Inspe n°2

Didactique disciplinaire et stratégies d'enseignement de la discipline

Nadège Leroux : lycée Les Bruyères (Sotteville Les Rouen) nadege.leroux1@ac-normandie.frCécile Morvan : collège Maximilien de Robespierre (Saint Etienne du Rouvray) cecile.morvan@ac-normandie.fr

mardi 5 novembre

2. Formation : Le signe "=" ; L'erreur ; Calcul littéral

1. Ressentis des débuts

"Tout un symbole"

Un demi et cinq dixièmes sont des écritures équivalentes.

100 cm est équivalent à 1 m Travail sur les préfixes : cycle 3

Le périmètre d'un rectangle s'obtient en doublant la somme de la longueur et la largeur du rectangle.

Les droites (AB) et (CD) sont confondues.

Les segments [AB] et [CD] ont la même longueur. Compétence COMMUNIQUER

4(n+2) et 4n+8 sont des expressions algébriques équivalentes : l'une est sous forme factorisée et l'autre est sous la forme développée-réduite.

Trois demis s'écrit 1,5 en écriture décimale.

Que peut-on dire des écritures suivantes ?

Traduire par une phrase chacune de ces écritures, sans utiliser le mot « égal » et sans utiliser de symboles.

Les différents statuts du signe "="

Ecole primaire

Collège

Annoncer un résultat

• "ça donne" ; "ça fait"
• orienté "gauche-droite"

Décomposition d'un nombre

• 36 = 6 x 6
• 1 336 = 1 x 1 000 + 3 x 100 + 3 x 10 + 6

Représentation d'un même nombre

• Placer le nombre 7/4 sur une demi-droite graduée. 7/4 c'est quatre quarts plus trois quarts ou encore huit quarts moins un quart.

Expression d'un même objet

• a + (b-a)/2 = (a+b)/2

Traduire une identité

• k(a+b) = ka+kb

Equation

• Au lieu d'être utilisé pour écrire des égalités vraies, il apparait dans des énoncés dont on se demande s'ils peuvent être rendus vrais

Symbole d'affectation

• Calculer a+2b pour a=1,3 et b=0,7
• Algorithmique

Une erreur

Extrait DNB 2023 (Métropole Antilles Guyane)

Statut de l'erreur, analyse et remédiation

Statut de l'erreur, analyse et remédiation

1. Le système didactique

2. Les obstacles

Le triangle élève / Maître / Savoir

(Charnay, 1991)

Relation ELEVE / SAVOIRles conceptions

Relation MAÎTRE / SAVOIRles choix didactiques

Relation MAÎTRE / ELEVEle contrat didactiques

un savoir ancien qui résiste à la mise en place d'un savoir nouveau

relatifs aux connaissances disciplinaires et didactiques du maître

« un problème a toujours une solution », « il faut utiliser toutes les données du texte », « si on vient d’étudier tel théorème il faut l’utiliser dans la solution »...

Les notions qui ont posé problème dans l’histoire des mathématiques se retrouvent dans la construction du savoir des élèves.

Ces erreurs sont liées à l’élève qui est limité à un moment par son développement psychogénétique. Par exemple, en même temps que l’élève grandit, sa conception de la proportionnalité se construit en fonction du développement de son cerveau, de sa maturité (selon Piaget). Il est donc important de traiter ces apprentissages sur du long terme, plusieurs années.

En résumé - l'erreur plurielle

Remédiation

Définition : Remédiation (Charnay)Nouvelle médiation entre le savoir et l’élève. Acte d’enseignement dont l’objectif est de s’approprier des connaissances (savoir, savoir-faire, savoir-être, compétence méthodologique) après qu’un premier enseignement ne lui ait pas permis de le faire dans les formes attendues.

Systématique ? Collective ? Individuelle ? Semi-collective ? En groupes ? Homogènes ? Hétérogènes ? Proposée par le maître entre pairs (notion de conflit socio-cognitif et zone proximale : collaboration et comparaison) ? En classe, dans l’établissement ou à la maison ? Immédiate ou de long terme ? Ponctuelle ou ritualisée ?

Suite

Objectifs du calcul littéral

- Donner du sens et de l’intérêt au recours à la lettre - Travailler les différents statuts de la lettre - Travailler les différents statuts du signe égal - Mobiliser et entretenir des capacités techniques - Résoudre des problèmes - Passage de l’arithmétique à l’algèbre = RUPTURE

Les différents statuts de la lettre

variable

indéterminée

inconnue

paramètre

formule (précoce)apect fonctionneltableur

représentation de nombre quelconquetravail sur les identités fondamentalesuniversalité

perte de l'universalité, égalité pas forcément vraieéquationrésolution de problème

Quantité supposée par rapport à d’autres lettres qui ont le statut :- De variable (exemple : définition de la fonction linéaire de coeff. a)- D’inconnue (Exemple: désignation des équations du 2nd degré à une inconnue ax² + bx + c = 0)- D’indéterminée (Exemple: toute expression du premier degré peut s’écrire ax+b)

Une activité ...

L'activité ...

Squelette de cubes ...

Source : Des maths ensemble et pour chacun 4ème

On fabrique des “squelettes de cubes” en collant face contre face des petits cubes de 1 cm d’arête, comme le montrent les quatre dessins en perspective ci-dessous.On peut ainsi fabriquer des “squelettes de cubes” aussi grands que l’on veut.Pouvez-vous dire combien il faut de petits cubes pour fabriquer n’importe quel squelette ?

Statut de la lettre

Les différents statuts de la lettre

variable

indéterminée

D'autres ...

inconnue

paramètre

production de formule

preuve que les formules trouvées sont équivalentes

prolongement de l'activité :Sachant que je dois utiliser ... cubes, combien de cubes sont contenus dans une arête ?

prolongement de l'activité :Quand le nombre de cubes est connu, l'existence d'une solution dépend des valeurs attribuées à ce dernier nombre.Déterminer des valeurs du nombre N de cubes pour lequel le problème a une solution, ce qui peut conduire à discuter par exemple l'existence d'une solution à l'équation 12c - 16 = N

une Exploitation possible en classe

Suite ...

Carrés bordés

Cycle 4

Une progression possible au cycle 4

5ème

Suite ...

4ème

Source : des maths ensemble et pour chacun 4ème

3ème

Source : document accompagnement : le_calcul_au_college_et_au_lycee (février 2013)

essais successifs ; laborieux ; le tableur et ses limites

Devoirs pour séance n°3