EUCLIDE

Giusti Niccolò 1 CSBIO

euclide

1. Chi era Euclide2. Per cosa è ricordato Euclide3. I postulati4. Il quinto postulato5. La geometria non euclidea6. I teoremi7. Curiosità

indice

chi era euclide

Euclide, vissuto ad Alessandria d’Egitto intorno al 300 a.C., è stato un matematico e filosofo, noto soprattutto per aver scritto il trattato Elementi e in particolare per i due teoremi che portano il suo nome. Si occupò anche di astronomia, musica e meccanica. Della sua vita si sa molto poco, ma è certo fu insegnante presso il museo, principale istituzione scientifica dell’epoca. La sua opera più famosa, gli Elementi, raccoglie e sistematizza il pensiero matematico del mondo antico, inventando un sistema coerente, oggi noto come geometria euclidea. Per secoli gli scienziati hanno letto e riletto gli Elementi, che sono stati fondamentali per il progresso della geometria e hanno influenzato anche le altre discipline scientifiche. Inoltre, dall’interpretazione degli Elementi in età contemporanea sono state sviluppate le geometrie non euclidee. Euclide visse ad Alessandria, che nell’età ellenistica, compresa tra la morte di Alessandro Magno (323 a. C.) e la conquista romana dell’Egitto (30 a. C.), era l’indiscussa capitale culturale del mondo. In città avevano sede i principali centri culturali del tempo: il museo, cioè “tempio delle muse”, che era una sorta di università (da esso, per altro, deriva la nostra parola “museo”, che però ha significato diverso), e la biblioteca, che possedeva pressoché tutti i libri scritti fino ad allora.

Grazie alle sue istituzioni culturali, Alessandria fu il principale punto d’incontro tra il pensiero razionale greco e la sapienza orientale, dalla combinazione dei quali derivarono progressi scientifici di importanza fondamentale per lo sviluppo della civiltà. Euclide si trovava perciò nel principale centro culturale del mondo. Della sua vita, però, sappiamo molto poco. Il luogo di nascita non è noto ma, secondo le fonti antiche, fu il più giovane allievo di Platone, il grande filosofo ateniese. Sappiamo, inoltre, che visse ad Alessandria all’incirca tra il 320 e il 270 a. C.e fu uno degli insegnanti del museo. Lavorando ad Alessandria, Euclide aveva la possibilità di frequentare regolarmente la biblioteca e avere “sotto mano” pressoché tutto il sapere scientifico dell’epoca.

per cosa e' ricordato euclide

Euclide è noto soprattutto come autore degli Elementi, un’opera che riassume in forma di definizioni e proposizioni (cioè assiomi che non possono essere messi in discussione) le conoscenze matematiche esistenti al suo tempo. Euclide, però, non si limitò a riassumere quello che avevano scritto gli altri studiosi: corresse i postulati sbagliati, precisò meglio quelli poco chiari e ne aggiunse nuovi. In tal modo, creò un sistema geometrico coerente, oggi noto come geometria euclidea. Il trattato degli Elementi è diviso in tredici libri (grosso modo equivalenti ai nostri capitoli) e contiene complessivamente 131 definizioni e 465 proposizioni, tutte basate su cinque postulati fondamentali.

i postulati

Da questo si deducono anche altri corollari • Per un punto passano infinite rette. • Su una retta ci sono almeno due punti. • In tre punti non allineati passa un solo piano. • In tre punti allineati passa una e una sola retta. • In una retta passano infiniti piani.

Per due punti passa una e una sola retta.

1 postulato

Una linea retta può essere prolungata all’infinito.

2 postulato

Dato un punto e una lunghezza, si può descrivere una circonferenza.

3 postulato

Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro (hanno cioè la stessa forma e le stesse dimensioni).

4 postulato

il quinto postulato

Il quinto postulato di Euclide è quello che ha creato maggiori problemi di interpretazione. Se una linea retta "r" interseca due altre linee rette "s" e "t" formando angoli interni α e β sullo stesso lato, la cui somma α+β<180° è inferiore a due angoli retti, allora le due linee "s" e "t" , se prolungate all'infinito, si incontreranno in un punto P.

il quinto postulato

Il quinto postulato di Euclide è conosciuto anche come "postulato delle parallele". Questo perché se una retta interseca due rette che formano una somma di due angoli interni di 180°, allora le due rette sono parallele tra loro e non si intersecano mai sul piano.

Nel corso del tempo sono state scritte diverse formulazioni di questo postulato. Per secoli gli studiosi hanno cercato di collegare il quinto postulato ai primi quattro, ma nel XIX secolo è stato dimostrato che esso è del tutto indipendente. Da questa scoperta sono derivate le geometrie non euclidee, come quella sferica e quella iperbolica, che non accettano uno o più postulati.

la geometria non euclidea

Felix Klein (1849-1925) definì gli enti geometrici in questo modo: 1. Piano, la regione piana della geometria euclidea interna ad una circonferenza 2. Punto, ciascuno dei punti euclidei interni alla circonferenza 3. Retta, ogni corda del cerchio delimitato dalla circonferenza, estremi esclusi. Secondo la geometria iperbolica non vale il quinto postulato, perché in qualsiasi modo si scelgano una retta r ed un punto P esterno ad essa, esistono infinite rette passanti per P che non intersecano r.

Geomatria iperbolica di klein

Il modello di Poincarè può essere cosi’ descritto: ”Fissato in un piano euclideo una circonferenza gamma di centro O chiamiamo: 1. Punto, ogni punto interno a gamma 2. Piano, l’insieme dei punti interni a gamma 3. Retta, ogni diametro della circonferenza (estremi esclusi) e ogni arco di circonferenza con gli estremi sulla circonferenza, interno alla circonferenza e ortogonale alla circonferenza e nei suoi estremi”. Per ogni punto P del piano di Poincarè passano infinite rette, mentre si può dimostrare che per due punti distinti A e B passa una ed una sola retta; facilmente si può costatare che dato per ogni punto P non appartenente ad una retta r, passano rette che intersecano la retta r e rette che non la intersecano.

geometria iperbolica di poincare'

Georg Riemann (1826-1866) nel suo sistema definì: 1. Piano, una superficie sferica 2. Punto, qualsiasi coppia di punti diametralmente opposti appartenenti alla superficie sferica 3. Retta, ciascuna circonferenza massima del nuovo piano In questa geometria viene rispettata la proprietà che per due punti distinti passa una ed una sola retta. La geometria ellittica implica la non esistenza di rette parallele e quindi comporta la necessità di modificare altri postulati oltre a quello delle parallele. Inoltre Riemann precisò la differenza tra l’illimitato e l’infinito. Il primo corrisponde all’estensione ed è qualitativo, il secondo è relativo alla misura ed è quantitativo. Così si può ipotizzare uno spazio illimitato e allo stesso tempo finito.

giometria ellittica di riemann

Aspetti teorici e pratici delle geometrie non- euclidee: 1. La somma degli angoli interni di un triangolo non è costante: nella geometria iperbolica è sempre minore di un angolo piatto, in quella ellittica è sempre maggiore. 2. Se r e s sono perpendicolari ad un segmento AB, rispettivamente nei punti A e B, la distanza da r dei punti s diminuisce man mano che ci si allontana da B nella geometria ellittica, aumenta in quella iperbolica. Da questa proprietà traggono origine i due aggettivi: ellittica ed iperbolica, che tradotti dal greco significano diminuire ed aumentare. 3. In entrambe le geometrie non-euclidee due triangoli con angoli rispettivamente uguali sono uguali. Quindi non si può parlare di similitudine.

4. Dalla prima proprietà si evince che non esistono quadrilateri con tutti gli angoli retti. In geometria ellittica esistono però triangoli tri-rettangoli, aventi cioè tutti e tre gli angoli retti. 5. Non valgono i teoremi di Pitagora e di Euclide. In estrema sintesi, la differenza principale tra la geometria euclidea e quelle non euclidee risiede nel concetto di retta parallela: nella geometria euclidea vi è sempre una retta che passa per un punto, parallela a un’altra retta presente nello stesso piano; nelle geometrie non euclidee, tale retta non potrebbe esistere.

LA FORMULA DEGLI ELEMENTI

Gli Elementi ebbero un’enorme diffusione e intorno al I secolo a. C. si affermarono come il principale libro di matematica della civiltà greco-romana. Nei secoli seguenti furono tradotti in molti lingue, sono diventati il principale "libro di testo" per lo studio della geometria e hanno influenzato anche le altre scienze. Gli Elementi hanno avuto influenza persino in politica, perché presentavano un modello di sistema ordinato e governato da leggi immutabili, che poteva essere applicato anche alla società. Tra gli altri, Abramo Lincoln, il presidente americano degli anni della guerra civile, era un appassionato lettore dell'opera di Euclide.

i teoremi

A Euclide gli attuali libri di geometria intitolano due teoremi, derivati dall’ottava proposizione del VI libro che, nella traduzione italiana del matematico Federico Enriques, è la seguente: “Se in un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare dall'angolo retto alla base, i triangoli così formati saranno simili al dato, e simili tra loro”.I due teoremi derivati dalla proposizione definiscono i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo.

VÍDEO

curiosita'

Di Euclide si conoscono due aneddoti. 1. Il primo racconta di uno studente che, iniziando a studiare la geometria, chiese al maestro: " Cosa ci guadagno a studiare queste cose?". Si dice che Euclide chiamò un servo e gli ordinò: "Dagli una moneta, perché vuol lucrare della conoscenza".2. Nell'altro si racconta del re Tolomeo I (generale di Alessandro Magno, capostipite di una dinastia di regnanti greci in Egitto che terminò con Cleopatra nel 30 a.C.) che gli chiese: "Esiste in geometria una strada più breve degli elementi?". Euclide gli rispose: "Non esiste via regia alla geometria".

http://progetto matematica.dm.unibo.it>File>Note2 www.geopop.it www.studenti.it

sitografia

grazie