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LineasEspera(2024)VF.pptx

Jose Fernando Hernan

Created on October 21, 2024

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Transcript

Instituto Tecnológico de Culiacán

Investigación de Operaciones II

Unidad V. Líneas de espera

Dr. José Fernando Hernández Silva

Culiacán , Sinaloa. Junio de 2024

Contenido

5.1 Introducción, terminología, notación y casos de aplicación 5.2 Proceso de nacimiento y muerte (modelos Poisson) 5.3 Población infinita un servidor, cola infinita 5.4 Población finita un servidor, cola finita 5.5 Población infinita servidores múltiples, cola infinita 5.6. Uso de software

Dr. José Fernando Hernández Silva

5.1 Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

  • Las líneas de espera (colas) son parte de la vida diaria. Todos esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el supermercado, enviar un paquete por correo, obtener comida en la cafetería, subir a un juego en la feria, etc. Nos hemos acostumbrado a una considerable cantidad de esperas, pero todavía nos molesta cuando éstas son demasiado largas.
  • Sin embargo, tener que esperar no sólo es una molestia personal. El tiempo que la población de un país pierde al esperar en las colas es un factor importante tanto de la calidad de vida como de la eficiencia de su economía.

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

  • La teoría de colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Utiliza los modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las fórmulas de cada modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá en diversas circunstancias.
  • Por lo tanto, estos modelos de líneas de espera son muy útiles para determinar cómo operar un sistema de colas de la manera más eficaz.

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Las líneas de espera …

  • En general, a nadie le gusta esperar
  • Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar
  • Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado
  • Es necesario encontrar un balance adecuado

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana:

  • En un banco
  • En un restaurante de comidas rápidas
  • Al matricular en la universidad
  • Los autos en un autolavado

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

  • Una cola es una línea de espera
  • La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares
  • El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada
  • Existen muchos sistemas de colas distintos
  • Algunos modelos son muy especiales
  • Otros se ajustan a modelos más generales
  • Otros se pueden tratar a través de la simulación

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

  • Línea de espera: uno o varios “clientes” esperando por un servicio.
  • Población de clientes: Entrada que genera clientes potenciales.
  • Instalación de servicio: Una persona(o grupo), una maquina, o ambas, necesarias para realizar el servicio a los clientes
  • Regla de prioridad: Regla que selecciona el próximo cliente a ser servido por la instalación de servicio.
  • Sistema de servicio: El numero de líneas de espera y el arreglo de las instalaciones.

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Características de las llegadas

  1. Tamaño de la población
Sin limite(infinita) o limitada(finita) 2. Patrones de llegadas Programados o aleatorios 3. Comportamiento de las llegadas Espera en la cola sin cambiar Renunciar

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Características de las líneas de espera

  • Longitud de cola limitada o sin limite
  • Disciplina de la cola First-in, First-Out (FIFO) es la mas común.
  • Otras reglas de prioridad también pueden ser utilizadas en circunstancias especiales

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Características del servicio

  • Diseño del sistema de colas
  • Sistema uni-canal, sistema multi-canal
  • Sistema de fase-simple, sistema multi-fase
  • Distribución del tiempo de servicio
  • Tiempo de servicio constante
  • Tiempos de servicio aleatorios, usualmente una distribución exponencial negativa

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Sistema de líneas de espera (modelo básico)

  • Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio
  • Si no, se une a la cola
  • Es importante señalar que la cola no incluye a quien está recibiendo el servicio

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Sistema de líneas de espera (modelo básico)

Población de clientes

Sistema de servicio

Clientes servidos

Línea de espera

Instalación de servicio

Regla de prioridad

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Arreglos de líneas de espera

Instalaciones de servicio

Línea única

Instalaciones de Servicios

Líneas múltiples

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Configuración de líneas de espera

  • Canal: Una o mas instalaciones son requeridas para realizar un servicio.
  • Fase: Un paso simple para proporcionar un servicio.
  • Regla de prioridad: La regla que determina cuál cliente es el próximo en ser servido.

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Configuración de instalaciones de servicio

Canal único, fase simple

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Configuración de instalaciones de servicio

Canal único, fase múltiple

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Configuración de instalaciones de servicio

Canal multiple, fase sencilla

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Configuración de instalaciones de servicio

Canal múltiple , fase múltiple

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Configuración Mixta

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Ejemplo de configuraciones

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Ejemplo de configuraciones

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Reglas de prioridad

  • La regla de prioridad determina cual cliente debe ser servido.
  • La mayoria de los sistemas de servicio utilizan la regla first-come, first-serve (FCFS). Otras reglas de prioridad pueden ser:
  • Earliest promised due date (EDD)
  • Shortest expected processing time (SPT)
  • Disciplina Preemptiva: Una regla que permite a un cliente de muy alta prioridad interrumpir el servicio o a otro cliente.

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Sistemas de colas: las llegadas

  • El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas
  • El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable
  • El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas
  • Además, es necesario estimar la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Sistemas de colas: las llegadas

  • Generalmente se supone una distribución exponencial
  • Esto depende del comportamiento de las llegadas
  • El tiempo esperado entre llegadas es 1/
  • Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es = 20 clientes por hora
  • Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Distribución exponencial

  • La forma algebraica de la distribución exponencial es:
  • Donde t representa una cantidad expresada en unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)

28

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Distribución exponencial

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Distribución exponencial

  • La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños
  • En general, se considera que las llegadas son aleatorias
  • La última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Distribución Poisson

  • Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas
  • Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas

31

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Distribución Poisson

  • Su forma algebraica es:
Donde:
  • P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo
  • : tasa media de llegadas
  • e = 2,7182818…

32

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Distribución Poisson

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Sistemas de colas: el servicio

  • El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples
  • El tiempo de servicio varía de cliente a cliente
  • El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ( )
  • El tiempo esperado de servicio equivale a 1/
  • Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora
  • Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos

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Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Sistemas de colas: el servicio

  • Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio
  • Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos:
    • La distribución exponencial (μ=media)
    • Tiempos de servicio constantes (μ=0)
  • Una distribución intermedia es la distribución Erlang

35

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Sistemas de colas: el servicio

  • Esta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar:
  • Si k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial
  • Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes
  • La forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k

36

Dr. José Fernando Hernández Silva

Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

Sistemas de colas: el servicio

    37

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

    Nomenclatura Notación de Kendall: A/B/c

    • A: Distribución de tiempos entre llegadas
    • B: Distribución de tiempos de servicio
      • M: distribución exponencial
      • D: distribución determinista
      • Ek: distribución Erlang
    • c: Número de servidores

    38

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

    Nomenclatura Notación de Kendall: 1/2/3/4/5/6

    • 1: Naturaleza del proceso de llegada
      • M: distribución exponencial
      • D: distribución determinista
      • Ek: distribución Erlang
      • GI: distribución general
    • 2: Naturaleza de los tiempos de servicio
      • M: distribución exponencial
      • D: distribución determinista
      • Ek: distribución Erlang
      • GI: distribución general

    39

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

    Nomenclatura Notación de Kendall: 1/2/3/4/5/6

    • 3: Cantidad de servidores
    • 4: Disciplina de la linea de espera
      • FCFS: el primero en llegar, primero en ser atendido
      • LCFS: El ultimo en entrar, primero en salir
      • SIRO: Servicio en orden aleatorio
    • 5: Especifica el numero de clientes máximo
    • 6: Tamaño de la población de donde se extraen los clientes

    40

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

    Modelos de líneas de espera

    41

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

    Modelos de líneas de espera

    42

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

    Modelos de líneas de espera

    43

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

    Modelos de líneas de espera

    44

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

    Indicadores de desempeño Para evaluar el desempeño se busca conocer dos factores principales:

    1. El número de clientes que esperan en la cola
    2. El tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema
    • Longitud de la cola: Cantidad de clientes en la cola.
    • Numero de clientes en el sistema: Incluye los clientes en la cola y en el servicio.
    • Tiempo de espera en la cola: Espera de inicio del servicio.
    • Tiempo total en el sistema: Tiempo transcurrido entre la entrada a la cola y la salida del sistema.
    • Utilización del servicio: Refleja el porcentaje de tiempo que los servidores están ocupados.

    45

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Introducción, terminología, notación y casos de aplicación

    Indicadores de desempeño

    1. Número esperado de clientes en la cola Lq
    2. Número esperado de clientes en el sistema Ls (L)
    3. Tiempo de espera en la cola Wq
    4. Tiempo de espera en el sistema Ws (W)

    46

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    5.2 Proceso de nacimiento y muerte (modelos Poisson)

    47

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Procesos de nacimiento y muerte

    La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo con un proceso de nacimiento y muerte. En el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema de colas, mientras que el término muerte se refiere a la salida del cliente servido.

    48

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Procesos de nacimiento y muerte

    El estado del sistema en el tiempo t (t ≥ 0), denotado por N(t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia N(t) al aumentar t.

    49

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Procesos de nacimiento y muerte

    Los supuestos del proceso de nacimiento y muerte son los siguientes: Supuesto 1. Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λn (n = 0, 1, 2, …). Supuesto 2. Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro μn (n = 1, 2, …). Supuesto 3. La variable aleatoria del supuesto 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria del supuesto 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. La siguiente transición del estado del proceso es n → n + 1 ( un solo nacimiento ) , o n → n − 1( una sola muerte ) ,

    50

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Procesos de nacimiento y muerte

    Principio de tasa de entrada = tasa de salida. Para cualquier estado n (n = 0, 1, 2, …) del sistema, la tasa media de entrada = tasa media de salida. La ecuación que expresa este principio se llama ecuación de balance del estado n. Después de construir las ecuaciones de balance de todos los estados en términos de las probabilidades Pn desconocidas, se puede resolver este sistema de ecuaciones (más una ecuación que establezca que las probabilidades deben sumar 1) para encontrarlas.

    51

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Procesos de nacimiento y muerte

    Ecuaciones de balance

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    52

    Procesos de nacimiento y muerte

    Formulas generales del proceso de nacimiento y muerte

    53

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Procesos de nacimiento y muerte

    Ejemplo 1

    54

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Procesos de nacimiento y muerte

    Ejemplo 2 Una gasolinera cuenta con una bomba de gasolina. Los automóviles que desean cargar llegan según un proceso de Poisson a una tasa media de 15 por hora. Sin embargo, si la bomba esta en operación, los clientes potenciales pueden desistir (ir a otra gasolinera). En particular, si hay n autos en ella, la probabilidad de que un cliente potencial que llega desista es n/3 para n 5 1, 2, 3. El tiempo necesario para servir un auto tiene distribución exponencial con media de 4 minutos.

    1. Construya el diagrama de tasas del sistema de colas.
    2. Desarrolle las ecuaciones de balance.
    3. Resuelva estas ecuaciones para encontrar la distribución de probabilidad de estado estable del numero de autos en la gasolinera. Verifique que la solución sea la misma que la solución general del proceso de nacimiento y muerte.
    4. Encuentre el tiempo de espera esperado (incluido el servicio) de los automóviles que se quedan.

    55

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    5.3 Población infinita un servidor, cola infinita

    56

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Factor de utilización del sistema Dada la tasa media de llegadas y la tasa media de servicio , se define el factor de utilización del sistema . Generalmente se requiere que < 1 Su fórmula, con un servidor y con s (c) servidores, respectivamente, es:

    57

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Factor de utilización del sistema Supongamos lo siguiente,  = 0.75,  = 1 El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es  = / = 0.75/1 = 0.75 = 75% Con dos servidores (s = 2):  = /c = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

    58

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

    59

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    • El modelo mas simple de línea de espera involucra un servidor y una cola de clientes.
    • Supuestos:
    • La población de clientes es infinita y paciente.
    • Los clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson, con tasa media de llegada 
    • La distribución de los tiempos de servicio es exponencial con tasa media de servicio 𝝻
    • La tasa media de servicio excede la tasa media de llegada.
    • Los clientes son servidos con la regla FIFO(FCFS, PEPS).
    • La longitud (capacidad) de la línea de espera es ilimitada.

    60

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    l m

     = Factor de utilización del sistema =

    Rn = Probabilidad que n clientes estén en el sistema = (1 – r)rn

    l m – l

    L = Cantidad promedio de clientes en el sistema =

    Lq = Cantidad promedio de clientes en la linea de espera = L

    1 m – l

    W = Tiempo promedio de espera en el sistema =

    Wq = Tiempo promedio de espera en la cola = W

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    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

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    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor Ejemplo 1 Un autolavado puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además, la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema

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    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

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    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor Ejemplo 2 A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además, la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola

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    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

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    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor Ejemplo 3 La gerente de una tienda de abarrotes, en una comunidad rural, esta interesada en brindar un buen servicio a las personas mayores que compran en su tienda. Actualmente, la tienda tiene una caja registradora reservada para los clientes de la tercera edad. Esas personas llegan a la caja a un ritmo promedio de 30 por hora, de acuerdo con una distribución de Poisson, y son atendidas a una tasa promedio de 35 clientes por hora, con tiempos de servicio exponenciales. Calcule las siguientes características de operación:

    1. Utilización promedio del empleado de la caja registradora
    2. Probabilidad de que haya cero clientes en el sistema
    3. Numero promedio de clientes en el sistema
    4. Numero de clientes formados en la fila

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    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    1. Tiempo promedio que los clientes pasan en el sistema
    2. Tiempo promedio de espera en la fila
    3. ¿Que tasa de servicio se requeriría para lograr que los clientes pasaran, en promedio, sólo 8 minutos en el sistema?
    4. Con esa tasa de servicio ¿Qué probabilidad hay de tener más de cuatro clientes en el sistema?
    5. ¿Qué tasa de servicio se requeriría para tener sólo 10% de probabilidad de que haya más de cuatro clientes en el sistema?

    68

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    1. Utilización promedio del empleado de la caja registradora
    1. Probabilidad de que haya cero clientes en el sistema

    69

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    1. Numero promedio de clientes en el sistema
    d) Numero de clientes formados en la fila

    70

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    1. Tiempo promedio que los clientes pasan en el sistema
    2. Tiempo promedio de espera en la fila

    71

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor g) ¿Que tasa de servicio se requeriría para lograr que los clientes pasaran, en promedio, sólo 8 minutos en el sistema?

    72

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor h) Con esa tasa de servicio ¿Qué probabilidad hay de tener más de cuatro clientes en el sistema?

    73

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor i) ¿Qué tasa de servicio se requeriría para tener sólo 10% de probabilidad de que haya más de cuatro clientes en el sistema?

    74

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor i) ¿Qué tasa de servicio se requeriría para tener sólo 10% de probabilidad de que haya más de cuatro clientes en el sistema?

    75

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    • Modelos M/G/1

    76

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    • Modelos M/G/1
    Ejemplo 1 Un autolavado puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora,  = 2 min. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1 Además, la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

    77

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    • Modelos M/G/1

    78

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    • Modelos M/G/1
    Ejemplo 2 A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga  = 5 min Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1 Además, la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

    79

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    • Modelos M/G/1
    Ejemplo 2

    80

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    • Modelos M/D/1

    81

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    • Modelos M/D/1
    Ejemplo 1 Un autolavado puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

    82

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    • Modelos M/D/1
    Ejemplo 1

    83

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    • Modelos M/D/1
    Ejemplo 2 A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

    84

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población infinita un servidor, cola infinita

    Modelos de una cola un servidor

    • Modelos M/D/1
    Ejemplo 2

    85

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    5.4 Población finita un servidor, cola finita

    86

    Dr. José Fernando Hernández Silva

    Población finita un servidor, cola finita

    En este tema se trata un sistema de colas M/M/1/GD/c/∞. Recordemos que este sistema de colas es un sistema M/M/1/GD/∞/∞ con una capacidad total de c clientes. El sistema M/M/1/GD/c/∞ es idéntico al sistema M/M/1/GD/∞/∞, excepto por el hecho de que cuando c clientes están presentes, a todas las llegadas se les niega la entrada y el sistema las pierde para siempre. Al igual que los modelos anteriores, suponemos que los tiempos entre llegadas son exponenciales con tasa 𝜆, y los tiempos de servicio son exponenciales con tasa 𝜇. .

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    Población finita un servidor, cola finita

    Ejemplo 1 Una peluquería que atiende una sola persona tiene un total de 10 sillas. Los tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial, y un promedio de 20 posibles clientes llega cada hora a la peluquería. Los clientes que al llegar a la peluquería la encuentran llena, ya no entran. El peluqyero se tarda en promedio 12 minutos en cortar el cabello a cada cliente. Los tiempos del corte de cabello están distribuidos en forma exponencial.

    1. En promedio, ¿cuántos cortes de cabello por hora completará el peluquero?
    2. ¿Cuánto tiempo pasará en promedio un cliente en la peluquería?
    𝜆 = 20 𝜇 = 5 𝜌 = 20/5 = 4

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    Población finita un servidor, cola finita

    Ejemplo 1 (Solución) =0.75

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    Población finita un servidor, cola finita

    Ejemplo 2 Una instalación de servicio consta de un servidor, el cual puede atender a un promedio de 2 clientes por hora (tiempos de servicio exponenciales). Un promedio de 3 clientes por hora llega a la instalación (se supone que los tiempos entre llegadas son exponenciales). La capacidad del sistema es de 3 clientes.

    1. ¿Cuántos clientes potenciales entran, en promedio, al sistema cada hora?
    2. ¿Cuánto tiempo pasará en promedio un cliente en el servidor?
    𝜆 = 3 𝜇 = 2 𝜌 = 3/2 = 1.5

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    Población finita un servidor, cola finita

    Ejemplo 2 (Solución) 0.41

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    5.5 Población infinita servidores múltiples, cola infinita

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    Población infinita servidores múltiples, cola infinita

    M/M/c: c servidores con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales M/D/c: c servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio M/Ek/c: c servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

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    Población infinita servidores múltiples, cola infinita

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    Población infinita servidores múltiples, cola infinita

    Ejemplo 1 La sala de urgencias del Hospital General proporciona cuidados médicos rápidos a los casos urgentes que llegan en ambulancia o en vehículos particulares. En todo momento se cuenta con un medico de guardia. No obstante, debido a la creciente tendencia a usar estas instalaciones, a causa de los enfrentamientos armados en la ciudad, el hospital experimenta un aumento continuo en el numero de pacientes. Dado lo anterior se ha presentado la propuesta de asignar a un segundo medico. Al proyectar los datos el ingeniero industrial, estima que los pacientes llegaran a una tasa promedio de uno cada media hora. Un medico requiere un promedio de 20 minutos para atender al paciente. A que resultados se llegaría si se contratara al segundo medico en urgencias.

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    Población infinita servidores múltiples, cola infinita

    Ejemplo 2 Una comunidad es servida por dos compañías de taxis. Cada compañía es dueña de dos taxis, las cuales comparten el mercado de manera equilibrada. Este hecho se evidencia por el hecho que las llamadas llegan a la oficina de cada compañía con una tasa de 8 llamadas por hora. El tiempo de corrida dura en promedio 12 minutos. Las llamadas llegan de acuerdo a una distribución de Poisson, y el tiempo de corrida es exponencial. Las dos compañías recientemente fueron compradas por un inversionista, quien esta interesado en consolidarlas en una sola oficina de despacho de taxis, esto con el fin de proporcionar un mejor servicio. Sera conveniente para el dueño consolidarlas o dejar el sistema actual con dos oficinas.

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    Población infinita servidores múltiples, cola infinita

    Ejemplo 3 American Weavers, Inc., tiene una planta de manufactura de tela en Georgia. La planta tiene un gran numero de maquinas tejedoras que con frecuencia se atascan. Estas maquinas son reparadas basándose en el procedimiento de la primera en entrar, la primera en ser revisada, por uno de los siete miembros del personal de reparación. Durante varios recorridos, la gerente de producción ha observado que, en promedio, aproximadamente de 10 a 12 maquinas están fuera de operación en cualquier momento debido a que están atascadas. Ella sabe que contratar personal de reparaciones adicional bajaría el numero de maquinas sin funcionar, lo cual traería como consecuencia un aumento en la producción, pero no sabe a cuantas personas contratar. Suponga que la aparición de maquinas atascadas puede ser aproximada por un proceso de Poisson con una tasa promedio de 25 por hora. Cada maquina requiere en promedio 15 minutos de tiempo de reparación, lo cual, para cada servidor, significa una tasa promedio de cuatro maquinas por hora.

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    Población infinita servidores múltiples, cola infinita

    Como asesor se le ha pedido que recomiende el numero de reparadores adicionales que se necesitan contratar. El departamento de contabilidad le ha informado que el costo por hora por persona es de $50, y que el costo por hora por maquina descompuesta es de $100. quedando la relación de la siguiente manera: Costo Total = Costo de personal + Costo de la espera donde: Costo de personal = (cto/hora/reparador) x (numero de reparadores) Costo espera = (cto./maq. reparacion) x (num. de maqs. descompuestas)

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    Población infinita servidores múltiples, cola infinita

    • Medidas de desempeño

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    Población infinita servidores múltiples, cola infinita

    • Costo por hora para diferentes tamaños de personal de reparación

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    Población infinita servidores múltiples, cola infinita

    Costos

    Costo total

    Costo del servicio

    Costo de espera

    Tasa óptima de servicio

    Tasa de servicio

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    5.6 Uso de software

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    Uso de software

    Existe una oferta variada en software para realizar los cálculos de los indicadores de desempeño de la teoría de líneas de espera, la mayoría basados en Excel. También se ha utilizado en gran medida los lenguajes de programación como Python

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