variable AND con su complemento es igual a 0). 4. Postulado de Conmutatividad: y (el orden de los elementos no afecta el resultado). Estos postulados son fundamentales para simplificar y analizar expresiones booleanas en el diseño de circuitos.

Teoremas del Álgebra Booleanao

1. Teorema Asociativo: Para OR: . Para AND: . 2. Teorema Distributivo: Para OR y AND: . 3. Teorema de Idempotencia: y . 4. Teorema de Absorción: y . 5. Teoremas de De Morgan: . . Cada teorema ayuda a simplificar expresiones booleanas, una habilidad esencial en el diseño eficiente de circuitos.

Optimización de Expresiones Booleanas

Objetivo de la Optimización: Simplificar expresiones booleanas para reducir el número de compuertas lógicas en un circuito. Esto disminuye el costo y aumenta la eficiencia del sistema. Métodos de Optimización: Álgebra Booleana: Aplicación de los postulados y teoremas para simplificar expresiones manualmente. Mapas de Karnaugh: Herramienta gráfica que permite agrupar términos para simplificar expresiones. Útil en funciones de hasta 4 variables. Ejemplo Práctico: Considera la expresión . Aplicando álgebra booleana, se simplifica a , eliminando la necesidad de operaciones adicionales.

Aplicación en Compuertas Lógicas

Compuertas Básicas: AND: Produce 1 solo si ambas entradas son 1. OR: Produce 1 si al menos una entrada es 1. NOT: Invierte el valor de la entrada.

Compuertas Derivadas: NAND: AND seguido de NOT. NOR: OR seguido de NOT. XOR: Produce 1 si solo una de las entradas es 1. XNOR: Produce 1 si ambas entradas son iguales.

Expresiones Booleanas y Compuertas: Cada expresión booleana puede representarse mediante compuertas lógicas, lo que permite implementarlas físicamente en un circuito.

Minitérminos y Maxitérminos

Minitérminos: Expresiones en las que cada variable aparece una vez en forma directa o complementada. Representan combinaciones específicas de valores que hacen que la función sea 1. Maxitérminos: Similar a los minitérminos, pero se utilizan para representar combinaciones de valores que hacen que la función sea 0. Representación de Funciones: Las funciones booleanas pueden representarse mediante la suma de minitérminos (forma disyuntiva) o el producto de maxitérminos (forma conjuntiva). Ejemplo: Para una función de dos variables , los minitérminos y maxitérminos ayudan a expresar la función de manera estándar.

Representación de Expresiones Booleanas con Circuitos Lógicos

Paso 1: Expresión Booleana Consideremos la siguiente expresión booleana para representar en un circuito lógico: f(A, B, C) = A \cdot B + B' \cdot C 1. y son verdaderos (AND entre y ), o 2. es falso y es verdadero (AND entre el complemento de () y ).

2. Primera Compuerta AND: Toma y como entradas y produce como salida. 3. Segunda Compuerta AND: Toma (salida de la compuerta NOT) y como entradas y produce como salida. 4. Compuerta OR: Toma las salidas de ambas compuertas AND y produce la salida final de .

Paso 2: Descomposición en Compuertas Lógicas 1. Primera operación (AND): La primera parte de la expresión, , requiere una compuerta AND con entradas y . 2. Complemento (NOT): La segunda parte de la expresión, , requiere que se invierta (NOT) para obtener . 3. Segunda operación (AND): Una vez invertido , se usa otra compuerta AND para combinar y .

Diagrama del Circuito Visualización del circuito: Aquí deberías incluir un diagrama que muestre cada compuerta conectada de acuerdo con la expresión. Entradas: , , NOT: Inversor en para generar AND1: Toma y para producir AND2: Toma y para producir OR: Combina las salidas de ambas AND para dar la salida final de

4. Operación final (OR): Finalmente, se combinan los resultados de las dos operaciones anteriores usando una compuerta OR para obtener el valor final de . Paso 3: Representación del Circuito Lógico Con base en la descomposición, el circuito lógico quedaría representado de la siguiente manera: 1. Compuerta NOT: Toma el valor de como entrada y produce como salida.

Ejemplo Completo de Optimización y Representación

Compuerta OR: Finalmente, se combina (entrada directa) y (salida de la AND) con una compuerta OR para obtener . Paso 4: Diagrama del Circuito Lógico Visualización del circuito: Entradas: , , NOT: Compuerta que invierte para generar . AND: Compuerta que toma y como entradas y produce . OR: Compuerta que combina la salida de y la salida de la AND para dar la salida final de . Diagrama Esquemático: Incluye un diagrama que muestre la disposición de las compuertas:

Paso 1: Expresión Booleana Original Consideremos la siguiente expresión booleana: f(A, B, C) = A \cdot B + A \cdot B' + A' \cdot C Paso 2: Simplificación de la Expresión

1. Identificación de Términos: La expresión original tiene tres términos:

2. Aplicación de Teoremas: Aplicamos el teorema de absorción: . Entonces, combinamos y : f(A, B, C) = A + A' \cdot C La expresión se ha simplificado a: f(A, B, C) = A + A' \cdot C

NOT que recibe y produce . AND que recibe y y produce . OR que recibe la salida de la AND y , y produce la salida final .

Paso 3: Implementación de la Expresión Optimizada 1. Nueva Expresión: Ahora que tenemos la expresión simplificada, procedemos a representarla en un circuito: f(A, B, C) = A + (A' \cdot C) 2. Descomposición en Compuertas Lógicas: Compuerta NOT: Primero, se invierte para obtener . Compuerta AND: Se utiliza una compuerta AND para combinar y (produciendo ).

Conclusión

La importancia del álgebra booleana en la ingeniería y la computación, ya que facilita el diseño eficiente de circuitos lógicos. Aplicaciones Actuales: Desde computadoras hasta dispositivos electrónicos, todos funcionan gracias

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