Experiments Compostos- metode del producte

Els experiments aleatoris simples, com ara tirar un dau o una moneda, es caracteritzen perquè els seus resultats estan formats per un sol valor. Quan els resultats d'un experiment estan formats per més d'un valor, parlem d'experiments aleatoris compostos. En són exemples:

• Tirar un dau i una moneda. Alguns resultats són 1-C, 1-X, 2-C, 2-X...
• Tirar una moneda tres cops. Alguns resultats són C-C-C, C-C-X, C-X-C...

Quan fem un experiment a continuació d'un altre, diem que fem experiments successius. Un experiment compost es pot considerar format per experiments successius si primer mirem el primer valor del resultat, després el segon, i així successivament.

Quan fem experiments aleatoris successius, com en el cas de tirar tres monedes, podem observar que el resultat del primer experiment no influeix en el resultat del següent, ni aquest en el tercer. Diem que l'experiment compost és independent.

En altres experiments, com treure dues boles d'una urna amb tres boles grogues i quatre de verdes sense retornar la primera, el segon experiment serà diferent del primer, ja que hi haurà una bola menys. Diem que l'experiment compost és dependent.

Si fem successivament dos experiments aleatoris independents, la probabilitat que es produeixi un esdeveniment E en el primer i un esdeveniment F en el segon és el producte de la probabilitat de E en el primer i la probabilitat de F en el segon:

La probabilitat de dos esdeveniments E i F de dos experiments simples successius en un experiment compost dependent és:

P(E i F) = P(E) · P(F/E)

P(E i F) = P(E) • P(F)

P(F/E) = Probabilitat de F sabent que ha ocorregut A o Probabilitat de F condicionat a A

Experimet: Triar dues cartes i anotar el resultat d'una baralla espanyola

Aplico (E i F) = P(E) • P(F)

a) Calcular la probabilitat de primera carta un rei i la segona altra rei amb reposició

E= Primera carta un rei ={rei ors, rei copes, rei espases, rei bastos}

F= segona carta un rei. = {rei ors, rei copes, rei espases, rei bastos}

E i F són independents perquè quan trio la primera el que faig es tornar la carta de nou a la baralla.

P(rei, rei) = 4/48 · 4/48 = (4·4) / (48·48) = 16/2304 = 1/144 = 0,0069

P(E) = 4/48

P(F) = 4/48 ( no depen del que ha passat en el primer experiment)

Exemple : E i F són independents

Experimet: Triar dues cartes i anotar el resultat d'una baralla espanyola

Aplico : P(E i F) = P(E) · P(F/E)

P(F/E) = Probabilitat de F sabent que ha ocorregut A o Probabilitat de F condicionat a A

a) Calcular la probabilitat de primera carta un rei i la segona altra rei sense reposició

E= Primera carta un rei ={rei ors, rei copes, rei espases, rei bastos}

F= segona carta un rei. = {rei ors, rei copes, rei espases, rei bastos}

E i F són dependents perquè quan trio la segona carta, ja no en tinc 48 sinó 47 (ja no disposo de la primera carta que he tret). A més F està condicionat a que la primera carta hagi sortit un rei. Per tant, només resten 3 reis i 47 cartes.

P(rei, rei segona condicionat a rei de la primera) = 4/48 · 3/47 = (4·3) / (48·47) = 12/2256 = 1/188 = 0,0053

P(E) = 4/48

P(F) = 3/47 en aquest cas la P(F) s'anomena P(F/E) . És la probabilidad de que la segona carta sigui un rei però sabent que la primera ha estat rei

Exemple : E i F són dependents

En una classe hi ha 8 nois i 12 noies, i d’aquests, 5 nois i 8 noies van al centre amb bicicleta, i la resta fan servir el transport escolar. Si escollim un alumne a l’atzar, determina la probabilitat que sigui noia i que hi vagi amb bicicleta.

Calcular probabilitats en experiments compostos utilitzant un diagrama d'arbre