Cónicas proyectivas

UNIVERSO DE LAS CÓNICAS

Cónicas proyectivas

Solo hay una cónica en un plano proyectivo

Ecuación y parametrización de una cónica

Pascal, Pappus, Brianchon

Definición de Steiner

DEFINICIÓN

DEFINICIÓN

PAPPUS

PASCAL

TEOREMAS

BRIANCHON

DEFINICIÓN

TEOREMA

Perspectiva y colinealidades proyectivas

TEOREMA

DEFINICIÓN

TEOREMA

TEOREMA

TEOREMA

De acuerdo con la definición de Steiner de una cónica, está claro que las colinealidades proyectivas mapean las cónicas con las cónicas. Para dos cónicas cualesquiera en P2(F) con diferentes puntos A, B, D ∈ c y A", B", D' ∈ c' hay una colinealidad única con A ↦ A', B ↦ B' y D ↦ D'. Aunque hay una gran variedad de cónicas desde el punto de vista euclidiano. En los planos proyectivos, todo se simplifica.

Siguiendo a J. Steiner

La definición de Steiner de una cónica: Izquierda: Cinco puntos en un posición admisible define una cónica. Medio: la cónica única en cinco puntas. Derecha: Dos elementos de líneas más un punto también definen una cónica única.

PASCAL Y PAPPU

Sin embargo, la prueba sintética parece ser más poderoso ya que cubre también la declaración inversa. El dual de una cónica definida por la definición es un conjunto de líneas. Puede ser demostrado que en los planos de Fano esta cónica dual consiste en las tangentes de una cónica. Como prueba, volvemos a referirnos a la literatura.

También hay una demostración analítica del teorema de Pascal o de Pappus

En esta sección, veremos que las cónicas definidas a través de proyectividades son curvas algebraicas de grado dos. Por lo tanto, obtenemos una parametrización y una ecuación. A partir del teorema sabemos que dos elementos de línea (S, s) y (T,t) junto con un punto R ∉ {s∪t} definen una cónica única c. La proyectividad α que genera c se define por.

Podemos imponer un marco proyectivo en los puntos y líneas dados: S = (1 ∶ 0 ∶ 0), T = (0 ∶ 0 ∶ 1) y R = (1 ∶ 1 ∶ 1). Además, no es una restricción suponer que las tangentes s y t se encuentran en el punto (0 ∶ 1 ∶ 0), y por lo tanto, s y t tienen el homogéneo ecuaciones s ∶ x2 = 0 y t ∶ x0 = 0. En nuestro entorno, la línea [S, T] tiene el ecuación x1 = 0, y finalmente, las rectas [S, R] y [T,R] tienen las ecuaciones x1 − x2 = 0 y x0 − x1 = 0.

La elección correcta de un marco de coordenadas simplifica la ecuación de la cónica c. Izquierda: el fotograma elegido. Derecha: la única c cónica en (S, s), (T,t), y R.

PRIMER TEOREMA

Cualquier par de puntos en una cónica "c" puede servir como la base de puntos de una generación proyectiva de "c" de acuerdo con la definición de Steiner. En la figura la base de los puntos de la proyeción generada de la cónica puede ser elegida libremente.

PRIMER TEOREMA

Una cónica está definida por cinco puntos, tres de los cuales no son colineales.

dEFINICIÓN DE STEINER

El conjunto de todos los puntos de la intersección

Asumimos que nos dan dos lápices de líneas con sus respectivos portadores S ≠ T. Dejamos a σ ∶ S ∧T ser una proyectividad que no puede ser reducida a una única perspectiva del lápiz S al lápiz T.

todas las líneas "l" mediante S con sus σ-imágenes es una cónica. Una línea "t" que contiene un punto P de una cónica llamada tangente de "c" a "P" y el par (P, t) es llamado una línea del elemento. Los punros S y T son a veces referidos como la base de los puntos de la generación de "c". Podemos concluir que no hay restricciones a la base de los puntos en una cónica.

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Ambos teoremas, el de Pappus y el de Brianchon, siguen siendo válidos si algunos puntos o las líneas coinciden. Formulamos estos casos especiales para el caso del teorema de Pappus. Los casos especiales de Brianchon no son otra cosa pero las contrapartes duales

TEOREMAS

Teorema de Pappus y sus formas especiales: Izquierda: la versión original. Medio: El punto P6 se ha movido hacia P5. Ahora, la tangente t5 en P5 suena el papel de la primera línea [P5, P6]. Derecha: Otra coincidencia, digamos P3 = P4, reemplaza el par (P3, P4) por el elemento de línea (P3, t3) y el teorema de Pappus todavía se mantiene

Seis rectas l1, l2, l3, l4, l5, l6, de las cuales no hay tres concurrentes, son tangentes de una c cónica si, y sólo si, las tres rectas

Los teoremas de Pappus y Brianchon en la más degenerada forma: Izquierda: La configuración auto-dual de tres elementos de línea de una cónica. Derecha: La punta de Gergonne de un triángulo ABC es igual a la punta de Brianchon del círculo i.

son concurrentes.

SEGUNDO TEOREMA Seis puntos P1, P2, P3, P4, P5, P6, de los cuales no hay tres colineales, yacen en una cónica si, y solo si, los tres puntos

TEOREMAS

En el plano proyectivo real P2(R), puede aparecer el teorema de PAPPUS en diferentes formas: Izquierda: La recta ideal es tangente a "c" en P2. Derecha: La línea [P1, P2] coincide con la línea ideal

son colineares.

El teorema de Pappus da una incidencia geométrica, y por lo tanto, un criterio simple para que seis puntos se encuentren en una cónica

PRIMER TEOREMA Sean P1, P2, P3, P4, P5 y P6 seis puntos en una cónica. A continuación, los tres puntos

son colineares. Pero incluso lo contrario es cierto, y así lo afirmamos

Pappus Y Brianchon

Ambos teoremas, el de Pappus y el de Brianchon, se aplican a las configuraciones más degeneradas donde tres pares de puntos o tres pares de rectas colapsar. La configuración en el lado izquierdo de la figura es autodual. Las rectas que conectan los vértices de la tangente triángulo de la cónica con los puntos de contacto opuestos son concurrentes en el Brianchon punto B.

Los teoremas de Pappus y Brianchon en la más degenerada forma: Izquierda: La configuración auto-dual de tres elementos de línea de una cónica. Derecha: La punta de Gergonne de un triángulo ABC es igual al punto del círculo i de Brianchon.

Llamamos proyectiva a una collineación si su restricción a cualquier rango de puntos o lápiz de líneas es una proyectividad. Se puede demostrar que en el proyectivo real plano P2(R) toda colinación es proyectiva

DEFINICIÓN

Una colineación de un plano proyectivo a otro plano proyectivo es un mapeo que envía puntos y satisface los siguientes axiomas: (K1) Puntos colineares son mapeados con puntos colineares (K2) El mapeo es uno a uno y en adelante.

Una collineación proyectiva en P2(R): En general, los paralelos no son conservado e incluso las orientaciones pueden cambiar. La circunferencia c del cuadrado ABCD no se asigna a la circunferencia de A'B′C' pero a alguna curva c'.

Para dos cónicas cualesquiera, c' en P2(F) con diferencias mutuas puntos A, B, D ∈ c y A', B", D' ∈ c' hay una colinealidad única con un ↦ A", B ↦ B' y D ↦ D'. Todas las cónicas c son imágenes colineales.

Hasta las colinealidades, solo hay una cónica en P2(F): hay exactamente una colinealización proyectiva κ mapeando la cónica c a la cónica c' con A ↦ A", B ↦ B', C ↦ C" y D ↦ D'. La elección adecuada de A, B, C, D ∈ c y A′, B", C", D' tiene algunos grados de libertad.