EDO homogénea y método de Euler

16 Oct 2024

EDO homogéneas y el método numérico de Euler

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Integrantes

Altamirano Cruz Montserrat Arce Gordoa Benjamín Bernardino Sanchez Oscar Escobedo Garcia Noemí Gutiérrez Montes de Oca Daniel Juárez Pérez Julián Navas Guzmán Abigail

Ejercicios de EDO homogénea

Solución de EDO homogénea

Teoría de EDO homogéneas

ÍNDICE

El método numérico de Euler

Aplicaciones del método numérico de Euler

Cómo resolver por método de Euler

Ejercicios de Euler

EDO homogéneas

Una ecuación diferencial homogénea es un tipo particular de EDO donde todos los términos dependen del incógnito y de sus derivadas (sin términos “independientes”, es decir, sin términos constantes o funciones de solas) son un tipo especial de ecuaciones diferenciales que se pueden simplificar y resolver debido a su estructura particular.

Forma general

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Clasificación

EDO lineales homogéneas: Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden tiene la forma:

En esta ecuación y=0, siempre es una solución trivial, y no aparece ningún término independiente de y.

De primer orden

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Solución de EDO homogénea

¿?

EDO lineales homogéneas: El método de solución para las EDO lineales homogéneas generalmente involucra suponer que la solución tiene la forma de una exponencial y=e^rx, sustituyendo esta en la ecuación original, lo que lleva a una ecuación característica de la forma:

Los valores de r determinan las soluciones particulares de la EDO.

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EDO homogéneas de primer orden: Una estrategia común para resolver estas ecuaciones es realizar el cambio de variables: v=y/x Con este cambio, la ecuación se puede simplificar y convertir en una separable, lo que facilita su integración.

Funciones Homogéneas

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Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 3

xy'=y+2xe^(-y/x)

(x-4y) dx+(3x-2y) dy=0

xsen(y/x)dy/dx=ysen(y/x)+x

Ejercicio 2

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Ejercicio 5

xy'=2x+3y

dy/dx=y/x+(y^2)/x^2

Ejercicio 4

ÍNDICE

El método numérico de Euler

En otras palabras

Interpretación geométrica

¿En qué consiste?

¿Qué es?

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+ info

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ÍNDICE

Aplicaciones del método numérico de Euler

El método numérico de Euler se utiliza para aproximar soluciones a problemas que involucran ecuaciones diferenciales. Algunas de sus aplicaciones son:

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ÍNDICE

Procedimiento para resolver ED por el método de aproximación de Euler.

¿?

El método de Euler se aplica a ecuaciones diferenciales de la forma:

Donde: y(x) es la funció incognita dy/dx es la derivada de y con respecto a x f(x,y) es una función que relaciona x e y y(x_0 )=y_0 es la condició inicial

Fórmula del método de Euler

La fórmula de Euler para avanzar de un valor X_n al siguiente valor X_n+1=X_n+h (Con h siendo el tamaño de paso) es:

ÍNDICE

Ejemplo y pasos para resolverlo

Paso 1

Paso 3

Escribir la ecuación diferencial en la forma

Paso 5

Elegir el tamaño de paso “h” y el intervalo sobre el cual se va a aproximar la solución.

Repetir el proceso hasta alcanzar el valor deseado de x.

Continuación

Paso 2

Paso 4

Definir la condición inicial

Calcular los valores sucesivos de y_n usando la fórmula de Euler:

ÍNDICE

Ejercicios

Ejercicio 1

Ejercicio 3

Ejercicio 2

ÍNDICE

Ejercicios

Ejercicio 4

Ejercicio 5

ÍNDICE

Graciaaaas

xy'=2x+3y (x)dy/dx02x+3y x dy= (2x+3y) dx Cambio de variable y}0ux -> u=y/x dy=u dx+x du x(u dx+x du)=(2x+3u x)dx x(u dx+x du)=(2+3u x dx) Dividiendo sobre x u dx+ x du=(2+3u) dx u dx+x du=2dx+3u dx x du=2dx+3u dx-u dx x du=2u dx+2dx x du=(2u+2)dx

EDO de variables separables du/2u+2=dx/x Integrando ∫ du/2u+2=∫ dx/x 1/2 ∫ du/u+1=∫ dx/x [1/2]Lnlu+1l=Lnlxl+c

Sustituimos u=y/x [1/2]Lnl(y/x)+1l=Lnlxl+c

A mano

xsen(y/x)dy/dx=ysen(y/x)+x [x sen(y/x)] dy=[y sen(y/x)+x] dx Cambio de variable y=(u)(x) -> u=y/x sustituimos u=y/x y dy= x sen(u) (u dx+x du)=[ux sen(u) +x] u x sen(u) dx+x^2 sen(u) du=x (u sen(u) +1) dx u x dx+x^2 sen(u) du=x u dx+x dx x^2 sen(u) du=x dx Simplificamos dividiendo sobre x^2 sen(u) du=dx/x EDO de variables separables ∫ sen(u) du= ∫ dx/x -cos(y/x)=Lnlxl+c

Sustituimos u -cos(y/x)=Lnlxl+c

A mano

• EDO homogéneas de primer orden: Para una ecuación de primer orden, la forma homogénea es:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Una ecuación es homogénea si tanto M(x,y) como N(x,y)son funciones homogéneas del mismo grado.

Aplicar la fórmula de Euler

En resumeeeenn

El método de Euler consiste en encontrar iterativamente la solución de una ecuación diferencial de primer orden y valores iniciales conocidos para un rango de valores. Partiendo de un valor inicial x_0 y avanzando con un paso h, se pueden obtener los valores de la soluci´on de la siguiente manera: Y_(k+1)= Y_k+h ∙f (x_k ,Y_k Donde Y es solución de la ecuación diferencial y f es la ecuación diferencial en función de las variables independientes.

¿En qué consiste?

El valor de yk lo encontraremos del valor anterior y_(k-1) Por tanto, estamos ante un método de un sólo paso. Consiste en dividir el intervalo [t0,t0 + α] ] en N partes iguales, t_1 = t_0+ h,t_2 = t_0 + 2h,· · · ,t_N = t_0 + Nh = t_0 + α ,h = α/N . Si aplicamos la definición de derivada y^´ (t_k)= 〖lim〗_(h→∞) (y (t_k+h)-y(t_k))/h deducimos que para h “suficientemente pequeño” y^´ (t_k )=f(t_k,y(t_k ))≅(y(t_k+h)-y(t_k ))/h Por tanto, y(t_(k+1)) ≅y(t_k) + hf(t_k,y(t_k)),k = 0,1,· · · ,N - 1 . La igualdad anterior nos sugiere el cálculo de los y_k mediante la ley de recurrencia, y_(k+1) = y_k + hf(t_k ,y_k ),k = 0,1,· · · ,N - 1 , partiendo de y(0) =y_0. La ley se conoce como el método de Euler.

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• Modelar cables suspendidos

Decidimos el intervalo para x y el tamaño de paso h. Por ejemplo, si queremos aproximar la solución en el intervalo [0,0.5] y escogemos un tamaño de paso h=0.1, los puntos x_n serán: 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5.

Supongamos que tenemos la ecuación diferencial:

Con la condición inicial y(0)=1

xy'=y+2xe^(-y/x) (x)dy/dx=y+2xe^(-y/x) -> x dy=[y+2xe^(-y/x)] dx x dy=[y+2x/e^(y/x)] dx Cambio de varable: y=ux u=y/x dy=u dx+x du Sustituyendo x(u dx+x du)=(u x + 2x/e^u) dx u x dx +x^2 du=u x dx + (2x/e^u) dx x^2 du= [2x/e^u] dx Variables separables e^u du=[2x/x^2]dx ∫e^u du=2∫dx/x -> e^u=2Ln(x)+c

e^(4/x)=Ln(x)^2+c

A mano

¿Qué es?

El método de Euler es muy interesante como punto de partida en la relación numérica de ecuaciones diferenciales ya que es muy simple y permite comprender el resto de los métodos, pero a efectos prácticos se aplica en contadas ocasiones, pues converge muy lentamente hacia la solución.

• Aproximar el flujo de tráfico en una carretera muy transitada

Forma general:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Donde M(x,y) y N(x,y) y son funciones homogéneas del mismo grado.

dy/dx=y/x+(y^2)/x^2 dy=(y/x+[y^2]/[x^2]) dx Cambio de variable y=ux -> u=y/x dy=u dx+x du u dx+x du=[ux/x+(ux)^2/x^2]dx u dx +x du=(u+u^2)dx u dx+x du=u dx+u^2 dx x du=u^2 dx EDO de variables separables du/u^2=dx/x -> ∫ du/u^2=∫dx/x

-1/u=Lnlxl+c u=-1/Lnlxl+c y/x=-1/Lnlxl+c

y=-x/Lnlxl+c

A mano

Interpretación geométrica

La condición inicial representa al punto P_0 =〖(t〗_0,y_0) por donde pasa la curva solución. Para este punto se cumple, lo cual nos permite trazar una recta que pasa por el punto P_(0 ) y tiene de f (t_0,y_0). Esta recta, aproxima a la solución en los alrededores de t_0. Entonces, tomamos la recta y encontramos el valor de y correspondiente a t_1. Ahora tendremos el punto (t_1,y_1), y repetimos el proceso.

• Aproximar la velocidad de una reacción química a lo largo del tiempo

Una función se dice que es homogénea de grado si satisface la propiedad:

Este concepto es fundamental en la teoría de las EDO homogéneas, ya que permite simplificar el análisis y la resolución de estas ecuaciones mediante cambios de variables adecuados.

• Aproximar la trayectoria de un objeto que cae en un fluido viscoso

• Modelar tanques interconectados