5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación

5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones: F:V→W es una transformación lineal si y sólo si: F(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈VF(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R

TRANSFORMACION LINEAL

Elementos de las transformaciones lineales

Se trata de un conjunto de reglas y relaciones que sirven para cambiar el tamaño o la dirección de un vector que está dentro de un espacio vectorial. + Los vectores en álgebra lineal son expresiones geométricas. Un vector es un punto que parte en forma de línea hacia una dirección, lo podrías imaginar como una flecha. Va de un punto fijo (O) hasta un extremo (Y). + Un escalar son los elementos de un cuerpo, normalmente se definen con números. Un espacio vectorial es el conjunto de vectores (v+u), un conjunto de escalares, y dos operaciones. Sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares mediante funciones mientras que conserven esa estructura. Estas funciones se llaman también transformaciones lineales.

Aplicaciones de las transformaciones lineales

Reflexión

Dilatación

Contracción

Rotación

Reflexión

Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.

REFLEXION

REFLEXION RESPECTO AL EJE Y

REFLEXION RESPECTO AL EJE X

REFLEXION RESPECTO A LA RECTA Y = -X

Dilatación

Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido.

Contracción

La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).

Rotación

El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.

ROTACION PARA θ=120°

BIBLIOGRAFIAS

Grossman, S. I. (2012). Álgebra Lineal. (7a ed). México. Mc Graw-Hill.

Del Valle, J. C. (2012). Álgebra lineal para estudiantes de ingeniería y ciencias. México. Mc Graw-Hill.

Poole, D. (2011). Álgebra lineal una introducción moderna. (3ª ed). México. Cengage Learning.

https://prezi.com/j1zdfewrnefw/52-tranformaciones-lineales/

GRACIAS POR SU ATENCION!

Lorem ipsum dolor