LEGGI DI KEPLERO E MOTO DEI PIANETI

REALIZZATO DA NICOLE CARLOMAGNO, SOFIA CASULLI, GIORGIA ABBRUZZETTIE BENEDETTA DI CARLO e valentina pasquali 4F

LE LEGGI DI KEPLERO E IL MOTO DEI PIANETI

OSSERVAZIONI ASTRONOMICHE

L’uomo ha sempre avuto la necessità di scoprire cosa accadeva intorno a lui: soprattutto ciò che riguardava il movimento dei corpi celesti. Infatti il Sole, la Luna e altri pianeti erano considerati delle vere e proprie divinità. Inoltre grazie alle osservazioni ad occhio nudo, si è riuscito a capire con quale regolarità avvenissero i loro movimenti e soprattutto a misurare il tempo ovvero il giorno,il mese e l’anno. Il movimento ritenuto più importante è quello del Sole. Anche i pianeti sorgono e tramontano come il Sole e in alcune occasioni mostrano,relativamente alle stelle fisse, un moto retrogrado verso Ovest.

ELIOCENTRICO

TOLEMAICO

I PRIMI MODELLI GEOCENTRICI

I Greci svilupparono dei modelli chiamati modelli geocentrici per cercare di spiegare le osservazioni astronomiche, ma dal punto di vista di chi si trova sulla terra. Il primo modello fu presentato da Eudosso, allievo di Platone, il quale consisteva nel posizionare la Terra al centro mentre il sole, i pianeti e le stelle ruotavano intorno con moti circolari uniformi. I pianeti, il Sole e la Luna, sono posizionate su delle sfere interne a un gruppo di sfere concentriche. Ognuna è collagata tra loro e ruotano intorno ad un asse.

Questa legge fu una scoperta fondamentale che superò l’antica convinzione che i pianeti si muovessero in orbite circolari perfette.Spiegazione: • Un’ellisse è una figura geometrica simile a un cerchio allungato. Ha due punti speciali chiamati fuochi. • Nel caso delle orbite planetarie, il Sole si trova in uno di questi fuochi, mentre l’altro fuoco rimane vuoto. • Poiché l’orbita è ellittica, la distanza tra il pianeta e il Sole varia durante il suo percorso: il punto più vicino al Sole è chiamato perielio, mentre il punto più lontano è l’afelio.

PRIMA LEGGE DI KEPLERO

I pianeti si muovono su orbite ellittiche intorno al Sole, con il Sole situato in uno dei due fuochi dell’ellisse.

DIMOSTRAZIONE

Il raggio vettore che collega un pianeta al Sole scorre su aree uguali in tempi uguali.

La seconda legge di Keplero, nota anche come legge delle aree, afferma che il raggio vettore che collega un pianeta al Sole scorre su aree uguali in tempi uguali. • un pianeta si muove più rapidamente quando è più vicino al Sole e più lentamente quando è più lontano. • La legge implica che il movimento dei pianeti non è uniforme, ma varia in base alla loro distanza dal Sole, mantenendo costante il prodotto dell'area e del tempo. Questa legge è fondamentale per comprendere le orbite ellittiche dei pianeti nel sistema solare.

SECONDA LEGGE DI KEPLERO

Keplero, dopo aver calcolato le orbite e le velocità di ogni pianeta, si dedicò a ricercare una legge che legasse tra loro i vari pianeti. • Il valore della costante k (costante astronomica) è lo stesso per tutti i pianeti in orbita intorno al Sole. • Se aumenta la distanza del pianeta dal Sole, aumenta anche il suo periodo di rivoluzione: i pianeti più lontani hanno quindi un anno molto più lungo di quelli più vicini. • Conoscendo la distanza media di un pianeta dal Sole, con questa legge possiamo calcolare il suo periodo di rivoluzione o viceversa.

Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione T e il cubo del semiasse maggiore dell’orbita R è costante: T²: R³ = k

TERZA LEGGE DI KEPLERO

TERZA LEGGE

ESERCIZI SULLE LEGGI DI KEPLERO

PRIMA LEGGE

Newton cercò di spiegare come i pianeti si muovono e cosa li mantiene nelle loro orbite: secondo la legge d'inerzia, in assenza di forze, un pianeta dovrebbe muoversi in modo rettilineo uniforme. Tuttavia, i pianeti seguono orbite ellittiche o circolari, il che implica l'esistenza di una forza centripeta che li attrae verso il centro, che in questo caso è il sole

IL MOTO DEI PIANETI

ESERCIZIO

UNA LEGGE UNIVERSALE

Newton scoprì che tale forza è la forza gravitazionale, ed è descritta dalla legge di gravitazione universale: la forza di gravità tra due corpi di massa mA e mB è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza

LA COSTANTE G

Legge di gravitazione universale

GRAZIE DELL'ATTENZIONE

La costante indicata con la lettera G è chiamata costante di gravitazione universale e rappresenta la forza con cui si attraggono due corpi di massa 1 kg posti a distanza di 1m l'uno dall'altro

LA COSTANTE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE G

La costante indicata con la lettera G è chiamata costante di gravitazione universale e rappresenta la forza con cui si attraggono due corpi di massa 1 kg posti a distanza di 1m l'uno dall'altro

LA COSTANTE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE G

Newton intuì che la forza che provoca la caduta dei corpi verso la Terra è la stessa che mantiene i pianeti e i satelliti nelle loro orbite. Questa forza, originata dalle masse dei corpi, insieme al principio di inerzia permette di spiegare il moto sia dei corpi celesti sia di quelli terrestri.

Chiamiamo con rA la distanza Terra-Sole quando la Terra si trova nell’afelio, e rP tale distanza quando la Terra si trova nel perielio; chiamiamo inoltre con vA e vP le velocità della Terra in afelio e in perielio. I momenti angolari della Terra nei due punti, come sappiamo, possono essere calcolati come prodotto vettoriale tra il raggio vettore Sole-Terra e la quantità di moto della Terra stessa; sapendo che in P e in A il vettore velocità è perpendicolare al raggio vettore, abbiamo che il modulo del momento angolare è semplicemente L=M⋅v⋅r, quindi nei due casi si ha: LP=MT⋅vP⋅rP LA=MT⋅vA⋅rA Essendo noti la massa terrestre, la distanza Terra-Sole nell’afelio e nel perielio, e le rispettive velocità, è stato possibile calcolare il memento angolare nei due punti che, effettivamente, è risultato essere lo stesso. Si può concludere, quindi, che nel perielio, dove il raggio è più piccolo, affinché L rimanga costante, deve necessariamente aumentare la velocità vP; analogamente, nell’afelio, dove invece la distanza è maggiore, la velocità deve essere minore.

Un pianeta del Sistema Solare si trova a una distanza media dal Sole pari a 5,91 ⋅ 1012m.Quale sarà il suo periodo di rivoluzione? Di quale pianeta si tratta? In base alla terza legge di Keplero, il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione del pianeta e il cubo della sua distanza media dal Sole è costante e vale k = 2,96 ⋅ 10-19s²/m3. Conoscendo la distanza media del pianeta dal Sole è quindi possibile calcolare il suo periodo di rivoluzione. T²: R³ = k ---> T2= kR3 T = √ 2,96 ⋅ 10-19 s2: m2 ⋅ (5,91 ⋅ 1012 m)3= 7,8 ⋅ 109 s Il periodo è di circa 248 anni terrestri: il pianeta è Plutone

Il semiasse maggiore dell’orbita di Mercurio vale 57,91⋅106. Sapendo che l’eccentricità dell’orbita è circa 0,206 calcola: 1)la distanza tra i due fuochi 2)la lunghezza del semiasse minore Soluzione: a=57,91⋅106 e=2c/2a 2c=e⋅2a=0,206⋅2⋅57,91⋅106 =23,86⋅106 km a2=b2+c2 b=√(a^2-) c^2 = √((57,91)2-(1/2 ⋅ 23,86)2) ⋅106=56,67⋅106 km risultati= 1)distanza tra i due fuochi=23,86⋅106 km 2)lunghezza del semiasse minore=56,67⋅106 km

Il modello tolemaico fu sviluppato dai due astronomi e matematici chiamati Apollonio e Ipparco i quali crearono un nuovo modello fondato sull’epiciclo,ovvero un piccolo cerchio che ruota successivamente su un altro cerchio chiamato deferente. Tale sistema spiegava il moto retrogrado del pianeta e la luminosità di esso durante il moto retrogrado. Tolomeo e i suoi successori riuscirono a prevedere la posizione dei pianeti,ma il modello era ancora troppo approssimato.

IL MODELLO TOLEMAICO

Il modello eliocentrico copernicano: L’astronomo polacco Niccolò Copernico cercò di sviluppare un nuovo modello dove la terra e i pianeti ruotassero con moto uniforme su orbite circolari intorno al sole. Da quel momento in poi, tale sistema divenne la base per le osservazioni astronomiche. Infatti il modello di copernico era molto più semplice. Inoltre l’astronomo calcolò i periodi di rivoluzione dei pianeti e i raggi delle loro orbite. Tutt’oggi i valori di Copernico sono molto simili a quelli odierni.

IL MODELLO ELIOCENTRICO

Il semiasse maggiore dell’orbita di Mercurio vale 57,91⋅106. Sapendo che l’eccentricità dell’orbita è circa 0,206 calcola: 1)la distanza tra i due fuochi 2)la lunghezza del semiasse minore Soluzione: a=57,91⋅106 e=2c/2a 2c=e⋅2a=0,206⋅2⋅57,91⋅106 =23,86⋅106 km a2=b2+c2 b=√(a^2-) c^2 = √((57,91)2-(1/2 ⋅ 23,86)2) ⋅106=56,67⋅106 km risultati= 1)distanza tra i due fuochi=23,86⋅106 km 2)lunghezza del semiasse minore=56,67⋅106 km

Un pianeta del Sistema Solare si trova a una distanza media dal Sole pari a 5,91 ⋅ 1012m.Quale sarà il suo periodo di rivoluzione? Di quale pianeta si tratta? In base alla terza legge di Keplero, il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione del pianeta e il cubo della sua distanza media dal Sole è costante e vale k = 2,96 ⋅ 10-19s²/m3. Conoscendo la distanza media del pianeta dal Sole è quindi possibile calcolare il suo periodo di rivoluzione. T²: R³ = k ---> T2= kR3 T = √ 2,96 ⋅ 10-19 s2: m2 ⋅ (5,91 ⋅ 1012 m)3= 7,8 ⋅ 109 s Il periodo è di circa 248 anni terrestri: il pianeta è Plutone

Due corpi aventi la stessa Massa, posti a una distanza di 2,0 m, si attraggono con una forza di 1,7 ⋅10-5 N. Calcola la loro massa. Per determinare la massa dei due corpi applichiamo la legge di gravitazione universale F =G (M1⋅M2:R2) in cui G è uguale a 6,67⋅ 10 -11 N2⋅m2/Kg2 La massa è la stessa quindi M1 = M1 = M F=G(M2:R2) M2= FR2:G Per trovare la massa dei corpi M1 M2 applico la seguente formula M=√FR2:G = √ 1,7 ⋅ 10-5 N ⋅ 4,0m2: 6, 67 x 10-11 N2⋅m2/Kg2 = 1010Kg Come si può vedere, per masse abbastanza grandi, anche se vicine tra loro, la forza di gravità è ancora molto piccola.