Résolution de problèmes au C2 et construction du nombre

La résolution de problèmes au C2

Audrey HUGUENOT et Stéphanie BOCQUILLON-CPC Wittenheim-, Magalie BAUER et Phatsaly LOCHER -PEMF Wittenheim-, Vincent DIONISI -CPD maths-, Katia HAEGY -CPLV-

Comment est-ce que j'enseigne la résolution de problèmes dans ma classe ?

Est-ce que j'enseigne la résolution de problèmE ou par la résolution de problèmes ?

Autrement formulé, la résolution de problèmes est-elle pour moi un objet d'apprentissage ou un moyen d'apprentissage... Ou les 2 ?

La finalité n'est pas uniquement de savoir résoudre des problèmes, mais de construire ou d'enrichir des concepts… PAR la résolution de problème

Note de service n°2018-052 du 25-04-2018 : «La résolution de problèmes à l'école élémentaire»

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La résolution de problèmes dans les programmes

Au cycle 2:« La résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves. » p.3 Au cycle 3 : « (…)La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maitrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également le moyen d’en assurer une appropriation qui en garantit le sens. (…)On veille aussi à proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas directement reliés à la notion en cours d’étude, qui ne comportent pas forcément une seule solution, qui ne se résolvent pas uniquement avec une ou plusieurs opérations mais par un raisonnement et des recherches par tâtonnements. … »

Pour créer une banque de problèmes ou les exploiter, il faut en connaître les différents types afin d’en mesurer la difficulté. Catherine Houdement distingue les problèmes de base des problèmes complexes ainsi que les problèmes atypiques. Gérard Vergnaud classifie les problèmes arithmétiques en fonction du sens des opérations. Il distingue ainsi :• Les problèmes de comparaisons d’états, les problèmes de combinaison d’états et les problèmes de transformation d’états pour les problèmes de structure additive.• Les problèmes de partage et quotition pour les problèmes de structure multiplicative.

Une catégorisation simple : Catherine Houdement

Comprendre

Modéliser

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LA Résolution de problèmes au C2

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Comment rendre les élèves autonomes? Comment faciliter la compréhension pour accéder à la résolution de problème? Conceptions intuitives : une difficulté?

Le schéma en barres: aide ou risque? Dessiner/Représenter/Schématiser/Modéliser??? Comment aider les élèves à identifier dans quelle situation mathématiques ils se trouvent (structuration/affichage)?

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Calculer

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Ecrire un calcul : objectif en soi ou moyen? Ecrire un calcul: aide ou difficulté?

La "phrase réponse": quel objectif? Quelle exigence? Comment développer l'autorégulation?

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Comprendre

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Extrait des nouveaux programmes de mtahématiques cycle 2

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Comprendre

Comprendre l'énoncé pour résoudre le problème

Compréhension littérale : C'est comprendre les informations ou les idées données de façon explicite. Compréhension arithmétique : C'est savoir transposer une situation explicite en calcul(s), c'est à dire relation entre les nombres.

Comprendre l'énoncé pour résoudre le problème

"La phase COMPRENDRE est particulièrement importante: Pour être en mesure de résoudre un problème, l'élève doit avoir saisi finement à la fois le sens de l'énoncé et celui de la question posée. Cette compréhension est vérifiable à travers la "reformulation de l'histoire" du problème par l'élève lui même, en utilisant ses propres mots." Extrait des nouveaux programmes de cycle 2

Guide CP

Comprendre un problème c'est quoi?

LES OBSTACLES ...

COMPREHENSION

Inventons un problème à une étape…

… dont la solution passe par l’unique calcul : 3 + 5 = 8

… dont la solution est 3 + 5 = 8, mais dans lequel on perd quelque chose

Les analogies intuitives Emmanuel Sander

Conférence Emmanuel Sander

Les problèmes basiques arithmétiques sont définis et hiérarchisés selon la complexité des raisonnements en jeu

Les problèmes basiques arithmétiques sont définis et hiérarchisés selon la complexité des raisonnements en jeu

Les fondamentaux de la démarche d'enseignement de la résolution de problèmes à la maternelle et au cycle 2

VERS L'ABSTRACTION : Manipulation Verbalisation Représentation symbolique La place de la verbalisation dans l'accès à l'abstraction : Pour le professeur : phase d'étayage importante (verbalisation des étapes de la démarche), formulations et reformulations, questionnement. Il verbalise ses procédures, pour que les élèves puissent verbaliser les leurs. Pour l'élève : explicite ses actions, démarches et solutions.

Mais pourquoi la VERBALISATION est si importante pour l'élève?

COMPREHENSION

Pour faire un retour réflexif sur son raisonnement afin de ne pas juste rester au stade de la manipulation : prise de conscience.

Pour se faire comprendre par les autres, comparer les stratégies , faire émerger un référentiel commun.

Pour que le professeur puisse prendre l'information et proposer un étayage adapté.

Mais comment rendre les élèves autonomes ?

LA PHASE DE PRESENTATION DU PROBLEME

Par le questionnement

Par la mentalisation : Le "film"

Par le mime : Manipuler pour comprendre la situation

Par la reformulation : On modifie les mots, les tournures de phrases, le point de vue.

Exemple :

Julie possède 42 billes, elle perd 15 billes en jouant avec Clovis. Combien lui en reste-il?

Quelles questions pour guider la compréhension? Comment faire mentaliser la situation? Comment mimer cette situation? Comment reformuler cette situation en modifiant les mots? en modifiant la syntaxe? En changeant de point de vue?

La force de l'ANALOGIE

C'est l'analogie avec des problèmes connus et résolus qui est efficace.

D'où l'importance de l'INSTITUTIONNALISATION, au service de la conception d'une banque de problèmes de référence et de leur modélisation.

Pourquoi ne pas...

Mener des séances où l'objectif est la compréhension de l'énoncé, l'entraînement à la compétence de faire des correspondances et non pas la résolution du problème.

Questionner, mentaliser, mimer, reformuler puis faire des analogies sont autant de compétences utiles à la compréhension de l'énoncé et DONC à la résolution du problème.

Ranger, trier, catégoriser, rédiger des énoncés "à la manière de" sont autant d'activités qui entraînent à la compréhension de l'énoncé et DONC à la résolution du problème.

Mais concrètement, combien de temps on accorde à la compréhension quand on veut résoudre un problème??

COMPREHENSION

Quand l'objectif de la séance est la compréhension, elle est au centre. MAIS Quand l'objectif de la séance est la résolution des problémes, la mise en activité de recherche doit être rapide.

Modéliser

Nouveaux programmes de mathématiques du cycle 2 (rentrée 2025) Guide "La résolution de problèmes mathématiques au cours moyen"

Modéliser : exemples d'affichages

Guide "Pour enseigner les nombres, le calcul et la résolution de problèmes au CP"

Classe de CE2 de Mme Wirth, VDE Kingersheim

Classe de CE2 de Mmes Stoeckle et Hannachi, Curie-Freinet Wittenheim

Dessiner... Représenter... Modéliser... Schématiser...

Est-ce que c'est la même chose ? Quels points communs ? Quelles différences ?

Représenter, c'est traduire par un dessin......ou un schéma la situation. Guide "Pour enseigner les nombres, le calcul etla résolution de problèmes au CP"

Modéliser, c'est traduire mathématiquement la situation. La modélisation amène ensuite à la procédure et au calcul ; elle rend la réalité calculable. Guide "Pour enseigner les nombres, le calcul et la résolution de problèmes au CP"

Types de problèmes à travailler en classe : Proposition de programmations de cycle 2

Comment amener les élèves à s'emparer de la modélisation ?

Manipuler

Manipuler

Représenter

Représenter

Modéliser

Proposition d'évolution de la manipulation vers la modélisation

https://portailpedagogique68_1d.site.ac-strasbourg.fr/mathematiques/wp-content/uploads/sites/3/2024/04/Manipulation-vers-modelisation-en-barres-Mission-maths-68-Challenge.pdf

Manipuler, oui, mais comment ?

https://digistorm.app/p/4389096

Manipuler, oui, mais comment ?

J'ai deux oursons dans ma main droite. J'ai trois oursons dans ma main gauche. Combien ai-je d'oursons en tout ?

J'ai deux oursons dans ma main droite.

J'ai trois oursons dans ma main gauche.

Combien ai-je d'oursons en tout ?

Manipuler, oui, mais comment ?

Manipuler, oui, mais comment ?

Manipuler, oui, mais comment ?

https://podeduc.apps.education.fr/video/69955-manipuler-en-maths-oui-ou-non-vous-en-dites-quoi-avec-pierre-eyssericmp4/?is_iframe=true

Manipuler, verbaliser, abstraire

Calculer

VOS QUESTIONS PROFESSIONNELLES

• Ecrire un calcul: aide ou difficulté?
• Comment faire évoluer les connaissances et procédures mobilisées?
• Ecrire un calcul : objectif en soi ou moyen?
• Comment amener l’élève à passer de la manipulation (effective ou s’appuyant sur une représentation plus ou moins figurative)à l’abstraction ?
• Comment gérer l'erreur de calcul?

Nouveaux programmes de mathématiques du cycle 2 (rentrée 2025) Guide "La résolution de problèmes mathématiques au cours moyen"

Faut-il exiger un calcul écrit?

Faut-il exiger un calcul écrit?

Info

Comment faire évoluer les connaissances et procédures mobilisées?

"La tâche du professeur est alors de les (procédures) repérer dans l’action, de les analyser et de prévoir la manière de les prendre en compte et de les traiter. Le but est de créer les conditions nécessaires à l’appropriation progressive par tous les élèves des procédures de résolution les plus efficaces et les plus adaptées, et de faire évoluer les procédures personnelles de chacun."

Guide CP - P.12

3 familles de procédures de résolution

Une variable pour faire évoluer les procédures: le choix des nombres

De grands nombres rendent les stratégies de dénombrement coûteuses et peuvent favoriser le recours au calcul.

Ecrire un calcul : objectif en soi ou moyen?

Penser une progression qui s'appuie sur une alternance

Comment amener l’élève à passer de la manipulation (effective ou s’appuyant sur une représentation plus ou moins figurative)à l’abstraction ?

Info

Exemple: Etapes pour passer du surcomptage à la procédure de calcul

Comment gérer l'erreur de calcul?

21 + 3 = 24

Répondre

La "phrase réponse": quels objectifs? Quelles exigences? Comment développer l'autorégulation?

Nouveaux programmes de mathématiques du cycle 2 (rentrée 2025) Guide "La résolution de problèmes mathématiques au cours moyen"

Les exigences observées

Les exigences observées

Des exigences grammaticales

Une exigence de cohérence

La réponse

Des compétences à développer

Problèmes de type additifs et numération

Travailler des problèmes de type additif est l’occasion de conduire en parallèle un travail sur la numération ou le calcul en utilisant un matériel adapté. Les élèves pourront ainsi manipuler des cubes représentant les objets en jeu dans le problème ci-dessous, consistant à réunir deux collections pour trouver un tout : « Lucie a 12 billes bleues et 23 billes rouges. Combien a-t-elle de billes en tout ? »

Réunir deux collections pour trouver un tout

Pourquoi les élèves ne font-ils pas le lien entre la numération orale et la numération écrite?

Petite comptine et grande comptine de Mounier.

La résolution de problèmes de type additif: une aide à la construction de la numération

La comptine numérique : une maîtrise nécessaire en résolution de problèmes de dénombrement

Petite comptine et grande comptine d'Eric Mounier.

Objectif: Comprendre la structure de la comptine de 1 à 99.

Nous en déduisons que la comptine numérique de un à cent peut se décomposer à l’aide d’une grande comptine (de un à dix-neuf) et d’une petite comptine (de un à neuf).

Petite comptine et grande comptine d'Eric Mounier.

Numération orale/ numération écrite: lien avec la construction de la numération décimale.

Des problèmes pour construire la numération écrite.

Eric Mounier introduit l'organisation de la numération par des problèmes de comparaison et construit peu à peu le principe décimal.

Les difficultés des élèves

Points de vigilance du côté des élèves

dans les énoncés, Prendre garde à tous les éléments qui peuvent être facilitateurs ou au contraire faire obstacle :

la structure du problème (selon sa classification)

le degré de familiarité de l'élèves avec l'environnement du problème

le scenario (être capable de jouer le film dans sa tête)

le lexique

la longueur et la forme de l'énoncé (place de la question et ordre des données)

les illustrations (distracteur ou source de données)

la conception intuitive des opérations

le champ numérique (nombres en jeu)

les éléments superflus

Points de vigilance du côté des élèves

dans les pré-requis s'assurer que certains automatismes sont en place :

le choix des nombres en jeu (ils sont objet ou enjeu de la résolution de problèmes)

les faits numériques courants sont automatisés (tables d'addition, de multiplication, doubles, moitiés, triples...)

dans les problèmes géométriques et de mesure, les notions en question sont maitrisées ou des outils permettant la manipulation sont mis à disposition

distinguer la capacité de recourir à la technique opératoire à solliciter de la capacité de la mettre en oeuvre (le sens et la technique de l'opération en jeu sont-ils maîtrisés?)

...programmation et progression de l'enseignement en résolution de problèmes

C'est l'objectif principal de la RDP au C3 !

des problèmes atypiques

des problèmes en plusieurs étapes

des problèmes en 1 étape

« Résoudre un problème complexe nécessite de connecter des informations pour construire des sous problèmes calculables, souvent élémentaires, et utiles pour avancer vers la réponse (représentation du problème), mais aussi de qualifier les résultats intermédiaires (pour rester dans le domaine des grandeurs contextualisées), et d’avoir pris conscience de la nécessité de ce travail de pensée.Le rôle que jouent les problèmes élémentaires dans la résolution des problèmes complexes renforce la nécessité d’un enseignement renforcé des problèmes élémentaires » Houdement , Problèmes arithmétiques de réinvestissement : une synthèse, des pistes

Cette catégorie de problèmes est la moins centrale au cours moyen. Elle est longuementdéveloppée dans ce paragraphe, car relativement complexe à circonscrireet à maîtriser. Cependant, la longueur de ce paragraphe ne doit être pas interprétéeabusivement : le coeur de l’activité de résolution de problèmes au cours moyen estl’apprentissage de la résolution de problèmes en plusieurs étapes.

Des problèmes au service des mathématiques:– Construction du sens des opérations– Construction des propriétés des opérations– Construction de faits numériques à mémoriser Des occasions pour les élèves de résoudre des problèmes et de les réussir seuls Enrichissement de la mémoire des élèves sur les problèmes élémentaires (mémoriser/reconnaitre les modèles)

Comment construire son enseignement en résolution de problèmes?

analyser ses outils afin d'en vérfier la conformité avec le prescrit réaliser une programmation annuelle (idéalement, la penser en équipe d'école : harmonisation des outils, schémas et modalités d'enseignement...) réaliser une progression spiralaire (importance de mobiliser à chaque période d'anciennes typologies de problèmes déjà rencontrés) penser l'enseignement en séquences alternant des séances courtes quotidiennes et des séances longues hebdomadaires

...penser l'enseignement en séquences alternant des séances courtes quotidiennes et des séances longues hebdomadaires

Séquence

Séance longue hebdomadaire

Séances courtes quotidiennes

référents exploitables

Séance d'apprentissage/enseignement visant à la compréhension des modalités de résolution (intérêt de rendre visible son cheminement)

Séances d'entrainement/réinvestissement visant à l'automatisation et à la mémorisation

Séance faisant l'objet d'apprentissages ou de renforcement accompagné

Comment construire son enseignement en résolution de problèmes?

analyser ses outils afin d'en vérfier la conformité avec le prescrit réaliser une programmation annuelle (idéalement, la penser en équipe d'école : harmonisation des outils, schémas et modalités d'enseignement...) réaliser une progression spiralaire (importance de mobiliser à chaque période d'anciennes typologies de problèmes déjà rencontrés) penser l'enseignement en séquences alternant des séances courtes quotidiennes et des séances longues hebdomadaires penser l'institutionnalisation (traces élèves, affichage...)

...penser l'institutionnalisation (traces élèves, affichage...)

Que faire apparaitre sur la trace écrite? (et dans quel ordre?) le problème de référence (+ éventuellement, autres exemples de problèmes similaires résolus) les représentations utilisées (dessin, schéma…) le calcul effectué la phrase réponse

L'objectif n'est pas d'établir un catalogue détaillé de typologies de problèmes pouvant exister, dont l'usage serait inopérant pour les élèves, mais au contraire de réunir les problèmes dans des catégories aussi larges que possible en faisant des analogies, par exemple, entre les problèmes pouvant s'appuyer sur les mêmes représentations.

Bibliographie: John Hattie : L’Apprentissage visible pour les enseignants : connaître son impact pour maximiser le rendement des élèves

D’après la conférence d’O.Hunault IGéSR (06/12/2021 à l’Inspé de Sélestat)

Des repères pour penser ma séance : tenir compte de la période de faible intensité pour relancer sur un autre problème, proposer un travail par binôme ou par groupe qui va demander de l'échange (à la fois relâchement et en même temps, mobilisation de ses ressources propres). Il est évident que cela s'extrapole à toute séance mise en oeuvre en classe. Penser donc à privilégier des séances courtes ou redynamisées en cours de route...

Les points de vigilance posés en résolution de problèmes :

de 7...

... à 10...

Problèmes oraux résolus sur ardoise/cahier d'essais et problèmes avec traces dans un cahier dédiés (pour pouvoir naviguer et se référer à des résolutions antérieures..).

Varier les problèmes proposés au cours de la période (à partir du moment où une nouvelle typologie est acquise). Il est important de rebrasser pour réactualiser et garder en mémoire les différents modèles rencontrés.

Le problème de la difficulté de l'énoncé est un vrai-faux problème. Il est important de rester proche de l'univers des élèves, de proposer un contexte connu. La difficulté ne doit pas être lexicale mais logico mathématique ou mathématique.

La différenciation est positionnée sur le temps d'autonomie laissé pour la résolution de problème. Elle se fait par la présence de l'enseignant qui accompagne et relance de façon prioritaire sur le temps de recherche.

Lors de la résolution de problème, la prise de connaissance de l'énoncé ne doit pas "annihiler" le temps de recherche. C'est le temps de recherche invidiuel voire un échange à suivre par binômes qui est primordial dans cette phase.

Les séances longues en résolution de problèmes doivent permettre de poser les modalités et l'intérêt de représenter pourles élèves (ce n'est justifié que si la difficulté est suffisante)... Du dessin à la modélisation...

Pour confronter les modes de pensées et de représentation, pour comprendre l'économie ou le coût des techniques utilisées et aller vers la plus "rentable" en termes de charge mentale...

... se pose la question de la quantité... Limiter autant que possible... Rester dans le simple et l'accessible...

... se pose la question du continuum pédagogique et des négociations intercycles dans les équipes d'école...

C'est un support, un prétexte, ... pas une fin en soi.

Memento...

Envisager l'évaluation...

Séances courtes

Séances longues

Faire travailler les élèves en résolution de problèmes...

Travail personnel de l'élève...

Devoirs ou pas devoirs?

Enjeu : Permettre aux élèves de faire des analogies entre les problèmes, afin de faire appel à la mémoire de problèmes résolus antérieurement lors de la résolution d’un nouveau problème. En cela, le recours à des schémas mémorisés selon des types de problèmes rencontrés en classe permet à l'élève d'alléger sa charge mentale. Trois propositions de supports : un affichage temporaire ou référent (= accès immédiat et rapide) un cahier dédié ( = à consulter en autonomie si besoin, trace durable) un outil d'aide (regroupement/présentation des différents types de schémas ou modèles déjà rencontrés pour permettre à l'élève de corréler les éléments du problème et l'outil qui pourrait lui servir)

Accompagner les élèves en résolution de problèmes...

Concernant le schéma en barres : (guide orange page 93) « Il ne s’agit pas de l’imposer en CP et par ailleurs ce n’est pas la seule représentation possible à mobiliser pour le professeur.Toutefois, il est nécessaire que la progressivité de la construction de schémas soit pensée et harmonisée du cycle 2 au cycle 3. »

PENSER LE CONTINUUM DIDACTIQUE

LA RÉSOLUTION DE PROBLÈME DANS LES MANUELS

RECOMMANDATIONS INSTITUTIONNELLES : « Il convient de rappeler que le travail sur le seul fichier n'est pas suffisant pour construire les connaissances.L'approche globale du manuel permet de repérer d'éventuels manques à combler, et ciblent des points de vigilance. » Le guide orange veut donner quelques points de vigilance spécifiques et incontournables, il ne s'agit pas d'être exhaustif par rapport à l'enseignement de certains contenus.

Analysons deux manuels

Au regard de l'Institution

Pour conclure

Le manuel est un appui très largement exploité. Il doit être encadré par les points essentiels suivants concernant la RDP:

• la programmation proposée (conformité aux instructions officielles)

• la structure globale des séances d'apprentissage

1. Manipulation
2. Institutionnalisation
3. Entrainement
4. Différenciation
5. Évaluation

Le programme officiel fixe des objectifs de CYCLE, avec des repères par année.→ le choix de la programmation au CP concerne donc TOUTE L'ÉQUIPE DE L'ÉCOLE.

ET MON MANUEL?

Proposition de grille d'analyse

Travaux d'analyse basés sur la grille d'Amélie Costantino, PEMF, pour le cycle 3

L’apprentissage de la numération et notamment des différentes décompositions des nombres permet d’enrichir et d’optimiser les procédures de résolution de problèmes.

Un objectif majeur est d’amener l’élève de fin de CP à reconnaître et résoudre des problèmes du type parties-tout à partir d’énoncés dont l’objet est de déterminer le cardinal d’une des parties connaissant l’autre partie et le tout ou de déterminer le cardinal du tout connaissant chacune des parties. Le document relatif aux attendus propose des exemples de problèmes devant être réussis au CP. Toutefois, il ne précise pas explicitement le degré de formalisation de la réponse alors qu’il existe différents chemins pour produire la réponse attendue.

L'écriture du calcul permet de passer à une généralisation des procédures de représentation d'un problème. L'écriture du calcul permet de catégoriser le problème.

Pour Mounier, il faut distinguer deux systèmes de numération: La numération orale La numération écrite "L’utilisation de dizaines peut relever de deux procédures : un comptage par dizaines ou un comptage des dizaines ! Or un comptage par dizaine (dix, vingt, trente, etc.) n’entraîne pas le fait de savoir le nombre de dizaines, ce qui est essentiel pour la numération écrite chiffrée."

Ce passage devient plus naturel et permet d’expliciter la procédure mise en œuvre. Cela peut impliquer soit un appui sur une ligne numérique présentant les différentes étapes (bonds), soit l’introduction de notations et leur traduction en une écriture additive.

Ce passage sera fait progressivement en s’appuyant sur une automatisation progressive des faits numériques associés.

Le professeur s’attachera à mettre en relation le dénombrement un à un des objets – et conjointement leur énoncé oral – avec leur écriture chiffrée et l’équivalence entre compter les croix et utiliser les nombres.

Le passage d’une production s’appuyant sur la manipulation à celle s’appuyant sur des dessins de rectangles peut se faire par la mise en évidence des points de ressemblance dans la démarche. Proposer dans un premier temps des objets physiques de plus en plus simples (images, rectangles de papier, jetons, cubes ou bâtonnets) puis en épurer progressivement le dessin, du dessin d’images à celui de rectangles puis de bâtons ou de croix. Ce passage de la manipulation à des dessins ou des schémas ne doit être envisagé que lorsque la résolution s’appuyant sur la manipulation est maîtrisée par l’élève. Il ne se fait pas brutalement, mais progressivement ; l’élève pourra ainsi traiter aisément certains problèmes par un simple schéma, mais pourra avoir besoin de recourir à la manipulation d’objets pour un autre type de problèmes

"L'écriture mathématique, qui traduit de manière symbolique la situation rencontrée, s'introduit progressivement".

GUIDE CP

GUIDE P.19

Une étape déterminante, emblématique de l’enseignement des mathématiques au CP par rapport à la maternelle, se situe dans le passage d’une procédure de dénombrement (comptage, surcomptage ou décomptage) à la traduction de celle-ci en termes d’écritures additives (7 + 5 = 12) ou soustractives (12 − 7 = 5). Cette étape suppose notamment que l’élève donne du sens à ces écritures par la mobilisation de faits numériques reconstruits puis progressivement mémorisés.

Ce passage est assez naturel dans la mesure où l’écriture en ligne des nombres est proche d’une disposition de ces nombres sur la frise numérique.

Inversement, la résolution de problèmes utilise les connaissances installées à cette occasion en numération et justifie en retour l’apprentissage de ces connaissances.