MATEMÁTICAS DISCRETAS

esta presentación es sobre..

La Introducción al Álgebra Booleana y Circuitos Lógicos.

Explorar cómo la álgebra booleana permite optimizar expresiones y diseñar circuitos lógicos eficientes.

Eduardo Ochoa Pérez.

24480772.

Introducción a la Álgebra Booleana

• Definición: la álgebra booleana es un sistema matemático basado en valores binarios (0 y 1) que permite trabajar con operaciones lógicas y expresiones booleanas.

• Importancia: Es fundamental en el diseño de circuitos digitales, los cuales son la base de los sistemas electrónicos y computacionales modernos.

• Aplicaciones: Se utiliza para construir y optimizar circuitos en computadoras, controladores, dispositivos digitales y sistemas de comunicación.

Teoremas y Postulados Básicos del Álgebra Booleana

• Ley de Identidad:
• A + 0 = A (sumar 0 no cambia el valor)
• A * 1 = A (multiplicar por 1 no cambia el valor)

• Ley de Dominación:
• A + 1 = 1 (cualquier valor OR con 1 es 1)
• A * 0 = 0 (cualquier valor AND con 0 es 0)

• Ley de Involución:
• (A')' = A (la negación doble de A es igual a A)

• Ley de Idempotencia:
• A + A = A y A * A = A (sumar o multiplicar un valor por sí mismo no cambia el resultado)

• Ley de Complemento:
• A + A' = 1 (A o no A siempre es verdadero)
• A * A' = 0 (A y no A siempre es falso)

• Ley de Conmutación:
• A + B = B + A y A * B = B * A (el orden no afecta el resultado)

Optimización de Expresiones Booleanas

¿Por qué optimizar?: La simplificación de expresiones permite reducir el número de operaciones y componentes en un circuito, lo que lleva a sistemas más eficientes y menos costosos.

• Método de Mapas de Karnaugh: Técnica visual para simplificar expresiones booleanas. Se organiza en una tabla que permite identificar términos comunes, facilitando la reducción de expresiones complejas. Ejemplo: Simplificar A * B + A * B' usando el mapa de Karnaugh para ver combinaciones simplificadas.

• Uso de las Leyes del Álgebra Booleana: Las leyes (como las de identidad, idempotencia y complemento) se aplican para reducir términos repetidos o innecesarios.

Compuertas Lógicas: Aplicación del Álgebra Booleana

Cada compuerta representa una operación fundamental en los sistemas digitales y es la base de los circuitos complejos.

• Compuerta NOT (A'): Invierte el valor de la entrada; convierte 1 en 0 y 0 en 1.

• Compuertas Combinadas:

• NAND: Es la negación de AND, solo da 0 cuando ambas entradas son 1.

• NOR: Es la negación de OR, solo da 1 cuando ambas entradas son 0.

• XOR: Da 1 solo si una de las entradas es 1, pero no ambas.

• XNOR: Es la negación de XOR, da 1 cuando ambas entradas son iguales.

• Compuerta AND (A * B): Produce 1 solo cuando ambas entradas son 1. Representa la operación de multiplicación en álgebra booleana

• Compuerta OR (A + B): Produce 1 cuando al menos una entrada es 1. Equivale a la operación de suma en álgebra booleana.

Mini y Maxi Términos

Los mini y maxi términos ayudan en la construcción de funciones lógicas que representan todos los posibles estados de una entrada.

Mini términos:

• Expresan la combinación mínima de variables en una expresión lógica.

• Ejemplo: Para variables A, B y C, un mini término puede ser A * B' * C.

• Cada mini término representa un caso específico en el que la expresión es 1.

Maxi términos:

• Representan combinaciones en las que una expresión es 0.

• Ejemplo: (A + B' + C) es un maxi término que cubre una combinación específica de valores que hace que la salida sea falsa.

Representación de Expresiones Booleanas con Circuitos Lógicos

Esta representación permite visualizar y construir físicamente cómo se procesarán los datos en el sistema digital.

Proceso de Traducción: Las expresiones booleanas se traducen en circuitos lógicos utilizando compuertas que corresponden a las operaciones en la expresión. Ejemplo: Para la expresión (A * B) + C, el circuito consistirá en una compuerta AND para A y B, y luego una compuerta OR que toma la salida de AND y el valor de C.

Ejemplo

Ejemplo Práctico de un Circuito Lógico

Un circuito simplificado que ejecuta la función lógica de la expresión dada, minimizando el uso de compuertas.

Expresión Booleana: A * B + A' *C Construcción del Circuito: Paso 1: Realizar A * B usando una compuerta AND. Paso 2: Obtener A' mediante una compuerta NOT y combinarlo con C usando una compuerta AND. Paso 3: Conectar las salidas de las dos compuertas AND a una compuerta OR.

Resultado

Aplicaciones Reales del Álgebra Booleana

Diseño de Hardware:Controla el flujo de datos en procesadores, microcontroladores y otros dispositivos electrónicos. Ejemplo: Circuitos de memoria y procesadores que dependen de combinaciones lógicas. Sistemas de Control Automático: Uso en la industria para decisiones lógicas en sistemas de control, como en el manejo de energía o en sistemas de alarmas.

Electrónica de Consumo:La lógica booleana está en dispositivos cotidianos: teléfonos inteligentes, televisores, computadoras. Redes y Telecomunicaciones:Los routers y switches de red utilizan lógica booleana para la toma de decisiones de enrutamiento y transmisión de datos.

Ventajas de la Optimización en Circuitos

Ahorro de Recursos: Menos compuertas y conexiones físicas reducen el consumo de energía y espacio en el dispositivo. Velocidad de Procesamiento: Los circuitos optimizados procesan información más rápidamente, mejorando el rendimiento. Costo Reducido: Al requerir menos componentes, los circuitos optimizados son más económicos de producir. Eficiencia Energética: La reducción de operaciones y componentes también minimiza el consumo energético, lo cual es importante en dispositivos portátiles.

Conclusión

La álgebra booleana y los circuitos lógicos son fundamentales en tecnología y electrónica, ya que permiten simplificar y optimizar sistemas para hacerlos más eficientes, económicos y de bajo consumo energético. La aplicación de compuertas lógicas básicas como AND, OR y NOT muestra cómo operaciones complejas pueden construirse de manera sencilla, optimizando tanto el diseño como el rendimiento del sistema. Además, el uso de mini y maxi términos me permite entender la interacción de variables en sistemas digitales, destacando la relevancia del álgebra booleana en la creación de dispositivos avanzados y accesibles que impulsan el avance tecnológico.

Bibliografía.

• Material del Tema 4.1
• Material del Tema 4.2
• Material del Tema 4.3 y 4.3.2
• Material del Tema 4.3.1

https://angelmicelti.github.io/4ESO/EDI/33_lgebra_de_boole.html

https://tutoriales-isc.blogspot.com/2018/11/432-representacion-de-expresiones.html

https://www.studocu.com/es-mx/document/instituto-tecnologico-de-cerro-azul/ingenieria-en-sistemas-computacionales/42-optimizacion-de-expresiones-booleanas/44261263