BP - Géométrie dans l'espace - Agrandissement réduction

Géométrie dans l'espace - Agrandissement / réduction

Brevet Professionnel 2ème année E41 Mathématiques

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Marie-Hélène DOUSSIN - CMA de Cunac (81)

Compétences et savoirs attendus

Sommaire

Définitions

Agrandissement / Réduction - Conséquences et propriétés

Aires

Propriétés

Volumes

Applications

Exercices

Exercice 2

Exercice 1

Exercice 3

Exercice 6

Exercice 5

Exercice 4

Rappels conversions aires et volumes

Exercice 7

Agrandissement / réduction

Définitions

Agrandissement

Une figure a été agrandie d’un rapport k, si toutes les longueurs de la figure ont été multipliées par k et k > 1.

Réduction

Une figure a été réduite d’un rapport k, si toutes les longueurs de la figure ont été multipliées par k et k < 1

Agrandissement / réduction

Les longueurs sont multipliées par k.

Réduction

Agrandissement

Agrandissement/réduction - Conséquences & Propriétés

Si on multiplie les longueurs par k (agrandissement ou réduction)

les aires sont multipliées par k2

les aires ...

Agrandissement/réduction - Conséquences & Propriétés

Si on multiplie les longueurs par k (agrandissement ou réduction)

les volumes sont multipliés par k3

les volumes ...

Agrandissement/réduction - Conséquences & Propriétés

Si on multiplie les longueurs par k (agrandissement ou réduction)

les angles ne varient pas.

Double-cliquer pour agrandir / réduire

les angles ...

Agrandissement/réduction - Exemple

k = 2

Longueurs :

Hauteur : 2 x 2 = 4 cm Largeur : 1 x 2 = 2 cm Profondeur : 0,5 x 2 = 1 cm

Hauteur : 2 cm Largeur : 1 cm Profondeur : 0,5 cm

Aires (surface avant) :

Aire : 2 x 22 = 8 cm2

Aire = 2 x 1 = 2 cm2

Volume :

Volume : 1 x 23 = 8 cm3

Volume = 2 x 1 x 0,5 = 1 cm3

Agrandissement/réduction - Application 1

Une pyramide est réduite d’un rapport 1/4 . Sa base est un rectangle de dimension de 4 m par 5 m. Sa hauteur est de 3 m.

Calculer le volume de la pyramide initiale

En déduire le volume de la pyramide réduite.

Le facteur de réduction est

Le volume sera donc multiplié par

Agrandissement/réduction - Application 2

Agrandissement/réduction - Application 2

Agrandissement/réduction - Application 2

Agrandissement/réduction - Application 3

Pyramide, cône de révolution

La section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est

une réduction de la base.

Exemple : pyramide

Le coefficient de réduction est le rapport entre les hauteurs :

Le plan est parallèle à la base ABCDEF

La section HIJKLM est une réduction de l’hexagone ABCDEF.

Agrandissement/réduction - Application 3

Pyramide, cône de révolution

La section d’une pyramide ou d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est

une réduction de la base.

Exemple : cône

Le coefficient de réduction est le rapport entre les hauteurs :

Le plan est parallèle à la base (cercle de centre O, rayon OA)

La section est un cercle, une réduction de la base du cône.

Agrandissement/réduction

Exercices

Agrandissement/réduction - Exercice 1

On considère le plan d’un appartement réalisé à l’échelle 1/ 200 : On donne : L = 6,5 cm et l = 2,5 cm. Quelles sont les dimensions réelles de cet appartement ?

Echelle 1/ 200

ou

Le plan est une réduction de l'appartement avec coefficient 1/200

L'appartement est un agrandissement du plan avec coefficient 200

L' = 6,5 x 200 = 13 m l' = 2,5 x 200 = 5 m L'appartement fait 13 mètres de long sur 5 mètres de large.

Agrandissement/réduction - Exercice 2

Un terrain d’aire A = 900 m² est représenté sur un plan à l’échelle 1/2000. Quelle est l’aire du terrain sur le plan ?

Echelle 1/ 2000

Le plan est une réduction de l'appartement avec coefficient 1/2000

L'aire sera réduite de (1/2000)2

A’ = 900 × (1 / 2 000)² = 900 × (1 / 4 000 000 ) = 0, 000 225 m² = 2,25 cm² L'aire sur le plan est 2,25 cm².

Agrandissement/réduction - Exercice 3

On considère un cube C1 d’arête 2 cm.

Calculer l’aire d’une face et le volume de ce cube.

Aire d’une face :

Volume du cube :

On multiplie la longueur des arêtes par 3 => cube C2

Longueur d'une arête de C2 :

Aire d'une face de C2 :

Volume de C2 :

Agrandissement/réduction - Exercice 4

La forme d’une bactérie est assimilée à un disque d’aire 0,2 mm2. On l’observe au microscope muni d’une lentille de coefficient d’agrandissement k = 10. Calculer l'aire de la bactérie observée au microscope.

Les longueurs sont multipliées par k = 10

Les aires sont multipliées par k2 = 102

A' = 0,2 x 102 = 0,2 x 100 = 20 mm2

Agrandissement/réduction - Exercice 5

Un flacon de parfum a la forme d’une boule et contient 100 cl de liquide. On fabrique une miniature de ce flacon et pour cela on réduit son rayon de moitié. Quelle est la contenance de la miniature ?

Les longueurs sont multipliées par k = 1/2

Les volumes sont multipliés par k3 = 1/23

La contenance de la miniature est 12,5 cl

Agrandissement/réduction - Exercice 6

Le triangle FGH est un agrandissement ou une réduction du triangle FST.

FS = 7 cm FT = 8 cm FH = 5 cm ST = 9 cm

Déterminer la valeur du rapport k

Calculer les longueurs FG et GH.

Agrandissement/réduction - Exercice 6

Le triangle FGH est un agrandissement ou une réduction du triangle FST.

FS = 7 cm FT = 8 cm FH = 5 cm ST = 9 cm

Quel est le théorème dont l’application aurait permis de calculer ces longueurs ?

Théorème de Thalès

Agrandissements / réductions successifs - Exercice 7

Agrandissements / réductions successifs

Les tailles usuelles des feuilles de papier sont les suivantes :

On souhaite agrandir un document de taille A5 sur une feuille de taille A4.

Quel est le coefficient d’agrandissement k1 qu’il faut sélectionner sur la photocopieuse ?

L’aire de la feuille A4 ...

... est le double de celle de la feuille A5

Agrandissements / réductions successifs - Exercice 7

Agrandissements / réductions successifs

Les tailles usuelles des feuilles de papier sont les suivantes :

On procède à un nouvel agrandissement du document A4 vers une feuille A3.

Quel est le coefficient d’agrandissement k2 qu’il faut sélectionner sur la photocopieuse ?

L’aire de la feuille A3 ...

... est le double de celle de la feuille A4

Agrandissements / réductions successifs - Exercice 7

Agrandissements / réductions successifs

Les tailles usuelles des feuilles de papier sont les suivantes :

On souhaite effectuer une nouvelle copie du document A5 en l’agrandissant sur une feuille A3.

Calculer le coefficient multiplicateur k3.

L’aire de la feuille A3 ...

... est 4 fois celle de la feuille A5

Agrandissements / réductions successifs - Exercice 7

Agrandissements / réductions successifs

Les tailles usuelles des feuilles de papier sont les suivantes :

On souhaite effectuer une nouvelle copie du document A5 en l’agrandissant sur une feuille A3.

(suite) Comparer k3 avec k1 x k2

Conclusion : Pour effectuer des agrandissements / réductions successifs,

il faut multiplier les coefficients entre eux.

Agrandissement/réduction

Rappels

Conversions d'aires et de volumes

Convertir une aire (mesure de la surface)

Il faut 100 mm2 pour constituer un cm2 100 cm2 pour constituer un dm2, 100 dm2 pour constituer un m2, etc ...

Il faut 2 colonnes pour chaque unité

Se tester

Convertir un volume

Il faut 1000 mm3 pour constituer un cm3 1000 cm3 pour constituer un dm3, 1000 dm3 pour constituer un m3, etc ...

Il faut 3 colonnes pour chaque unité

Se tester

Test 2

Test 1

Test 2

Test 1