P6-RA

P6: Sistemas Realimentados

¡Vamos!

Introducción

Esquema:

Un sistema realimentado es un sistema que mantiene una relación determinada entre la salida y la entrada del sistema (referencia), comparándolas. En estas se pueden llegar a requerir objetivos diferentes pero el principal es que el sistema realimentado sea estable. Vídeo explicativo (apartir de 0:16):

Ejemplos:

Empezar

Índice

Ej 1: Control de posición de un robot

Ej 2: Piloto automático de un avión

Ej 1: Control de la posición de un robot.

Objetivos

Apartados: 1. Dibujar el diagrama de bloques del sistema. 2. Calcular el rango de Kc que asegura que el sistema es es‐ table. 3. Obtener el lugar de las raíces del sistema para un rango de ganancia entre Kc = 0 y Kc = 10. 4. Elegir un valor adecuado de Kc y simular en comporta‐ miento del sistema en Simulink.

En el esquema adjunto se dispone de un controlador pro‐ porcional (Kc,) un motor de corriente continua y un reductor que adapta la posición a unidades alcanzables por el robot. La variable de salida del sistema es la posición angular del robot y la variable manipulada la tensión aplicada al motor. El modelo de primer orden que caracteriza la respuesta de la velocidad angular del motor respecto de la tensión aplicada tiene una ganancia de Km = 5 y su constante de tiempo es τm = 0,5. Por otro lado, el reductor se comporta como una ganancia reduciendo por 30 el valor de la posición del motor.

A 1

A 3

A 2

A 4

Objetivos

A1: Diagrama de bloques

Diagrama de bloques hecho en Simulink:

Diagrama de bloques escrito de manera manual:

+ info

+ info

Objetivos

A2: Rango de Kc que asegure estabilidad.

Otros criterios:

Criterio de Routh-Hurwitz:

+ info

PRi (s)

+ info

Gyr (s)

LR

Objetivos

A3: Dado el rango de Kc comprobar lugar de las raíces.

Simulink:

Cálculos teóricos:

+ info (I)

+ info

+ info (II)

Ganancia polo en 0

+ info (III)

Ganancia en polo conjugado

+ info (IV)

Objetivos

A4: Valor adecuado de Kc y simulación

Simulación:

Cálculo teórico del valor adecuado de Kc:

+ info

+ info

Ej 2: Piloto automático de un avión.

Objetivos

Apartados: 1. Trazar el lugar de las raíces cuando a = b = 1, δ = 0,5 y ωn = 4 rad/s. 2. Hallar el rango de valores de la ganancia Kc para mantener la estabilidad. 3. Explicar la evolución de la salida conforme se va modiϐicando el valor de Kc en el rango que asegura que el sistema realimentado sea estable.

Una forma simpliϐicada de la función de transferencia de un avión con piloto automático en modo longi‐ tudinal es:

Un sistema así, inestable en lazo abierto, puede ser estable en lazo cerrado con un controlador propor‐ cional para un intervalo de valores de ganancia Kc.

A 1

A 3

A 2

Objetivos

A1: Trazar el lugar de las raíces con características dadas.

Simulink:

Representación teórica del lugar de las raíces: No se puede representar de manera teórica, porque la representación es muy compleja y no se podría hacer de manera exacta. La representación puesta en + info es una hipótesis hecha en base a la teoría de lo que podría ocurrir.

+ info

+ info

G(s)

Gyr (s)

Objetivos

A2: Valores de Kc para garantizar estabilidad.

Simulink:

Criterio de Routh-Hurwitz:

+ info

+ info

Kc mín

Kc máx

Objetivos

A3: Evolución de la salida según Kc.

Simulación para Kc dentro del rango (Kc=27):

Simulación para Kc mín:

Simulación para Kc máx:

+ info

+ info

+ info

+ info

+ info

+ info

Diagrama

Uso la función zeros-poles porque me permite poner los ceros de manera más sencilla.

Para el polo en 0, la ganancia es:

Ganancia.

Polo

Variable de referencia: ángulo deseado.

Controlador: que dada la referencia envía un voltaje determinado a la planta.

Planta: una vez recibido ese voltaje lo pasa a velocidad angular.

Caja reductora: Cambia la velocidad angular según el valor de ganancia.

Se usa este integrador para obtener la medida que nos piden que es la posición, no nos piden la velocidad angular.

Realimentación del sistema.

En este caso modifica el valor de 5 rpm a 100 rpm mediante dos "engranajes".

Funcionamiento:

Simulación mediante rlocus de la función de transferencia en lazo cerrado:

Dadas ahora las siguientes condiciones:

Esta condición se da para que el polo se situe justo en el punto de polo doble.

Igualando Gyr a la ecuación de un sistema de 2º grado:

Obtengo que el valor óptimo para Kc es 3.

Para el polo en 0, la ganancia es:

Ganancia.

Polo

En primer lugar, simplificaremos el diagrama de bloques, para que nos quede una única función de transferencia:

Dada la función de lazo cerrado:

La representación del Lugar de las raíces de la función L(s) sería:

Valores dados del enunciado: - a=b= 1 - δ= 0.5 - ωn= 4 rad/s

Obtenemos entonces: un integrador (es de Tipo 1), un polo en +1 (hace que el sistema sea inestable) y un polo conjugado (que presenta parte real e imaginaria).

Representación mediante rlocus (representa el lugar de las raíces):

Antes de calcular Kc, escribiremos la función de lazo que será sobre la cual hagamos la representación del lugar de las raíces:

L(s) no es más que la multiplicación de PRi(s) por el controlador proporcional.

Representación del lugar de las raíces:

Como es de segundo orden la función de transferencia a pesar de que presenta un integrador, el lugar de las raíces sería el siguiente.

Los valores a elegir son: - Del lugar de las raíces que se encuentra en la rama de derecha, ya que la rama de la izquierda por mucho que la modifique se mantendrá igual.

Una vez nos hemos centrado en esa rama, teniendo en cuenta que es simétrica con respecto al eje real, me fijaré en los valores de Kc mínimo y máximo, que son los puntos donde se corta con el eje imaginario.

Para el polo en 0, la ganancia es:

Ganancia.

Polo

Realizamos los cálculos para obtener la función de transferencia del sistema realimentado:

En la cual su ecuación característica es:

Sabemos entonces que a función de transferencia es de orden superior, que sigue presentando un integrador y que además ahora también presenta un polo en -1.

Este diagrama de bloques es muy parecido al realizado de manera teórica pero con los datos ya sustituidos.

El controlador P se podría también colocar con este bloque, anulando las acciones de integradoras y derivativas y asignando un valor a la acción proporcional.

Dados los valores de Kc: Kc=0 y Kc=10

Calculo Gyr para cada extremo:

Si representará los valores en el eje real e imaginario:

Si comparo los resultados con el Lugar de las raíces de L(s) puedo afirmar de manera teórica de que el sistema es estable y además, puedo observar en que parte del lugar de las raíces se encuentran estos polos.

Otras formas:

Aplicando la ecuación de una función de 2º orden:

De manera gráfica desde el lugar de las raíces de L(s):

Como tengo todos los polos menos el polo en 0 en el lado izquierdo, sé que para Kc>0, (porque Kc=0 no tiene sentido), el sistema realimentaado, con un controlador proporcional, será estable porque mantendrá los polos en el lado izquierdo.

La ecuación característica es:

Obtenemos que el intervalo se situa entre 35.68 y 52 para que el valor de Kc haga que el sistema sea estable. No se elige el 0 ya que según el LR no se puede asegurar que cuando Kc sea 0 el sistema sea estable. Además se elige la condición que sea más restrictiva, para asegurar que el sistema sea estable.

Aplicando el criterior de Routh-Hurwitz obtenemos:

Gyr(s) sería:

Esta sería la función de transferencia del sistema realimentado.

Criterio de Routh-Hurwitz:

Dado la función de transferencia del sistema realimentado:

Su ecuación característica es (denominador igualado a 0):

Aplicando criterio de Routh-Hurwitz:

Este resultado nos indica que para todos los valores positivos de Kc, la función será estable.

Simulación con rlocus:

Ganacia óptima

Polo

Podemos observar que para la ganancia 3, se cumple lo que hemos impuesto ya que hay un polo doble en -1.

Ganancia mínima que asegura la estabilidad del sistema realimentado. El polo es aproximadamente 0 en la parte real.

Ganancia máxima que asegura que el sistema realimentado es estable. El polo se situa aproxidamente en 0 en la parte real.

Podemos observar que el sistema es estable pero que no presenta amortiguación alguna eso es porque se encuentra justo en el eje imaginario.

Podemos observar que el sistema es estable pero que no presenta amortiguación alguna eso es porque se encuentra justo en el eje imaginario.

Se puede concluir que cuando está dentro del rango, el sistema no solo es estable sino que además no oscilará tanto como los ostros dos extremos, ya que ahora no se encuentra en el eje imaginario. Si quisieramos mejorar el diseño del controlador, podríamos optar por colocar una condición para delta para evitar las oscilaciones o una condición de error (aunque esta dependiendo del error puede exigir otro controlador).

En el bloque de controlador solo hay asignada acción proporcional.