ALEATORIEDAD DANNA

ALEATORIEDAD Y MODELOS PARA LA GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

DANNA PAOLA GÓMEZ GARCÍA

números aleatorios y pseudoaleatorios

Un número aleatorio es un valor que se obtiene al azar, para identificarlo debe ser asignado a un rango de valoresfinito o infinito donde cada número tiene la misma probabilidad de ser elegido. Es importante mencionar que la elección de un número no depende de la elección de otro. Los números pseudoaleatorios se obtienen de un conjunto de operaciones a partir del número generado en algún paso anterior; por ejemplo, pueden iniciar en el 30 y de ahí generar números aleatorios utilizando una fórmula que no sobrepase el 100.

EJEMPLO

Ventaja

Desventaja

generador congruencial LINEAL

COntrastes de bondad de ajuste

Son un resumen de la discrepancia que se presenta entre los valores observados y los valores esperados en el modelo de estudio. Dichas medidas se utilizan para comprobar si dos muestras se obtienen a partir de dos distribuciones idénticas, o bien, para detectar si las frecuencias siguen una distribución específica. Algunas utilizadas son:

Es un algoritmo matemático utilizado para generar una secuencia de números pseudoaleatorios. Utiliza una fórmula matemática que genera el siguiente número de la secuencia a partir del número anterior.

Xn+1=(aXn+c)%m

Kolmogórov-Smirnov

Donde: Xn es el número anterior de la secuencia de números aleatorios. Xn+1 es el número anterior de la secuencia de números aleatorios. a,c y m representan constantes que permiten que la fórmula se comporte semejando una selección aleatoria. % indica la operación de módulo en la que se devuelve el residuo de la división de dos números.

Chi cuadrada

Contrastes de aleatoriedad e independencia

Para determinar que los números se deriven de un generador congruencial y tengan las características de aleatoriedad e independencia, se usan pruebas de contraste como la prueba de rachas.

La prueba de rachas sirve para evaluar la aleatoriedad de datos binarios, es decir, de los números que sólo pueden tomar los valores de 0 y 1. Esto se basa en la idea de contar el número de rachas, o sea, las secuencias consecutivas de valores iguales en los datos, determinando si la secuencia de datos binarios exhibe un patrón sistemático, o bien, si los valores parecen ser generados al azar. Para esto se siguen algunos pasos:

COMPARACIÓN

CALCULO

DECISIÓN

MODELOS PARA GENERACIÓN DE VARIABLES

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Se trata de una herramienta estadística en la que se determina que, dada una muestra aleatoria lo suficientemente grande de la población, la distribución de las medias muestrales seguirá una distribución normal, es decir, cuando aumenta el tamaño de la muestra o la cantidad de observaciones de un experimento, dichas observaciones se mantendrán en una distribución normal.

Aplicaciones

Predicción y pronóstico

Estimación y pruebas

Análisis de muestras

Simulación

Algoritmo de Box-Muller

Se basa en la transformación de coordenadas polares en coordenadas cartesianas utilizando variables aleatorias uniformemente distribuidas. A partir de dos números aleatorios uniformes independientes y distribuidos entre 0 y 1, el algoritmo genera dos números aleatorios que se distribuyen en una curva normal.

Coordenadas polares

Coordenadas cartesianas

Aplicaciones

MODELADO

SIMULACIÓN

Permite la generación de datos aleatorios con distribuciones normales para la simulación de sistemas complejos, como redes de comunicación o sistemas financieros.

Genera números aleatorios que respondan a los datos observados, permitiendo modelar el comportamiento de fenómenos naturales,resulta útil en la ingeniería y la ciencia.

Métodos generales de simulación

Método basado en distribución empírica

Simulación de Montecarlo

Es una técnica utilizada para estimar resultados mediante el muestreo aleatorio y repetido, calculando los posibles resultados de un suceso incierto.

Se deriva de una distribución empírica de las variaciones experimentadas. Para ello, se debe recopilar datos empíricos de las variaciones o de las pérdidas experimentadas en un sistema o proceso a lo largo del tiempo.

CARACTERÍSTICAS

Para su aplicación en la simulación se siguen los pasos:

VS

Definición

Muestreo

Simulación

Método de simulación de variables aleatorias discretas

Transformación inversa

Búsqueda indexada

Método de Alias

Es un enfoque útil para generar valores aleatorios de una distribución específica en simulaciones. Al utilizar la función de distribución acumulativa inversa, se puede mapear un número aleatorio uniforme a un valor correspondiente en la distribución objetivo, permitiendo así simular variables aleatorias con la distribución deseada.

Permite generar muestras aleatorias de una distribución discreta con eficiencia constante, ya que los pasos de preparación y construcción sólo se realizan una vez. Esto lo hace particularmente útil en casos donde se necesite generar múltiples muestras aleatorias de una distribución discreta con probabilidades desiguales.

Este método permite reducir las comparaciones localizando las zonas en las que se encuentran los números pseudoaleatorios que se han producido. Usando la búsqueda indexada, se utiliza un índice para realizar saltos más grandes y reducir la cantidad de comparaciones necesarias.