Medidas de Posición

medidas de posición no central

Percentiles, Cuartiles y Deciles

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Medidas de posición no central

La mediana divide una serie de datos ordenados en dos partes iguales, dejando un 50% de información por debajo de este valor y un 50% por encima. Pero la serie puede dividirse en cuatro, diez o cien partes iguales, dando lugar a cuartiles, deciles y percentiles. Las medidas de posición no central sirven para dividir el conjunto de datos estadísticos en intervalos iguales.

01

los cuartiles

¿Qué son? ¿Para que sirven? ¿Con qué fórmula son calculados?

¿Qué son? ¿Para qué sirven?

Son los tres valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales y permiten saber si un dato aleatorio de la muestra es muy grande, muy pequeño o un valor medio. Los cuartiles se representan mediante una Q mayúscula y el subíndice del cuartil. De manera que:

Q3

Q1

Q2

Representa el segundo Cuartil

Representa el primer Cuartil

Representa el tercer Cuartil

Por lo tanto, el primer cuartil representa el 25%, el segundo cuartil el 50% y el tercer cuartil el 75% de los datos.

Primer, Segundo y Tercer Cuartil

Q1

Primer Cuartil

Es aquel valor superior al 25% de los datos estadísticos de una muestra. Es decir, el primer cuartil es más grande que el 25% de los datos observados

Q2

Segundo Cuartil

Es aquel valor superior al 50% de los datos estadísticos de una muestra. Por lo tanto, el segundo cuartil separa al conjunto de datos en dos mitades y coincide con la mediana y quinto decil.

Tercer Cuartil

Q3

Es el valor que supera al 75% de los datos estadísticos de una muestra. O dicho de otra forma, el tercer cuartil es más grande que el 75% de los datos recopilados.

¿Cómo se calculan los Cuartiles?

Para calcular la posición de los cuartiles de un conjunto de datos estadísticos debes utilizar la siguiente fórmula:

Atención

Esta fórmula nos indica la posición del cuartil, no el valor del cuartil. El cuartil será el dato situado en la posición obtenida por la fórmula.

Algunas veces el resultado nos dará decimales, por lo que tendremos que utilizar la siguiente fórmula:

Donde: - Xi e xi+1

: son los números de las posiciones entre las cuales está la posición.

- d : es la parte decimal de la posición.

Cálculo de Cuartiles con datos agrupados

Para calcular los cuartiles cuando los datos están agrupados en intervalos primero debemos encontrar la clase en la que se encuentra el cuartil utilizando la sig. fórmula:

Y una vez que sabemos el intervalo al que pertenece el cuartil, tenemos que aplicar la siguiente fórmula para hallar el valor exacto del cuartil:

Donde: * Li es el límite inferior del intervalo en el que se halla el cuartil. * n es el número total de observaciones. * Fi-1 es la frecuencia absoluta acumulada dle intervalo anterior. * fi es la frecuencia absoluta dle intervalo en el que se encuentra el cuartil. * li es la amplitud del intervalo del cuartil.

Ejemplo 1. Cálculo de Cuartiles con datos agrupados

Los siguientes 30 datos corresponden a los pesos (en kg) de 30 personas que participaron en un programa de salud. Calcula el primer cuartil de la siguiente serie de datos agrupados:

Para hacer el cálculo del primer cuartil primero debemos determinar el intervalo en el que se encuentra. Para ello, aplicamos la siguiente fórmula:

De manera que el primer cuartil estará en el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea inmediatamente superior a 7,75, en este caso es el intervalo (50,60) cuya frecuencia absoluta acumulada es 15. Y una vez conocemos el intervalo del cuartil, empleamos la segunda fórmula del proceso:

Ejercicio de Practica 1

Los 20 siguientes datos corresponden a las ventas diarias (en unidades) de un refresco en una tienda durante 20 días, Calcula el primer y tercer cuartil. 4, 1, 3, 6, 5, 3, 3, 3, 4, 2, 1, 6, 6, 1, 3, 4, 3, 4, 6, 5

02

los deciles

¿Qué son? ¿Para que sirven? ¿Con qué fórmula son calculados?

¿Qué son? ¿Para qué sirven?

Son nueve valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en diez partes iguales. Sirven para resumir y describir la distribucion de un conjunto de datos de manera más detallada que las medidas de tendencia central como mediana o media. Se representan mediante la letra D mayúscula y el subíndice del decil, por ejemplo:

D9

D1

D5

Representa el primer Decil

Representa el quinto Decil

Representa el novenoDecil

Por lo tanto, el primer, segundo, tercer... decil representa el 10%, 20%, 30%... de la muestra de población.

¿Cómo se calculan los Deciles?

Para calcular los deciles cuando los datos están agrupados en intervalos, primero debemos encontrar el intervalo o clase en el que se encuentra el decil utilizando la siguiente fórmula:

Atención

Esta fórmula nos indica la posición del decil, no el valor del decil. El decil será el dato situado en la posición obtenida por la fórmula.

Algunas veces el resultado nos dará decimales, por lo que tendremos que utilizar la siguiente fórmula:

Donde: - Xi e xi+1

: son los valores de las posiciones entre las cuales está la posición del decil

- d : es la parte decimal de la posición.

Cálculo de Deciles con datos agrupados

Para calcular los deciles cuando los datos están agrupados en intervalos, primero debemos encontrar el intervalo o clase en el que se encuentra el decil utilizando la siguiente fórmula:

El decil estará en el intervalo cuya frecuenia absoluta acumulada sea superior al número obtenido en la expresión anterior. Después aplicamos la siguiente fórmula para hallar el valor exacto del decil:

Donde: - Li es el límite inferior del intervalo en el que se halla el decil. - Fi-1 es la frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior. - fi es la frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra el decil.

Ejemplo 1. Cálculo de Deciles con datos agrupados

Los siguientes datos corresponden al tiempo en minutos que 70 personas dedicaron a hacer ejercicio en una semana. Calcular el tercer decil.

Encontramos el intervalo del tercer decil:

Aplicamos la siguiente fórmula para hallar el valor exacto del decil:

El intervalo del decil será aquel cuya frecuencia absoluta acumulada sea superior a 21.3, como vemos el intervalo (30-35) tiene frecuencia absoluta acumulada 31.

Ejercicio de Practica 2

En un hospital se tomó la edad de 60 personas en situación de dengue, determina el decil 3 y el decil 2 con la siguiente tabla de frecuencias: 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 37, 38, 38, 39, 39, 40, 40, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 44, 45, 45, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 49, 49, 50, 50, 51, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 54, 55, 55, 56, 56, 57, 57, 58, 58, 59, 59, 60, 60

03

los Percentiles

¿Qué son? ¿Para que sirven? ¿Con qué fórmula son calculados?

¿Qué son? ¿Para qué sirven?

Son los valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en cien partes iguales. De manera que un percentil indica el valor por debajo del cual se encuentra un porcentaje del conjunto de datos, por ejemplo, el valor del percentil 35 es más grande que el 35% de los datos observados, pero más pequeño que el resto de datos. Se representan mediante la letra P mayúscula y el subíndice del percentil, por ejemplo:

P1

P40

Representa el Percentil 1

Representa el Percentil 40

P79

Esta medida de posición no central aporta información sobre el porcentaje de observaciones de una variable, ordenados de menor a mayor, que se sitúan por debajo del valor de este.

Representa el Percentil 79

¿Cómo se calculan los Percentiles?

Para calcular la posición de un percentil de una serie de datos estad´siticos debes multiplicar el número del percentil por la suma del número total de dtos más uno y dividir el resultado entre cien. Por lo tanto, la fórmula de los percentiles es:

Atención

Esta fórmula nos indica la posición del percentil, no el valor del percentil. El percentill será el dato situado en la posición obtenida por la fórmula.

Algunas veces el resultado nos dará decimales, por lo que tendremos que utilizar la siguiente fórmula:

Donde: - Xi e xi+1

: son los números de las posiciones entre las cuales está el número obtenido por la primera fórmula..

- d : es la parte decimal de la posición.

Cálculo de Percentiles con datos agrupados

Para calcular los deciles cuando los datos están agrupados en intervalos, primero debemos encontrar el intervalo o clase en el que se encuentra el percentil utilizando la siguiente fórmula:

Donde: - K es el número de percentil que quieres encontrar. - n es el total de datos De modo que el percentil estará en el intervalo cuya frecuencia absoluta sea inmediatamente superior al número obtenido en la expresión anterior.

Y una vez que ya sabemos el intervalo al que pertenece el percentil, tenemos que aplicar la siguiente fórmula para hallar el valor exacto del percentil:

Donde: - Li: es el límite inferior del intervalo en el que se halla el percentil. - n: es el número total de observaciones. - Fi-1: es la frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior. - fi: es la frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra el percentil. - li: es la amplitud del intervalo del percentil.

Ejercicio de Practica 2

Un grupo de 65 estudiantes fue evaluado en una prueba de matemáticas. Las calificaciones de los estudiantes están organizadas en intervalos en la tabla anterior. Se te pide que determines los percentiles 15 y 20 para algunos estudiantes.

Ejemplo 1. Cálculo de Percentiles con datos agrupados

En una competición de atletismo, los tiempos de los 500 corredores se agrupan en intervalos según la tabla anterior, que respresentan los tiempos en segundos. Calcular el percentil 29.

Encontramos el intervalo del percentil 29:

El intervalo del percentil será aquel cuya frecuencia absoluta acumulada sea inmediatamente superior a 145,29 que en este caso es el intervalo (350, 375) cuya frecuencia absoluta acumulada es 175. Y una vez conocemos el intervalo del percentil, aplicamos la siguiente fórmula para calcular su valor exacto:

¡Gracias por su atención!