SUCESIÓN DE FIBONACCI

Sucesión de Fibonacci

Trabajo de matemáticas

Empezamos

Índice

¿Qué tipo de sucesión es? Explicad su definición y sus propiedades matemáticas.

¿Dónde podemos encontrar esta sucesión en el mundo real? Buscad aplicaciones en la naturaleza, tecnología, arte, arquitectura, economía, etc.

¿Cómo se descubrió esta sucesión? Describid su origen histórico.

Vídeo

Biografía

¿Qué importancia ha tenido esta sucesión en la historia? ¿Y en la actualidad?

Despedida

Sucesión Fibonacci

Definición y propiedades matemáticas

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es ...

una sucesión infinita de números naturales como la siguiente: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… . La sucesión comienza con dos números naturales y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.

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Origen histórico

Problema de los conejos

Antigüedad

Aunque Fibonacci popularizó la sucesión, existen indicios de que esta secuencia ya era conocida en matemáticas indias.

La famosa sucesión de Fibonacci surge de un problema relacionado con la cría de conejos. En este problema, se planteaba cuántos pares de conejos se generarían en un año bajo ciertas condiciones: cada par de conejos empieza a reproducirse a los dos meses de vida y produce un nuevo par cada mes. La solución a este problema llevó a la formulación de la sucesión.

"Liber Abaci"

Más allá de Fibonacci

En este libro, Fibonacci introdujo el sistema numérico hindú-árabe a Europa, que incluía el uso del cero y el sistema decimal. Dentro de este texto, presentó una serie de problemas que ilustraban las aplicaciones prácticas de los números en la contabilidad y el comercio.

Después de su introducción, la sucesión de Fibonacci ha sido estudiada y aplicada en diversas áreas, incluyendo la teoría de números, combinatoria y fenómenos naturales.

¿Qué importancia ha tenido esta sucesión en la historia?

La sucesión de Fibonacci ha sido importante a lo largo de la historia por su impacto en diversas disciplinas. Esta secuencia ha influido en matemáticas, al vincularse con el número áureo y las secuencias recursivas. En el arte y la arquitectura, ha guiado diseños equilibrados desde el Renacimiento ,por ejemplo la Mona Lisa o la Sagrada Familia. Su capacidad para conectar diferentes campos la ha mantenido relevante hasta hoy.

¿Y en la actualidad?

1.Matemáticas y la teoría de números

2.Ciencias naturales

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4.Computación ,algoritmos y Mercados financieros

3.Arte y arquitectura

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¿Dónde podemos encontrar esta sucesión en el mundo real?

Esta sucesión forma parte de nuestra vida diaria como por ejemplo: las proporciones de la pantalla del ordenador, las medidas de DNI o tarjetas de crédito, en obras de arte, en las proporciones del cuerpo humano.. etc.

Más aplicaciones ...

...en la naturaleza, tecnología, arte, arquitectura, economía, etc.

Arte

Naturaleza

Tecnología

Economía

Arquitectura

Vídeos

Sucesión de Fibonacci

Bibliografía

01

https://www.academiadelperfume.com/naturaleza-hipnotica-la-sucesion-matematica-de-fibonacci/#:~:text=En%20el%20siglo%20XIII%2C%20el,algunos%20moluscos%20como%20el%20nautilus.

02

https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci

https://www.educ.ar/recursos/132013/la-matematica-incrustada-en-la-inmensa-variedad-de-formas-de-vida#:~:text=En%20matem%C3%A1tica%2C%20la%20sucesi%C3%B3n%20de,%2C%20610%2C%20987%2C%201597%E2%80%A6

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04

https://www.superprof.cl/blog/fibonacci-vida-real/

05

https://www.matesfacil.com/ESO/progresiones/sucesion-Fibonacci-formulas-problemas-resueltos-suma-espiral-triangulo-Pascal.html

https://www.elconfidencial.com/alma-corazon-vida/educacion/2022-02-04/que-es-secuencia-fibonacci_3366357/

06

¡¡Esperamos que os haya gustado!!

Trabajo realizado por: - Bruno Gil Malia - Manuel Francisco Sacie Alba -Lucía Centeno Cereto -Ignacio Mena Cervera

PROPIEDADES- Definición Recursiva: Se define recursivamente como: 𝐹 ( 0 ) = 0 F(0)=0 𝐹 ( 1 ) = 1 F(1)=1 𝐹 ( 𝑛 ) = 𝐹 ( 𝑛 − 1 ) + 𝐹 ( 𝑛 − 2 ) F(n)=F(n−1)+F(n−2) para 𝑛 ≥ 2 n≥2 - Relación con el Número Áureo: A medida que los términos de la sucesión aumentan, la razón entre dos términos consecutivos ( 𝐹 ( 𝑛 + 1 ) / 𝐹 ( 𝑛 ) F(n+1)/F(n)) se aproxima al número áureo ( 𝜙 ≈ 1.6180339887 ϕ≈1.6180339887). - Fibonacci y Combinatoria: El 𝑛 n-ésimo número de Fibonacci cuenta el número de formas de agrupar 𝑛 n elementos en conjuntos no vacíos y sin secuencias. - Suma de Términos: La suma de los primeros 𝑛 n términos de la sucesión de Fibonacci está dada por: 𝑆 ( 𝑛 ) = 𝐹 ( 𝑛 + 2 ) − 1 S(n)=F(n+2)−1 - Fibonacci y Espirales: La sucesión se relaciona con la naturaleza, como en las espirales de algunas conchas y en la disposición de hojas en las plantas, formando patrones que se pueden describir mediante la proporción áurea. - Identidades de Fibonacci: Existen varias identidades, como: 𝐹 ( 𝑛 ) 2 + 𝐹 ( 𝑛 − 1 ) 2 = 𝐹 ( 2 𝑛 − 1 ) F(n) 2 +F(n−1) 2 =F(2n−1) 𝐹 ( 𝑛 ) 𝐹 ( 𝑛 + 1 ) = 𝐹 ( 2 𝑛 ) F(n)F(n+1)=F(2n) - Propiedades de Paridad: La sucesión alterna entre números pares e impares, con la secuencia de términos impares siendo 𝐹 ( 1 ) , 𝐹 ( 3 ) , 𝐹 ( 5 ) , … F(1),F(3),F(5),… (1, 1, 3, 5, 13, ...). - Generalización: Hay extensiones de la sucesión, como las sucesiones de Fibonacci de orden 𝑘 k, donde cada término es la suma de los 𝑘 k términos anteriores. La sucesión de Fibonacci tiene muchas aplicaciones en matemáticas, informática, arte y naturaleza, lo que la convierte en un tema fascinante de estudio.

La relación de la sucesión de Fibonacci con el número áureo ha sido usada en el arte y la arquitectura durante siglos. Algunos ejemplos destacados incluyen: Composiciones artísticas: Se cree que muchos artistas y arquitectos han utilizado la proporción áurea (relacionada con la sucesión de Fibonacci) para crear obras visualmente equilibradas y estéticamente agradables. Diseño gráfico y tipografía: Hoy en día, la sucesión de Fibonacci sigue inspirando a diseñadores gráficos y tipógrafos en la disposición y proporciones de sus creaciones.

Arte y arquitectura

Ciencias naturales

La sucesión de Fibonacci aparece en numerosos patrones biológicos y en la naturaleza. Algunos ejemplos son:Distribución de hojas: El patrón en que las hojas crecen alrededor del tallo de una planta sigue muchas veces la sucesión de Fibonacci. Frutos y flores: Las piñas, los girasoles, las alcachofas y las margaritas muestran patrones de crecimiento espiralados que siguen números de Fibonacci. En el girasol, las espirales que se ven en la flor se relacionan con los números de Fibonacci. Reproducción de animales: El problema original que Fibonacci planteó en su libro “Liber Abaci” estaba relacionado con el crecimiento de una población idealizada de conejos, lo que lo llevó a introducir la sucesión, este modelo ilustra cómo la secuencia puede usarse para modelar el crecimiento poblacional.

Matemáticas y teoría de números

La sucesión ha jugado un papel crucial en la teoría de números. Algunas de sus propiedades importantes incluyen: Relaciones recursivas: Cada número de la sucesión es la suma de los dos anteriores, lo que representa un ejemplo de secuencia recursiva en matemáticas. Relación con el número áureo: A medida que avanzamos en la sucesión de Fibonacci, el cociente entre dos números consecutivos se aproxima al número áureo (φφ), una constante irracional que tiene importantes aplicaciones en geometría, arte y naturaleza.

Computación,algoritmos y Mercados financieros

En informática, la sucesión de Fibonacci ha encontrado varias aplicaciones, tales como: Algoritmos de Fibonacci: Se usan en el desarrollo de ciertos algoritmos recursivos. Árboles binarios: En la programación y teoría de datos, se estudian estructuras de datos que tienen relación con la sucesión de Fibonacci. Optimización de algoritmos: La secuencia de Fibonacci también es usada en técnicas de optimización y análisis. En los mercados financieros, la sucesión de Fibonacci se utiliza para prever posibles niveles de soporte y resistencia en los precios de los activos financieros.